(共38张PPT)
2.2.3 独立重复试验与二项分布
目标定位
重点难点
1.理解n次独立重复试验及二项分布模型．
2．理解二项分布模型并能解决一些简单的实际问题.
重点：理解n次独立重复试验及二项分布模型．
难点：利用二项分布模型解决实际问题.
1．n次独立重复试验
在________条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
相同
2．二项分布
在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为_____________________，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～__________，并称p为__________．
B(n，p)
成功概率
1．独立重复试验应满足的条件是：
①每次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有发生与不发生两种结果；
③每次试验中发生的机会是均等的；
④各次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
【答案】C
3．从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为________．
【答案】0.048
6
【例1】
判断下列试验是不是独立重复试验．
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上．
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中．
(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
【解题探究】由独立重复试验的定义去分析相应的实例．
独立重复试验的判断
【解析】(1)试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
8
独立重复试验必须满足两个特征：①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．
1．小明同小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷，问：(1)小明共投掷n次，是否可看作n次独立重复试验？小华共投掷m次，是否可看作m次独立重复试验？(2)在游戏的全过程中共投掷了m＋n次，则这m＋n次是否可看作m＋n次独立重复试验
【解析】(1)由独立重复试验的条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下且每次间互不影响，故小明、小华分别投掷的n次和m次可看作n次独立重复试验和m次独立重复试验．
(2)就全过程考查，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作m＋n次独立重复试验．
【例2】
某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确且其中第3次预报准确的概率．
【解题探究】利用独立重复试验的概率公式求解即可．
独立重复试验的概率
8
解决此类问题，首先要确定随机变量，再判断是否满足独立重复试验，若满足，可直接利用相互独立事件的概率公式求解．对于所求事件，如果较为复杂，可利用对立事件去求．
二项分布问题
8
二项分布公式必须要在满足“独立重复试验”时才能运用，否则就不能运用该公式．
【示例】
某娱乐节目为每位选手准备了5道试题，每道题设有“Yes”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的．选手每答对一题，获得一个商标．假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题．
(1)求甲获得2个商标的概率；
(2)求乙只获得3个商标且是连续获得3个商标的概率．
思维不周致误
错因分析：对于错解1，(1)(2)两问都是由于题意不清致误．对于错解2，主要原因是思维不周密，前三次获得商标，则4,5次必须不获得商标，步骤需要完善．
警示：在求某事件的概率时，要善于从具体问题中抽象出独立重复试验的模型，并明确n是多少，事件A是什么，其发生的概率是多少等问题．
1．独立重复试验
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的、各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生要么不发生)，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．
2．二项分布
满足条件：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；(2)各次试验中的事件是相互独立的；(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．第二章 2.2 2.2.3
【基础练习】
1．下面随机变量X的分布列不属于二项分布的是( )
A．据报道，一周内在某网站下载一次数据，电脑被感染某种病毒的概率是0.65.设在一周内，某电脑从该网站下载数据n次中被感染这种病毒的次数为X
B．某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，从开始射击到击中目标所需要的射击次数为X
C．某射手射击击中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，射击n次命中目标的次数为X
D．位于某汽车站附近有一个加油站，汽车每次出站后到这个加油站加油的概率为0.6，国庆节这一天有50辆汽车开出该站，假设一天里汽车去该加油站加油是相互独立的，去该加油站加油的汽车数为X
【答案】B
2．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
3．在某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中发生k次的概率为( )
A．1－pk
B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k
D．C(1－p)kpn－k
【答案】D
4.(2019年东营月考)在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的范围是(
)
A.(0,0.6]
B.[0.6,1)
C.[0.4,1)
D.(0,0.4]
【答案】D
5.(2019年山东模拟)某超市中秋节期间举行有奖销售活动，凡消费金额满200元的顾客均获得一次抽奖的机会，中奖一次即可获得5元红包，没有中奖不得红包.现有4名顾客均获得一次抽奖机会，且每名顾客每次中奖的概率均为0.4，记X为4名顾客获得的红包金额总和，则P(10≤X≤15)=______．
【答案】0.4992.
【解析】设4名顾客中有n名中奖(n=0,1,2,3,4)，则X=5n，X的可能取值为0，5，10，15，20,所以P(10≤X≤15)=P(X=10或X=15)=P(n=2或n=3)=P(n=2)+P(n=3)=C42×0.42×0.62+C43×0.43×0.6=0.4992.
6．设随机变量X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
【答案】
【解析】P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝，解得p＝.所以P(Y＝2)＝Cp2(1－p)＝3×2×＝.
7．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．
【解析】依题意知这4个人中每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
则这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
p＝C2×2＝.
8．如果甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“五局三胜”，求比赛局数X的分布列．
【解析】水平相当，即比赛一局双方胜的概率都是.X＝3,4,5.
P(X＝3)＝3＋3＝，
P(X＝4)＝2C2××＝，
P(X＝5)＝2C2×2×＝.
所以比赛局数X的分布列为
X
3
4
5
P
【能力提升】
9．(2018年银川模拟)某人参加一项智力大通关节目，4道题中答对3道即能通过，已知他的答题正确率为0.4，则他能通过的概率约为( )
A．0.18
B．0.28
C．0.36
D．0.46
【答案】A
【解析】由题意得该人能通过的概率为C×0.43×0.6＋C×0.44＝0.179
2≈0.18.故选A．
10.(2019年江西模拟)在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，…，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：①共有四次发球成功，“连续两次发球成功”出现两次，则七次发球成功与否的排列情况有C42种(把两次“连续两次发球成功”插入三次发球失败形成的四个空中)；②共有四次发球成功，“连续三次发球成功”出现一次，则七次发球成功与否的排列情况有A42种(把“连续三次发球成功”和“一次发球成功”插入三次发球失败形成的四个空中).所以该同学在测试中恰好得5分的概率为(C42+A42)×()4×()3=.故选B.
11．甲、乙、丙三人在同一办公室工作．办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为，，.若在一段时间内打进三个电话且各个电话相互独立．则这三个电话是打给同一个人的概率是________，这三个电话中恰有两个是打给甲的概率是________．
【答案】
【解析】这三个电话是打给同一个人的概率是p＝3＋3＋3＝，这三个电话中恰有两个是打给甲的概率为C2·＝.
12．(2019年天津节选)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
【解析】（1）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故X～B.
P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
X的数学期望为E(X)＝3×＝2.
（2）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B，
由题意，M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，
由事件的独立性和互斥性，得
P(M)＝P{X＝3，Y＝1}＋P{X＝2，Y＝0}
＝P{X＝3}P{Y＝1}＋P{X＝2}P{Y＝0}
＝×＋×＝.
