(共42张PPT)
2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
目标定位
重点难点
1.理解离散型随机变量的均值的含义．
2．利用离散型随机变量的均值解决实际问题.
重点：离散型随机变量的均值的含义．
难点：利用离散型随机变量的均值解决实际问题.
1．离散型随机变量的均值(或数学期望)
若离散型随机变量X的分布列为
则称____________________________________为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
2．离散型随机变量均值的性质
若X为随机变量，Y＝aX＋b(a，b为常数)也是随机变量且E(Y)＝________.
3．两点分布的均值
如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝________.
4．二项分布的均值
若X～B(n，p)，则E(X)＝________.
aE(X)＋b
p
np
【例1】
由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以?代替)，其表如下：
(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
离散型随机变量的均值
【解题探究】利用分布列的性质及离散型随机变量的均值的定义求解．
8
求离散型随机变量的期望的关键是确定随机变量的所有的可能性，写出随机变量的分布列，正确运用公式进行计算．
1．(2018年兰州模拟)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列及均值E(X)．
【例2】
质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上，设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及数学期望．
【解题探究】本题服从二项分布．
二项分布与两点分布的均值
8
服从二项分布或两点分布的随机变量求均值只要利用相应公式即可，但有些问题中的变量是否服从二项分布、两点分布要准确判断．
【例3】
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
离散型随机变量均值的应用
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及数学期望E(η)．
【解题探究】(1)利用其对立事件求解．(2)先列出η的取值及其对应的概率，再求解即可．
8
解决此类问题的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件与求得该事件发生的概率．
3．(2016年新课标Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机
器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
未正确理解随机变量取值的意义致错
警示：在求随机变量取各值的概率时，务必理解各取值的实际意义，以免失误．
1．对于离散型随机变量的均值，要理解随机变量的均值Eξ是一个数值，是随机变量ξ本身所固有的一个数学特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
2．求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用Eξ的计算公式计算Eξ.
3．求两点分布的均值方法：先确定p的值，再用公式EX＝p得均值．
4．求二项分布的均值方法：先确定B(n，p)中的n的值和p的值，再利用公式EX＝np求解．
5．随机变量ξ的线性函数η＝aξ＋b(其中a，b是常数)的期望等于该随机变量的期望的线性函数，即Eη＝aEξ＋b.
1．设X是离散型随机变量，E(X)＝3，Y＝2X＋4，则E(Y)＝( )
A．10
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【解析】E(Y)＝2E(X)＋4＝10.第二章 2.3 2.3.1
【基础练习】
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )
A．2E(X)
B．0
C．E(X)
D．无法求
【答案】B
2．已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)等于( )
A.
B．2
C.
D．3
【答案】A
3．李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中(不绕行)共要经过6个交叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车次数ξ的期望值E(ξ)是( )
A.
B．1
C．6×6
D．6×6
【答案】B
4．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)等于( )
A．4
B．5
C．4.5
D．4.75
【答案】
5.(2019年洛阳期末)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p)，若E(ξ)=,则P(η≥3)=______.
【答案】300
6.(2019年丹东期末)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望E(X)=______．
【答案】0.2
7．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
【解析】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
8．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望(均值)；
(2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
【解析】(1)ξ的可能取值为－300，－100,100,300.
P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，
P(ξ＝－100)＝C0.22×0.8＝0.096，
P(ξ＝100)＝C0.2×0.82＝0.384，
P(ξ＝300)＝0.83＝0.512.
所以ξ的概率分布列为
ξ
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
E(ξ)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180.
(2)这名同学总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.
【能力提升】
9.(2019年朝阳期中)已知随机变量X的分布列如下，E(X)=7.5，则ab的值是(
)
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
A.1.8
B.2.4
C.2.8
D.3.6
【答案】C
【解析】由分布列的性质可得0.3+0.1+b+0.2=1，解得b=0.4.由E(X)=7.5可得4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5，解得a=7.所以ab=7×0.4=2.8.故选C.
10.(2019年大庆期末)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值为(
)
A.20
B.25
C.30
D.40
【答案】B
【解析】同时抛掷5枚均匀的硬币，每枚硬币出现正面向上和反面向上的概率都是，所以正好出现“2枚正面向上，3枚反面向上”的概率为C52×()2×()3=.由题意得，X服从二项分布，即X~B(80,),所以X的均值为E(X)=80×=25.故选B.
11．(2017年株洲联考)设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又E(ξ)＝3，则a＋b＝________.
【答案】
【解析】∵P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，又E(ξ)＝30a＋10b＝3，解得a＝，b＝0，∴a＋b＝.
12.(2019年福建模拟)某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p-1(0.5≤p<1).
（1）从A,B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0.
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.
①已知A,B生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元.若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图.用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值.
【解析】(1)由题意得两件都不合格的概率为(1-p)[1-(2p-1)]，
则至少有一件合格的概率为1-(1-p)[1-(2p-1)]=-2p2+4p-1,
由-2p2+4p-1≥99.5%，解得0.95≤p≤1.05.
又0.5≤p<1，所以p的最小值p0=0.95.
(2)由(1)知A,B生产线的合格率分别为0.95，0.9，即不合格率分别为0.05，0.1.
①设从A,B生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品的件数分别为X1,X2.
则有X1~B(1000,0.05),X2~B(1000,0.1)，
所以A,B生产线上挽回损失的平均数分别为
E(5X1)=5E(X1)=5×1000×0.05=250，
E(3X2)=3E(X2)=3×1000×0.1=300.
所以B生产线上挽回的损失较多.
②由已知得X的可能取值为10，8，6,用样本估计总体，则有
P(X=10)==,P(X=8)==,P(X=6)==.
所以X的分布列为
X
10
8
6
P
所以E(X)=10×+8×+6×=8.1.
故估计该厂产量2000件时利润的期望值为2000×8.1=16200(元).
