第二章 2.3 2.3.2
【基础练习】
1.(2019年东莞期末)已知随机变量X满足E(2X+3)=7，D(2X+3)=16，则下列选项正确的是(
)
A.E(X)=,D(X)=
B.E(X)=2,D(X)=4
C.E(X)=2,D(X)=8 D.E(X)=,D(X)=8
【答案】B
2．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B，则D(ξ)的值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3．D(aX＋E(X2)－D(X))等于( )
A．无法求
B．0
C．a2D(X)
D．2aD(X)＋(E(X))2
【答案】C
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于( )
A．6
B．9
C．3
D．4
【答案】A
5．同时抛掷2枚均匀硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为Y，则E(Y)＝________，D(Y)＝________.
【答案】25
6．已知随机变量ξ的分布列如表，若Eξ＝3，则Dξ＝________.
X
1
2
3
4
P(ξ＝X)
n
0.2
0.3
m
【答案】1
7．设X是一个随机变量，其分布列如下表，试求E(X)，D(X)．
X
－1
0
1
P
1－2q
q2
【解析】由分布列性质，得
∴q＝1－.
∴E(X)＝－1×＋0×(－1)＋1×＝1－.
D(X)＝(－2＋)2×＋(－1＋)2×(－1)＋()2×＝－1.
8．有甲\，乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：
X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
Y
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好．
【解析】E(X)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(Y)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(X)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(Y)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由于E(X)＝E(Y)，而D(X)
【能力提升】
9.(2019年天津期末)某射手每次射击击中目标的概率是p(0)
A.5，
B.5，
C.6,
D.6,
【答案】B
【解析】根据题意，X~B(n,p)，所以E(X)=np=3,D(X)=np(1-p)=1.2.解得n=5,p=.故选B.
10.(2019年浙江)设0＜a＜1，随机变量X的分布列是
X
0
a
1
P
则当a在(0，1)内增大时，(
)
A.D(X)增大
B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小
D.D(X)先减小后增大
【答案】D
【解析】E(X)＝0×＋a×＋1×＝，故D(X)＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())2×＋eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－))2×＋eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－))2×＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－))2＋.因为0＜a＜1，所以D(X)先减小后增大.故选D.
11．(2017年开封模拟)设ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝且x1【答案】3
【解析】由E(ξ)＝，D(ξ)＝，
得
解得或由于x1∴x1＋x2＝3.
12．在12个同类型的零件中有2个次品，每次抽取一个，并且取出不再放回，抽取3次进行检验，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数．
(1)求ξ的分布列、期望值及方差；
(2)求η的分布列、期望值及方差．
【解析】(1)ξ的可能值为0,1,2.
若ξ＝0，表示没有取出次品，P(ξ＝0)＝＝；
同理，P(ξ＝1)＝＝；
P(ξ＝2)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
∴D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝＋＋＝.
(2)η的可能值为1,2,3，显然ξ＋η＝3.
P(η＝1)＝P(ξ＝2)＝，P(η＝2)＝P(ξ＝1)＝，
P(η＝3)＝P(ξ＝0)＝.
∴η的分布列为
η
1
2
3
P
∴E(η)＝E(3－ξ)＝3－E(ξ)＝3－＝.
∵η＝－ξ＋3，∴D(η)＝(－1)2D(ξ)＝.(共39张PPT)
2.3.2 离散型随机变量的方差
目标定位
重点难点
1.理解离散型随机变量的方差的含义．
2．利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
重点：离散型随机变量的方差的含义．
难点：利用离散型随机变量的方差解决实际问题.
1．离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
偏离程度
平均偏离程度
2．离散型随机变量的性质
若Y＝aX＋b(a，b为常数)，则E(aX＋b)＝__________，D(aX＋b)＝________，当a＝0时，D(b)＝________，即常数的方差等于0.
3．两点分布与二项分布的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝__________.
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝npq(q＝1－p)．
aE(X)＋b
a2D(X)
0
p(1－p)
1．下面说法中正确的是( )
A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平
【答案】D
【例1】
袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b
的值．
【解题探究】(1)先写出ξ的分布列，再求期望和方差．(2)利用期望和方差的性质，列方程求解．
离散型随机变量的方差
8
要求期望，需先求出分布列，要求出分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．熟练掌握期望和方差的性质，可以避免复杂的计算．
二项分布与两点分布的方差
8
判定某一离散型随机变量是否服从两点分布或二项分布是直接利用公式求期望和方差的先决条件．
2．一次数学测验由25道选择题构成，每答对一题得4分，不作答或答错不得分，某学生答对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差．
【例3】
(2017年北京)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“＋”表示未服药者．
概率、分布列、均值、方差的综合应用
8
离散型随机变量期望与方差的应用问题，一般先分析题意，明确题目欲求的是期望还是方差．在此基础上将题目考查的数量指标用随机变量表示，把实际问题转化为随机变量的期望与方差．
【示例】
某农科院对两个优良品种甲、乙在相同的条件下，进行对比实验，100公顷的产量列表如下：
甲品种
忽略对方差的比较
每公顷产量/吨
9.4
9.5
9.8
10.2
公顷数
11
32
42
15
乙品种
试判断这两个品种哪一个较好？
每公顷产量/吨
9.2
9.5
10
11
公顷数
35
20
35
10
错因分析：对于如何评价两个品种的质量的标准只是停在用均值来比较的层面上，误以为均值相同即质量相同，忽视了还可以利用方差对产量的稳定性进行考察．
正解：由错解，知E(X)甲＝E(X)乙＝9.72，
D(X)甲＝(9.4－9.72)2×0.11＋(9.5－9.72)2×0.32＋(9.8－9.72)2×0.42＋(10.2－9.72)2×0.15＝0.064，
D(X)乙＝(9.2－9.72)2×0.35＋(9.5－9.72)2×0.2＋(10－9.72)2×0.35＋(11－9.72)2×0.1＝0.295
6.
D(X)甲＜D(X)乙．所以甲品种质量更好一点．
警示：对于两个对象的优劣的比较，首先要比较它们的均值，当均值一致时，还必须利用方差，对其稳定性进行分析比较．
1．求方差的步骤：(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的期望E(ξ)；(3)利用方差定义求D(ξ)．
2．随机变量的方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因而，在比较两种产品的优劣、两人技术水平的高低时，如果均值相同，就需用方差来决定产品或技术的稳定情况．
3．方差的性质：D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
4．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)．
5．若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．
1．已知随机变量ξ满足Dξ＝2，则D(2ξ＋3)＝( )
A．8
B．5
C．4
D．2
【答案】A
2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )
A．0.2
B．0.8
C．0.196
D．0.804
【答案】C
【答案】B