(共33张PPT)
2.4 正态分布
目标定位
重点难点
1.掌握正态分布曲线的特点表示的意义．
2．知道什么样的随机变量服从正态分布.
重点：正态分布密度曲线的特点及所表示的意义．
难点：正态分布密度曲线所表示的意义.
上方
不相交
x＝μ
1
(5)当________一定时，曲线随着________的变化而沿x轴平移(如图1)；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ________，曲线越“瘦高”；σ________，曲线越“矮胖”(如图2)．
σ
μ
越小
越大
0.682
6
0.954
4
0.997
4
4．正态分布的3σ原则
(1)3σ原则的含义
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取__________________之间的值，并简称之为3σ原则．
(2)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率
正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002
6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
(μ－3σ，μ＋3σ)
【答案】B
3．如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3
的三种正态曲线N(0，σ2)图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________．
【例1】如图所示，是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．
正态曲线
8
正态分布中的参数μ和σ(σ＞0)分别表示总体的平均值与标准差．
【例2】
已知ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，求ξ在(0，＋∞)内取值的概率．
【解题探究】利用正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等这一性质求解．
【解析】∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ>0)，
∴正态曲线的对称轴是直线x＝4，
∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.
又ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，
∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.
正态分布的概率计算
8
求解正态分布的概率的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时可借助图形判断．要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质．
2．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)且P(2≤X≤4)＝0.682
6，求P(X>4)的值．
【例3】
已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，求其长度误差落在区间(3,6)内的概率．
附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%.
【解题探究】将所求问题转化为已知概率的区间．
正态分布的实际应用
8
对于特殊区间求概率一定要掌握服从N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间的取值概率，将所求问题向P(μ－σ【示例】
某人从某城市的南区乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)满足X～N(50,22)，求他在时间段(46,54)内赶到火车站的概率．
错解：∵X～N(50,22)，
∴μ＝50，σ＝22＝4.
∴P(466.
错误使用数据致错
错因分析：上述错解是把N(μ，σ2)中的第二个数σ2
错记为σ.
正解：∵X～N(50,22)，∴μ＝50，σ2＝22.则σ＝2.
∴P(464.
警示：正态分布由参数μ与σ确定，正态曲线关于直线x＝μ对称且面积为1，求正态变量在某区间取值的概率时，往往把所求问题转化到(μ－σ，μ＋σ)或(μ－2σ，μ＋2σ)或(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内解决．
3．参数μ，σ对正态分布的密度函数图象的作用
因μ＝E(X)，μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，μ的值的大小决定对称轴在坐标系中的位置；由σ2＝D(X)知σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”．
4．若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ6，
P(μ－2σ4，
P(μ－3σ4.
1.(2019年梅州期末)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(ξ≤3)=0.84，则P(ξ≤1)=(
)
A.0.16
B.0.32
C.0.68
D.0.84
【答案】A
【解析】∵ξ~N(2,σ2)，∴正态分布曲线关于x=2对称.∴P(ξ≤1)=P(ξ≥3)=1-P(ξ≤3)=1-0.84=0.16.故选A.
2.(2019年滁州期末)今年全国高考,某校有3000人参加考试，其数学考试成绩X~N(100,a2)(a>0，试卷满分150分),统计结果显示数学考试成绩高于130分的人数为100，则该校此次数学考试成绩高于100分且低于130分的学生人数约为(
)
A.1300
B.1350 C.1400
D.1450
【答案】C
3．(2018年石家庄模拟)设X～N(1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X≥2)＝0.158
7，那么向正方形OABC中随机投掷20
000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )
A．12
076
B．13
174
C．14
056
D．7
539
【答案】B
【解析】由题意得P(X≤0)＝P(X≥2)＝0.158
7，∴P(07＝0.341
3，故估计落入阴影部分的点的个数为20
000×(1－0.341
3)＝13
174.第二章 2.4
【基础练习】
1．关于正态曲线特点的叙述：
①曲线关于直线x＝μ对称，整条曲线在x轴上方；
②曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
③曲线在x＝μ处处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；
④曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．
其中正确的是( )
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】B
2．(2017年沈阳模拟)设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2
B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
【答案】A
3．(2017年武汉四校联考)设随机变量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，则P(X>6－m)＝( )
A．0.3
B.
0.4
C.
0.6
D．0.7
【答案】D
4．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象且f(x)＝φμ，σ(x)＝e－，则这个正态总体平均数与标准差分别是( )
A．10与8
B．10与2
C．8与10
D．2与10
【答案】B
N(10,0.12),现抽取500袋样本，X表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，则X的数学期望约为(
)
注：若Z~N(μ,σ2)，则P(μ-σA.171
B.239
C.341
D.477
【答案】B
6．若随机变量服从正态分布ξ～N(2,1)且P(ξ>3)＝0.158
7，则P(ξ>1)＝________.
【答案】0.841
3
7.(2019年湖南模拟)某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩X~N(100,σ2).统计结果显示数学考试成绩X在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________．
【答案】3250
【解析】因为成绩X~N(100,σ2)，所以正态分布曲线关于X=100对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，所以成绩不低于120分的学生人数占总人数的×(1-)=，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有×26000=3250.
8．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1
000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1
000小时的概率．
【解析】由题意知每个电子元件使用寿命超过1
000小时的概率均为，
元件1或元件2正常工作的概率为1－×＝，
∴该部件的使用寿命超过1
000小时的概率为×＝.
【能力提升】
9．(2018年娄底期末)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8
kg的概率为(注：P(μ－σ6，P(μ－2σ4，P(μ－3σ4)( )
A．0.001
3
B．0.022
8
C．0.158
7
D．0.034
6
【答案】B
【解析】因为袋装大米质量服从正态分布N(10,0.12)，所以P(ξ<9.8)＝[1－P(9.8<ξ<10.2)]＝[1－P(10－2×0.1<ξ<10＋2×0.1)]＝(1－0.954
4)＝0.022
8.
10.(2019年鄂尔多斯期末)已知随机变量X~N(6,1)，且P(5A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为X~N(6,1)，则正态分布曲线关于x=6对称，所以P(411．(2016年泉州二模)若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝e－(x∈R)，则E(2X－1)＝________.
【答案】－5
【解析】依题意，得σ＝2，μ＝－2，则E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.
12.(2019年梧州期末)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图.
(1)求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z近似服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(175.6②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z (175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记这些产品的利润为Y元，求E(Y).
附:≈12.2，若Z~N(μ,σ2)，则P(μ-σ【解析】(1)由题意得
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，则
s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150.
(2)①由(1)可得μ=200,σ=≈12.2，则Z~N(200,12.22),
所以P(175.6②设每件产品的利润是T元，则T的可能取值为6或-58，
由题意的P(T=6)=0.95,P(T=-58)=0.05，
所以E(T)=6×0.95-58×0.05=2.8.
又Y=100T，则E(Y)=100E(T)=280.
