高中数学人教A版选修2-2-《导数与函数的零点》专题汇编（简答）（Word版）

导数与函数的零点

.函数零点的相关概念
1.对于函数，把使的实数叫做函数的零点.
2.方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3.零点存在性定理
如果函数在区间上图象是连续不断的一条曲线，并且有，
那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个
也就是方程的根.
4.对于求一些较为复杂的函数的零点，可以先把转化成，再把函数拆分成两个我们常见的函数，的图像与的图像的交点个数就是函数的零点个数，
5.导数在函数零点中的作用，主要考虑求导后单调性与极值的综合运用

一．三次函数的零点问题
已知为三次函数的两个极值点与（求导后的二次函数）
①若函数有3个零点，则有
②若函数有2个零点，则有
③若函数有1个零点，则有或者
1.函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若函数与函数有3个交点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是
4.若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是
5.已知函数其中，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是

二．判断零点的个数（主要考虑极值与0的大小关系或者转换为两个函数的交点个数）
1.函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2..函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函数的零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.若，则方程在上恰好有 个根.
5.已知函数，则函数有 个零点.

三．根据零点个数求参数的范围
利用过点切线求零点（一次函数与另外的初等函数的结合）
1.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为
2.已知函数存在零点，则实数的取值范围为
3.已知函数在上没有零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

参变分离求零点（主要考虑参数与函数极值的大小关系）
4.若函数存在零点，则实数的取值范围是
5.若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是
6.已知函数与函数有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数与函数有两个交点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
四．证明零点（极值点）的个数问题
主要通过函数单调性及零点存在性定理进行证明
1.已知函数，证明：存在唯一的极值点；


2.已知函数，讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；


3.已知函数，证明：只有一个零点．



五．隐零点问题
①隐零点：函数存在零点，但不能求出具体值，常用设而不求的方式解决
②对于隐零点问题，一般是先求导函数的零点（通过单调性及零点存在性定理，确定其大致范围），利用然后，得到一个关于的式子，然后代换出的式子，从而求到函数极（最）值的取值或者范围.
1.已知函数，证明：




2.已知函数，证明：




3.已知函数，且，证明：





4.已知函数，且，证明：存在极小值点，且






5.已知函数，当时，恒成立，求正整数的最大值.






6.已知，若恒成立，求实数的取值范围.






五．零点综合性大题
1.已知函数.
（1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求a.




2.已知函数.
（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围.




3.已知函数.
（1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围．





4.已知函数，且.
（1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且.





答案
一．1-5 CB，，
二．1-5 CBB，1，1
三．1-7 ，，C，，，CD