18.2.3 正方形课课练(含答案)
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人教版数学八年级下册﹒课课练
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
一、选择题
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( )
A．3 B．12 C．18 D．36
3. 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
4. 如图，?ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( )
A．50° B．55° C．70° D．75°
5. 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
6. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
二、填空题
8. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ .
9. 如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为 ．
10. 在?ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是 ．
11. 如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是 ．
三、解答题
12. 如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
求证：AP＝BQ.
13. 已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
参 考 答 案
1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B
8. 45°
9. 150°
10. ①③④
11. －2
12. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∴∠BAQ＋∠DAP＝90°. ∵DP⊥AQ，∴∠APD＝90°.∴∠ADP＋∠DAP＝90°. ∴∠ADP＝∠BAQ. ∵AQ⊥BE，∴∠BQA＝90°. 在△DAP和△ABQ中， ∴△DAP≌△ABQ(AAS)．∴AP＝BQ.
13. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°. 在△CDF和△CBE中， ∴△CDF≌△CBE(ASA)．∴CE＝CF.
(2)∵△CDF≌△CBE，∴∠DCF＝∠BCE. ∴∠ECF＝∠DCB＝90°. ∵CF＝CE，∴∠CEF＝45°.
14. 解：(1)证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB. 又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°. ∴四边形AEBD是矩形．
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD. 又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD. ∴矩形AEBD是正方形．
15. 解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. 又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD. 又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE. 又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．又∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. 又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°. 又∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
一、选择题
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( )
A．3 B．12 C．18 D．36
3. 如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
4. 如图，?ABCD与正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( )
A．50° B．55° C．70° D．75°
5. 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
6. 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( )
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
二、填空题
8. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝ .
9. 如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为 ．
10. 在?ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是 ．
11. 如图，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG面积为4，那么△GCE的面积是 ．
三、解答题
12. 如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.
求证：AP＝BQ.
13. 已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.
(1)求证：CE＝AD；
(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
参 考 答 案
1. A 2. C 3. C 4. C 5. D 6. D 7. B
8. 45°
9. 150°
10. ①③④
11. －2
12. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∴∠BAQ＋∠DAP＝90°. ∵DP⊥AQ，∴∠APD＝90°.∴∠ADP＋∠DAP＝90°. ∴∠ADP＝∠BAQ. ∵AQ⊥BE，∴∠BQA＝90°. 在△DAP和△ABQ中， ∴△DAP≌△ABQ(AAS)．∴AP＝BQ.
13. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°. 在△CDF和△CBE中， ∴△CDF≌△CBE(ASA)．∴CE＝CF.
(2)∵△CDF≌△CBE，∴∠DCF＝∠BCE. ∴∠ECF＝∠DCB＝90°. ∵CF＝CE，∴∠CEF＝45°.
14. 解：(1)证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB. 又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°. ∴四边形AEBD是矩形．
(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD. 又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD. ∴矩形AEBD是正方形．
15. 解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. 又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB. ∴AC∥DE. 又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.
(2)四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD. 又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE. 又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．又∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形．
(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC. 又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°. 又∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．