必修5 1.1正弦定理 课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
1.1.1 正弦定理

1、边的关系：
2、角的关系：
3、边角关系：
1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边
2）在直角三角形中：a2+b2=c2
1）A+B+C=1800
1）大边对大角，大角对大边，等边对等角
2）在直角三角形ABC中,C=900,则
回顾三角形中的边角关系:
一、前提测评
教学目标：
（1）掌握正弦定理的推导
（2）理解正弦定理在解三角形中的作用；
（3）能运用正弦定理解三角形；
（4）通过讨论和探究，使学生形成探索问题的习惯；
重难点：运用正弦定理解三角形；
教学方法：探究法
对任意三角形,这个等式都会成立吗?
怎么证明这个结论？
在直角三角形中:
正弦定理的发现

探究二：在锐角三角形中，结合三角函数，探究边角关系？


A
C
B
b
a
c


D
同理可得：




如图所示,作?ABC外接圆则
∴
同理
∴
（R为?ABC外接圆半径）



A
B
C
a
b
c

O
D
∠A=∠D
探究三：在钝角三角形中，结合三角函数，探究边角关系？
如图,同样可证得
即等式对任意三角形都成立
正弦定理
在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
注意：定理适合任意三角形。



A
B
C
a
c
b
（2R是三角形外接圆的直径）
证法二：(面积法)
在任意斜?ABC当中
作AD⊥BC于D
∴
∵
∴



同理可证
D



A
B
C
c
a
b



h
（一）正弦定理的证明
1、当?ABC为锐角三角形时，如图（1）
证明:
过A作单位向量 垂直,
则 的夹角为________,
的夹角为________,
的夹角为________.
已知:?ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.
求证:





A
C
B
a
b
c
j
方法三(向量法)



A
C
B
a
b
c


正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即：


变形应用：
　a : b : c = sinA : sinB : sinC
asinB=bsinA csinB=bsinc csinA=asinB
小结与思考

问题 通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？

1. 用向量证明了正弦定理,体现了数形结合的 数学思想
2. 它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系.
3. 定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运 用分类讨论的思想.


一般性结论：把三角形的三个角A，B，C和三条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。

知识回顾：应用正弦定理解三角形需要几个元素？什么样的元素？
正弦定理在解斜三角形中的两类应用:
(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.
(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)
A
B
a
C
A
a
a
b
B
例题分析与点评：
例1：在△ABC中，已知A=32.00，B=81.80，a=42.9cm，解三角形.
（一）思路：
（二）点评：
（三）规范答题：

A
C
B
b
a
c

解：∵A+B+C=1800 ∴C=1800-（A+B）
=1800-（32.00+81.80）=66.20
根据正弦定理，


根据正弦定理，


例2：在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=400，解三角形（角度精确到10,边长精确到1cm）.
（一）思路：
（二）点评：
（三）规范答题：

A
C
B
b
a
c

解：根据正弦定理，


∴B≈640
错！
∵00∴B≈640或B≈1160
(1)当B≈640时，…
(2)当B≈1160时，…

特别注意！




变例一：在△ABC中，已知a=20cm，b= cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精确到1cm）.
解：根据正弦定理，


∵00∴B=300或B=1500





(正确解法)解：根据正弦定理，
∵00b
∴B=300
……





变例二：在△ABC中，已知a=22cm，b=25cm cm，A=1330，解三角形（角度精确到0.010,边长精确到1cm）.
解：根据正弦定理，


∵00∴B≈56.210或B≈123.790


∴B≈56.210或B≈123.790




(正确解法)解：根据正弦定理，


∵00而A=1330
∴这样的三角形不存在！
例3、ΔABC中,c= ,A=450 a=2,
求b和B、C
解：∵ =
∴ sinC= =sinC= =
b= = = +1
∴C=600
∴当C=600时，B=750
或C=1200
24
∴当C=1200 时，B=150 ，

b= = = -1

∴b= +1, B=750 ，C=600

或b= -1， B=150 ，C=1200

25
例2、在ΔABC中，b= ,B=600 ,c=1,求a和A，C
解：∵ =
∴ sinC= = =
∴ B=900 a= =2
∵b>c,B=600 ∴C∴C=300
若A为锐角时:






若A为直角或钝角时:

已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种情况:

判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o

(2)c=54, b=39, C=120o

(3)b=26, c=15, C=30o

(4)a=2,b=6,A=30o
两解
一解
两解
无解
练习：
四、反馈练习
1、根据下列条件确定△ABC有两个解的是（ ）
A.a=18 B=300 A=1200
B.a=60 c=48 C=1200
C.a=3 b=6 A=300
D.a=14 b=15 A=450
2、根据下列条件解三角形
(1)已知在△ABC中a=8,B=600,C=450,求b
(2)已知在△ABC中b= ,c=1,B=450, 求C
由正弦定理可得：
由正弦定理可得：


答案：
1、由正弦定理可得：
A:
B：由于a>c，故A>C，无解
C：
D：
四、当堂训练

1、在 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1度，边长精确到1cm):
(1)
(2)
例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B
解：∵c=10 A=450,C=300
∴B= 1800 -(A+C)=1050
由 = 得 a= = =10
由 =

得 b= = = 20sin750=20×
= 5 +5
例题讲解：
2、在 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到1度，边长精确到1cm):
(1)
(2)

小结：
（1）正弦定理的熟记方法
（2）利用正弦定理可以用于两类解三角形的问题。一是已知任意两角与一边；二是已知二边与其中一边的对角；
（3）利用正弦定理求角时要注意大边对大角，解的个数，避免漏角。
谢谢
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