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课题：5.2.2平行线的判定
教学目标：在用三角尺和直尺的条件下，学生通过观察法得出平行判定的法则一，并能够运用法则证明直线平行。
在平行法则一掌握的条件下，学生通过探究法依次得出其他法则，并能够运用法则证明直线平行。
重点：平行法则的判定证明
难点：用平行判定法则证明直线平行
教学流程：
一、新知导入
上一节课我们学习了平行线，平行公理及其推论，你能否运用这两种方法来说明下面这两个问题的道理？
1.你能说出木工师傅用图中的角尺画平行线的道理？
2.有一块玻璃，用什么方法可以检验相对的两边是否平行？
设计意图：利用学生已经学过的知识，解决新问题遇到困难，引发认知冲突，激起学生学习兴趣。
二、观察
我们以已学过用直尺和三角尺画平行线（图）。在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？
简化图得到图.可以看出，直线AB的平行线CD。实际上就是过点P得到与∠2相等的∠1.而∠2和∠l正是直线AB，CD被直线EF我得的同位角。这说明，如果同位角相等，那么ABCD.
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单记为“同位角相等，两直线平行”
1.已知∠1=54，当时，？
设计意图：利用观察法，引导学生按照自己的思维发现直线平行的判定定理，为后文课程引入做好铺垫。
三、探究
1.已知：直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，求证：
证明：因为∠1=∠2（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∠2=∠3（等量代换）
ABCD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称为“内错角相等，两直线平行”
练习：已知：∠1=∠A=∠C，
（1）从∠1=∠A，可以判断哪两条直线平行？它的依据是什么？
（2）从∠1=∠C，可以判断哪两条直线平行？它的依据是什么？
（1）依据：同位角相等，两直线平行
（2）依据：内错角相等，两直线平行
2.如图：如果∠1+∠2=180°能判定a//b吗？
解：能.
因为∠1+∠2=180
∠1+∠3=180（邻补角定义）
所以∠2=∠3（同角的补角相等）
a//b（同位角相等，两直线平行）
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简记为“同旁内角互补，两直线平行”
练习：已知：∠A与∠D互补，可以判定哪两条直线平行？∠B与哪个角互补，可以判定直线AD//BC？
∠A与∠D互补，可以判定AB//CD
∠B与∠A互补，可以判定直线AD//BC
3.如图，两条直线b、c都垂直于同一条直线a，这两条直线b、c平行吗？为什么？
判定方法4：在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线平行。
简记为“垂直于同一直线的两直线平行”
设计意图：采用探究法，设计问题，引导学生，使得学生在发现中学会知识。
四、课堂练习
1.如图，将木条a，b与c钉在--起，∠1 =70°，∠2=50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ B ）
A.10° B.20° C.50° D.70°
2.如图，不能判定AB//CD的是（ D ）
A.∠B=∠DCE B.∠A=∠ACD
C.∠B+∠BCD=180° D.∠A=∠DCE
3.如图，直线MN和直线AB，CD，EF分别交于点G，H，P，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，试问：AB与EF平行吗？为什么？
解析：AB//EF.理由如下：
因为∠1=∠2，∠1=∠AGH，
所以∠2=∠AGH，AB//CD（同位角相等，两直线平行）
因为∠2+∠3=180°，∠3=∠EPH，
所以∠2+∠EPH=180°，
所以EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）
所以AB//EF（平行公理的推论）
五、拓展提高
1.如图，已知∠B+∠BEC+∠C=360°，试说明AB//CD.
解析：如图，在∠BEC的内部作射线EF，使∠1+∠B=180°，则AB∥EF
因为∠B+∠BEC+∠C=360°,
所以∠2+∠C=180°,
所以EF∥CD
所以AB//CD.
2.已知，如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上.点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，∠AFG=∠G.试说明GE//AD.
解：因为AD是∠CAB的平分线，
所以∠BAC=2∠DAC.
因为∠G+∠GFA=∠BAC，
所以∠AFG=∠G.
所以∠BAC=2∠G
所以∠DAC=∠G.
所以GE/∥AD（同位角相等，两直线平行）.
3.光从空气斜射入水中时，传播方向会发生偏折，这种现象叫做光的折射.同样，光从水中斜射入空气中时，也会发生折射.如图，一束光CD从空气射入水中，再从水中射入空气中.其中，直线a，b都表示空气与水的分界面，光在水中的部分为DE.已知∠1=∠4，∠2=∠3，请你判断CD与EF是否平行？为什么？
解：平行.理由如下：
因为∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠2=∠3
所以∠5=∠6，又∠1=∠4，
所以∠1+∠5=∠4+∠6，即∠CDE=∠DEF，
所以CD//EF.
4.如图，已知∠F=40°，∠D=60°，∠C=70°，∠A=130°，试说明AB∥EF的理由.
证明：如图，在∠CDF的内部作射线DM，使∠1=∠F=40°，在∠ACD的内部作射线CN，使∠4+∠A=180°，则∠2=∠FDC-∠1=60°-40°=20°，
∠4=180°-∠A=180°-130°=50°，
所以∠3=∠DCA-∠4=700-500=20°.
因为∠2=∠3，所以DM∥CN.
因为∠1=∠F，所以DM∥EF，
所以EF∥CN.
因为∠4+∠A=180°，所以CN//AB，
所以AB//EF.
设计意图：设计此类题，巩固平行判定法则，使得学生强化记忆，灵活运用。
六、课堂总结
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
垂直于同一直线的两直线平行
七、达标测评
1.如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为______（任意添加一个符合题意的条件即可）
答案：1.答案不唯一，∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE
2.如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角∠C=__时，道路CE才能恰好与AD平行.
八、布置作业
完成第16页第7题、第17页第12题
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(共20张PPT)
平行线的判定
数学人教版 七年级下
新知导入
上一节课我们学习了平行线，平行公理及其推论，你能否运用这两种方法来说明下面这两个问题的道理？
1.你能说出木工师傅用图中的角尺画平行线的道理？
2.有一块玻璃，用什么方法可以检验相对的两边是否平行？
观察
我们以已学过用直尺和三角尺画平行线（图）。在这一过程中，三角尺起着什么样的作用？
简化图得到图.可以看出，直线AB的平行线CD。实际上就是过点P得到与∠2相等的∠1.而∠2和∠l正是直线AB，CD被直线EF我得的同位角。这说明，如果同位角相等，那么AB CD.
观察
练习：1.已知∠1=54 当________时， ？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单记为“同位角相等，两直线平行”
探究一
1.已知：直线AB、CD被EF所截，∠1=∠2，求证：AB CD
证明：因为∠1=∠2（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∠2=∠3（等量代换）
AB CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称为“内错角相等，两直线平行”
探究一
练习：已知：∠1=∠A=∠C，
（1）从∠1=∠A，可以判断哪两条直线平行？它的依据是什么？
（2）从∠1=∠C，可以判断哪两条直线平行？它的依据是什么？
（1） 依据：同位角相等，两直线平行
（2） 依据：内错角相等，两直线平行
探究二
2.如图：如果∠1+∠2=180°能判定a//b吗？
解：能.
因为∠1+∠2=180
∠1+∠3=180（邻补角定义）
所以∠2=∠3（同角的补角相等）
a//b（同位角相等，两直线平行）
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简记为“同旁内角互补，两直线平行”
探究二
练习：已知：∠A与∠D互补，可以判定哪两条直线平行？∠B与哪个角互补，可以判定直线AD//BC？
∠A与∠D互补，可以判定AB//CD
∠B与∠A互补，可以判定直线AD//BC
探究三
3.如图，两条直线b、c都垂直于同一条直线a，这两条直线b、c平行吗？为什么？
判定方法4：在同一平面内，两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线平行。
简记为“垂直于同一直线的两直线平行”
课堂练习
1.如图，将木条a，b与c钉在--起，∠1 =70°，∠2=50°.要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（ ）
A.10° B.20° C.50° D.70°
2.如图，不能判定AB//CD的是（ ）
A.∠B=∠DCE B.∠A=∠ACD
C.∠B+∠BCD=180° D.∠A=∠DCE
课堂练习
3.如图，直线MN和直线AB，CD，EF分别交于点G，H，P，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，试问：AB与EF平行吗？为什么？
解析：AB//EF.理由如下：
因为∠1=∠2，∠1=∠AGH，
所以∠2=∠AGH，AB//CD（同位角相等，两直线平行）
因为∠2+∠3=180°，∠3=∠EPH，
所以∠2+∠EPH=180°，
所以EF//CD（同旁内角互补，两直线平行）
所以AB//EF（平行公理的推论）
拓展提高
1.如图，已知∠B+∠BEC+∠C=360°，试说明AB//CD.
解析：如图，在∠BEC的内部作射线EF，使∠1+∠B=180°，则AB∥EF
因为∠B+∠BEC+∠C=360°,
所以∠2+∠C=180°,
所以EF∥CD
所以AB//CD.
拓展提高
2.已知，如图，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上.点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，∠AFG=∠G.试说明GE//AD.
解：因为AD是∠CAB的平分线，
所以∠BAC=2∠DAC.
因为∠G+∠GFA=∠BAC，
所以∠AFG=∠G.
所以∠BAC=2∠G
所以∠DAC=∠G.
所以GE/∥AD（同位角相等，两直线平行）.
拓展提高
3.光从空气斜射入水中时，传播方向会发生偏折，这种现象叫做光的折射.同样，光从水中斜射入空气中时，也会发生折射.如图，一束光CD从空气射入水中，再从水中射入空气中.其中，直线a，b都表示空气与水的分界面，光在水中的部分为DE.已知∠1=∠4，∠2=∠3，请你判断CD与EF是否平行？为什么？
解：平行.理由如下：
因为∠2+∠5=180°，∠3+∠6=180°，∠2=∠3
所以∠5=∠6，又∠1=∠4，
所以∠1+∠5=∠4+∠6，即∠CDE=∠DEF，
所以CD//EF.
拓展提高
4.如图，已知∠F=40°，∠D=60°，∠C=70°，∠A=130°，试说明AB∥EF的理由.
证明：如图，在∠CDF的内部作射线DM，使∠1=∠F=40°，在∠ACD的内部作射线CN，使∠4+∠A=180°，则∠2=∠FDC-∠1=60°-40°=20°，
∠4=180°-∠A=180°-130°=50°，
所以∠3=∠DCA-∠4=700-500=20°.
因为∠2=∠3，所以DM∥CN.
因为∠1=∠F，所以DM∥EF，
所以EF∥CN.
因为∠4+∠A=180°，所以CN//AB，
所以AB//EF.
课堂总结
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
垂直于同一直线的两直线平行
达标测验
1.如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为______（任意添加一个符合题意的条件即可）
1.答案不唯一，∠A+∠ABC=180°或
∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或
∠C=∠CDE
2.如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110°，第二次拐的角∠B=145°，则第三次拐的角∠C=__时，道路CE才能恰好与AD平行.
作业布置
完成第16页第7题、第17页第12题
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5.2.2平行线的判定
总分60分 时间30分钟
一、单选题（共8题；共24分）
1.下列命题中，是真命题的是（??? ）
A.?内错角相等???????? ?? B.?三角形的外角大于内角??????????C.?对顶角相等??????????D.?同位角互补，两直线平行
2.给出下列4个命题：①垂线段最短；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③同旁内角相等，两直线平行；④同旁内角的两个角的平分线互相垂直.其中真命题的个数为（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????? ????C.?3???????????????????????????????D.?4
3.下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（?? ）
A.????????????????????????????????????????????? ????B.?
C.???????????????????????????????????????????? ??D.?
4.如图，下列说法错误的是（??? ）
A.?若 a∥b，b∥c，则 a∥c??????????????????????????????????????? B.?若∠1=∠2，则 a∥c
C.?若∠3=∠2，则 b∥c????????????????????????????????????????? ????D.?若∠3+∠5=180°，则 a∥c
5.如图，已知∠2=10°，要使a∥b，则须具备另一个条件(??? )
A.?∠3=70°????????????????????????????? B.?∠3=110°????????????????????????? ????C.?∠4=70°?????????????????????????????D.?∠1=70°
6.下列条件中不能判定AB∥CD的是( )
A.?∠1＝∠4????????????????????? ???B.?∠2＝∠3???????????? ????????????C.?∠5＝∠B??????????????????????D.?∠BAD+∠D=180°
7.如图所示，点 在 的延长线上，下列条件中不能判断 （?? ）
A.????????????? ??B.????????? ?????? C.???D.?
8.如图,不能作为判断AE∥CD的条件的是(??? )
A.?∠FEB=∠ECD???????????? ??B.?∠AEC=∠ECD??????? ???? ???C.?∠BEC+∠ECD=180°?????D.?∠AEG=∠DCH??
二、填空题（共4题；共12分）
9.结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵________，∴a∥b.
10.在同一平面内，三条不同的直线a、b、c，若a⊥c，b⊥c，则________．
11.如图，写出一个能判定EC∥AB的条件是________．
12.如图， ，则 ________度.
三、解答题（共3题；共24分）
13.如图，已知∠1=∠2，再添加什么条件时，可使AB∥CD？
14.填写推理理由，将过程补充完整：
如图， ， .求证： .
证明：∵ （已知），
∴ （ ）.
∵ （已知），
∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
∴ = （ ）
15.如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠E，求证：BE∥CD．
答案解析部分
一、单选题
1.答案： C
考点：对顶角、邻补角，平行线的判定，三角形的外角性质
解析：解：A. 缺少条件，故不符合题意；
B.若一个钝角的外角就小于其本身，故不符合题意；
C. 对顶角相等，符合题意；
D. 同旁内角互补，两直线平行，故不符合题意.
故答案为：C.
分析：根据平行线的判定定理与性质定理，外角的定义，对顶角的定义分析可直接选出答案．
2.答案： A
考点：余角、补角及其性质，垂线段最短，平行线的判定
解析：①应该是连接直线外一点与直线上的所有线段中，垂线段最短，所以正确，符合题意；
②如果两个都是直角则可判断“互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角”所以错误，不符合题意；
③根据平行线的判定定理可判断同旁内角互补，两直线平行，所以错误，不符合题意；
④因为没说明两直线平行，所以不能得出，故错误，不符合题意.
故答案为：A
分析：①根据垂线段的性质：连接直线外一点与直线上的所有线段中，垂线段最短，可知①正确，符合题意；
②根据补角的定义：和为180°的两个角叫作互为补角，故互补的两个角中不一定是一个为锐角，另一个为钝角 ，也可以是两个直角错误，故②错误，不符合题意；
③根据平行线的判定定理可判断同旁内角互补，两直线平行，所以③错误，不符合题意；
④因为没说明两直线平行，所以不能得出，故④错误，不符合题意，综上所述，即可得出答案。
3.答案： B
考点：平行线的判定
解析：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；
B、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AB∥CD；
C、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AD∥BC，不能判定AB∥CD；
D，∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD；
故答案为：B．
分析：根据同位角，内错角，同旁内角的概念和平行线的判定方法，即可.
4.答案： C
考点：平行线的判定
解析：A、若 a∥b，b∥c，则 a∥c，故A正确；
B、若∠1=∠2，则 a∥c，故B正确；
C、若∠3=∠2，则 d∥e，故C不正确；
D、 若∠3+∠5=180°，则 a∥c，故D正确；
故选C.
分析：A、平行于同一直线的两直线互相平行，据此判即可；
B、内错角相等，两直线平行，据此判断即可；
C、同位角相等，两直线平行，据此判断即可；
D、同旁内角互补角，两直线平行，据此判断即可.
5.答案： A
考点：平行线的判定
解析：∠2=110°，添加∠3=70°，可利用同旁内角互补得到 a∥b
故答案为：A
分析：根据平行线的判定定理，同旁内角互补，可证明。
6.答案： B
考点：平行线的判定
解析：A．∵∠1=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
B．∵∠2=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），判定的不是AB∥CD，故本选项符合题意；
C．∵∠5=∠B，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意；
D．∵∠BAD+∠D=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．
故答案为：B．
分析：根据平行线得判定定理进行判断即可
7.答案： B
考点：平行线的判定
解析：A、∵∠3=∠4，∴AC∥BD，故A选项不合题意；
B、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，故B选项符合题意．
C、∵∠D=∠DCE，∴AC∥BD，故C选项不合题意；
D、∵∠D+∠ACD=180°，∴AC∥BD，故D选项不合题意；
故答案为：B．
分析：A、利用内错角相等两直线平行即可得到AC与BD平行， B、利用内错角相等两直线平行即可得到AB与CD平行， C、利用内错角相等两直线平行即可得到AC与BD平行， D、利用同旁内角互补两直线平行即可得到AC与BD平行，
8.答案： D
考点：平行线的判定
解析：A、 ∠FEB=∠ECD ，则AE∥CD（同位角相等两直线平行），正确，不符合题意；
B、 ∠AEC=∠ECD ，则AE∥CD（内错角相等两直线平行），正确，不符合题意；
C、 ∠BEC+∠ECD=180° ，则AE∥CD（同旁内角互补两直线平行），正确，不符合题意；
D、 ∠AEG和∠DCH不属于三线八角当中的一组角，不能用来判断是否平行，错误，符合题意；
故答案为：D.
分析：利用平行线的判定定理，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，逐一判断即可。
二、填空题
9.答案：
考点：平行线的判定
解析：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）.
故答案为：∠1＋∠3＝180°.
分析：从图形提供的信息可知:只有∠1与∠3互为同旁内角，从而将“同旁内角互补”转化为数学语言即可。
10.答案： a∥b
考点：平行线的判定
解析：在同一平面内，三条不同的直线a、b、c ， 若a⊥c ， b⊥c ， 则a∥b ．
故答案为a∥b ．
分析：根据平行线的判定解答即可．
11.答案： ∠DCE=∠B（答案不唯一）
考点：平行线的判定
解析：能判定CE∥AB的一个条件是：∠DCE=∠B或∠ECA=∠A或∠B+∠BCE=180°．
故答案为：∠DCE=∠B（答案不唯一）．
分析：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．因而可以判定EC∥AB的条件是：∠DCE=∠B或∠ECA=∠A或∠B+∠BCE=180°．
12.答案： 80
考点：平行线的判定，平行线的性质
解析：∵∠1=∠2,∴上下两直线平行∴∠3+∠4=180°，则∠4=80°
分析：根据内错角相等两直线平行可得上下两直线平行，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求解.
三、解答题
13.答案： 解：添加条件：∠EBH=∠FDH，
理由：∵ ∠1=∠2 ，∠EBH=∠FDH，
∴∠1+∠EBH=∠2+∠FDH，
即∠ABD=∠CDH，
∴ AB∥CD?.
考点：平行线的判定
分析：添加条件∠EBH=∠FDH，利用等式性质可得∠ABD=∠CDH，根据同位角相等两直线平行即可求出结论.
14.答案： 解：∵ （已知），
∴ （内错角相等，两直线平行）.
∵ （已知），
∴ （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
∴ （两直线平行，同位角相等）
考点：平行公理及推论，平行线的判定
分析：此题考查的是平行线的性质与判定，要能灵活运用定理进行推理；先根据平行线的判定得出ABCD，CDEF，再根据平行线的性质得出∠BGF=∠C
15.答案： 解：如图，
∵∠A＝∠F，∠C＝∠E，
又∵∠A+∠C+∠AHC＝180°，∠F+∠E+∠FGE＝180°，
∴∠AHC＝∠FGE，
∴BE∥CD
考点：平行线的判定，三角形内角和定理
分析：由三角形内角和定理得：∠A+∠C+∠AHC＝180°，∠F+∠E+∠FGE＝180°，结合∠A＝∠F，∠C＝∠E，所以等量代换，得∠AHC＝∠FGE，最后由内错角相等两直线平行，得BE∥CD。
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