沪科版八年级下册数学第19章 四边形单元测试卷2解析版

绝密★启用前
四边形单元测试卷
一、单选题（每题4分，共40分)
1．一个多边形内角和是900°，则这个多边形的边数是 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
3．下列判断正确的是(????)
A．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4．如图，的周长为，对角线、相交于点，点是的中点，，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F并延长交BC于点G，D为AB中点，连接DF延长交AC于点E。若AB=12，BC=20，则线段EF的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
6．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线长分别为6和8的菱形,它的中点四边形的对角线长是( )
A．5 B． C．6 D．10
7．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )

A．28° B．56° C．62° D．72°
8．如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，已知，，则折痕BE的长是（ ）．

A． B． C． D．
9．如图,EF分别是正方形ABCD的边CDAD上的点且CE=DF,AB、BF相交于点O,若S△AOB=10，则S四边形DEOF等于（ ）

A．5 B．8 C．10 D．12
10．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S?ABCD=AB?AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每题5分，共20分)
11．如图，将等边三角形剪去一个角后，则的大小为______.

12．若等边三角形的边长是a， 则其面积是 _________.
13．将图 1 中的正方形纸片沿 CE 折叠后得到图 2，若图 2 中的∠DCB=28°，则∠ECD=________°．

14．在△ABC中，∠CAB＝2∠B，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，AC＝3，AD＝1.下列结论:①∠AEC＝∠CAB；②EF＝CE；③AC＝AE；④BD＝4；

正确的是___________(填序号)
三、解答题（满分90分)
15．如图，在□ABCD中，点E，F分别在边AB，DC上，且AE=CF，连接DE，BF．
求证：DE=BF．

16．□ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是平行四边形吗？为什么？

17．如图，在平行四边形ABCD 中，边CD 5 ，对角线 AC 8 ， DB 6.

（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）过点 D 作 DH AB 于点 H ，若点 P 是线段 AC 上的一个动点，求 PH PB 的最小.
18．如图，平分，，．

四边形是菱形吗？请说明你的理由；
当满足什么条件时，四边形是正方形，并证明．
19．如图，四边形ABCD是矩形，DG平分∠ADB交AB于点G，GF⊥BD于F．

（1）求证：△ADG≌△FDG；（2）若BG=2AG，BD=2，求AD的长.
20．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图①、图②中，以格点为顶点，线段AB为一边，分别画一个平行四边形和菱形，并直接写出它们的面积．(要求两个四边形不全等)
(2)在图③中，以点A为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，并直接写出它的面积．

21．八年级下册教材第69页习题14：四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．这道题对大多数同学来说，印象深刻数学课代表在做完这题后，她把这题稍作改动，如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的三等分点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，那么AE＝EF还成立吗？如果成立，给予证明，如果不成立，请说明理由．

22．请阅读，完成证明和填空.
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且.
请证明：.
（2）如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度.
（3）如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度.
（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________.
23．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上一点，且ED⊥DF，
求证：BE+CF＞EF．
小明发现，延长FD到点H，使DH=FD，连结BH、EH，构造△BDH和△EFH，通过证明△BDH与△CDF全等、△EFH为等腰三角形，利用△BEH使问题得以解决（如图2）．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在矩形ABCD中，O为对角线AC中点，将矩形ABCD翻折，使点B恰好与点O重合，EF为折痕，猜想EF、BE、FC之间的数量关系？并证明你的猜想．

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第6页，总6页
试卷第5页，总6页

参考答案
1．A
【解析】
【分析】
n边形的内角和为（n－2）180°，由此列方程求n的值即可.
【详解】
设这个多边形的边数为n，
则：（n－2）180°＝900°，
解得n＝7.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
2．C
【解析】
【分析】
由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【详解】
解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，

∵AB=AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而BO⊥AE，
∴AO=OE，
在Rt△AOB中，AO===4，
∴AE=2AO=8．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．
3．C
【解析】
【分析】
根据平行四边形、矩形、正方形的判定方法解答即可.
【详解】
选项A，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，选项A错误；
选项B，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，选项B错误；
选项C，一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形，选项C正确；
选项D，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，选项D错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了平行四边形、矩形、正方形的判定方法，熟知平行四边形、矩形、正方形的判定方法是解决本题的关键.
4．A
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质，三角形中位线定理即可解决问题
【详解】
解：平行四边形的周长为18，
，
，，
∴
，
，
，
的周长为，
故选．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理，属于中考常考题型．
5．C
【解析】
【分析】
由直角三角形的性质可求得DF=BD= AB，由角平分线的定义可证得DE∥BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．
【详解】
解:∵AF⊥BF，D为AB的中点，
∴DF=DB=AB=6，
∴∠DBF=∠DFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠CBF，
∴∠DFB=∠CBF，
∴DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=10，
∴EF=DE?DF=10?6=4，
故选：C.
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得△DBF为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为△ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.
6．A
【解析】
【分析】
顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
【详解】
∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；

理由如下：∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥AC，EF=GH= DB，
EF=HG=AC，EH∥FG∥BD
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=BD=3cm，EF=AC=4cm，
∴HF=cm．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
7．C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，

∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．
8．D
【解析】
【分析】
先过点F作FM⊥BC于M．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE=CE，∠AEF=∠CEF，再利用平行线可得∠AEF=∠AFE，故有AE=AF,设BE=x，根据题意得到x2+42=（8-x）2，解方程即可．
【详解】
过点F作FM⊥BC于GM，

∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE=CE，∠AEF=∠CEF．
又∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEM，
根据翻折不变性，∠AEF=∠FEM，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
在Rt△ABE中，设BE=x，AB=4，AE=CE=8-x．x2+42=（8-x）2解得x=3．
∴BE=3.
故选：D.
【点睛】
考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程x2+42=（8-x）2．
9．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE然后都减去△AOF的面积,即可得解
【详解】
在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，∴AD-DF=CD-CE，即AF=DE，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE，∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF=10，故选C．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质和正方形的性质，解题关键在于利用三角形全等求证
10．C
【解析】
试题分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S?ABCD=AB?AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB＜OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S?ABCD=AB?AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，
∴AB＜OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正确．
故选C．

11．
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质求出∠B、∠C的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠1+∠2的大小．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B+∠C=60°+60°=120°，
根据四边形内角和为360°，
可知∠1+∠2=360°?120°=240°.
故答案为：240°.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及四边形内角和，熟练掌握等边三角形每个内角为60°，以及四边形内角和为360°是解题的关键.
12．
【解析】
分析：根据等边三角形的性质，作出一边上的高后出现了一个直角三角形，斜边为a，一条直角边为，由勾股定理可求出另一条直角边即高的长度，然后再算面积．
详解：如图所示，过A作AD⊥BC于D，则BD＝CD＝．

在Rt△ACD中，AC＝a，CD＝，∴AC2＝AD2＋CD2．
∴AD2＝AC2－CD2＝a2－（）2＝a2，AD＝a．
∴S△ABC＝AD·BC＝×a·a＝a2．
故答案为：a2．
点睛：本题主要者查勾股定理及等腰三角形的性质，正确的画出相关的图形，构造直角三角形是解题关键．
13．见解析
【解析】
【分析】
根据折叠的性质知2∠ECD+∠DCB=90°，再由∠DCB=28°,可得2∠ECD=62°，进而求解.
【详解】
由折叠的性质可得：2∠ECD+∠DCB=90°,
∵∠DCB=28°, ∴2∠ECD=90°-28°=62°,
∴∠ECD=31°,故答案为：31.
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
14．①②.
【解析】
【分析】
根据角平分线，三角形的外角性质以及等角对等边的性质可得出结论①②正确．
【详解】
解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠AEC＝∠B+∠EAB，
∴∠AEC＝2∠B=∠CAB，①正确；
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∵∠EAB＝∠B，
∴∠DCB＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CFE＝∠DCB，
∴EF＝CE，②正确；
无法证明AC＝AE，故③不正确；
∵AC＝3，AD＝1，CD⊥AB于D，
∴CD= ，
不能得出BD＝4，故④不正确.
故答案为①②.
【点睛】
本题考查角平分线，三角形的外角性质以及等角对等边的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．详见解析
【解析】
【分析】
欲证明，只要证明≌即可．由四边形ABCD是平行四边形，
可证，，从而根据“SAS”可证明≌.
【详解】
证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
在和中，
，
≌，
．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16．结论：四边形AECF是平行四边形，理由见解析.
【解析】
【分析】
证明AC和EF互相平分即可证得四边形AECF是平行四边形．
【详解】
结论：四边形AECF是平行四边形
理由是：∵ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵E，F分别是OB、OD的中点，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定.
17．（1）见解析；（2）PH PB最小值为9.6.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得OD=BD，OC=AC，利用勾股定理的逆定理可证△OCD为直角三角形，即∠COD=90°，再根据菱形的判定定理即可得证；
（2）由菱形的性质可得B点关于AC的对称点是点D，则DH即为PH+PB的最小值，利用菱形的面积公式即可求得DH的长.
【详解】
（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=BD=3，OC=AC=4，
∵，
∴∠COD=90°，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）∵BD⊥AC，OB=OD，
∴DH即为PH+PB的最小值，
∵S菱形ABCD=AC·BD=DH·AB，
∴6×8=5·DH，
解得DH=9.6.

【点睛】
本题主要考查菱形的判定与性质，菱形的面积公式，最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
18．四边形是菱形，理由见解析；（2）当时，四边形是正方形，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先证明四边形AEDF是平行四边形，然后再利用AD平分∠A证明AF=DF可得四边形AEDF是菱形；
（2）当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形，根据有一个角是直角的菱形是正方形可证．
【详解】
解：四边形是菱形．
∵，，
∴四边形是平行四边形；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当时，四边形是正方形；
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形．
【点睛】
此题主要考查了菱形和正方形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
19．（1）证明见解析;（2）AD=.
【解析】
试题分析：（1）由矩形的性质和已知条件得出∠A=∠GFD，∠ADG=∠FDG，由AAS即可证明△AGD≌△FGD；
（2）由△AGD≌△FGD，得出对应边相等FG=AG，根据BG=2AG求出∠FBG=30°，根据直角三角形中30° 的角所对的边是斜边的一半即可求出．
试题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，GF⊥BD，
∴∠A=∠DFG=90°，
又∠ADG=∠FDG，DG=DG，
∴△ADG≌△FDG.

（2）解：由（1）得△ADG≌△FDG，
∴FG=AG，
∵BG=2AG，∴BG=2FG，
∴在Rt△BFG中，sin∠FBG=，
∴∠FBG=30°，
∴AD=.
20．(1)画图见解析，菱形的面积＝4；平行四边形的面积＝4；(2)画图见解析，面积为10.
【解析】
【分析】
（1）根据菱形和平行四边形的画法解答即可；
（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
【详解】
(1)如图①②所示：
菱形的面积＝4；平行四边形的面积＝4；
(2)如图③所示：
正方形的面积＝10；

【点睛】
本题考查了作图﹣应用与设计作图．熟记勾股定理，菱形、平行四边形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．
21．成立，理由见解析.
【解析】
【分析】
取AB的三等分点，连接GE，由点E是边BC的三等分点，得到BE=BG，根据正方形的性质得到AG=EC，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
证明：取AB的三等分点，连接GE，

∵点E是边BC的三等分点，
∴BE=BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AG=EC，
∵△EBG为等腰直角三角形，可知∠AGE=135°，
∵∠AEF=90°，
∠BEA+∠FEC=90°，
∠BEA+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC．
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质等知识点，注意结合图形，灵活作出辅助线解决问题．
22．（1）见解析;（2）DM，90°;（3）EM，108°;（4）见解析.
【解析】
【分析】
①以正n边形的性质（即各边相等，各内角相等）为切入点，构造与 全等的三角形；②通过对正三角形的探究与分析，得到正n边形的一般性结论，即所探究的角恰好等于正n边形的内角.
【详解】
解 （1）证明：∵是正三角形，∴，.在和中，，∴.∴.又∵，∴.又∵，∴.
（2）在正方形中，，.
（3）在正五边形中，，.
（4）所连结的两条线段相等，所求的角恰好等于正边形的内角.
【点睛】
本题以正多边形为背景，以正三角形ABC为切入点，通过对问题的类比、改造、延伸和拓展来检测分析问题、解决问题的能力.启示我们学习数学要在“做数学”，而不是“背数学”.
23．EF2=AE2+CF2，，详见解析
【解析】
【分析】
猜想：EF2=AE2+CF2，延长EO交CD于点H，连结FH，首先证明△AEO≌△CHO，进而可得EO=HO，CH=AE，由折叠的性质可得△EFO≌△EFB，所以∠EOF=∠B=90°，继而在△FCH中，由勾股定理得FH2=CH2+FC2，即EF2=AE2+CF2问题得证．
【详解】
解：猜想：EF2=AE2+CF2，
理由如下：延长EO交CD于点H，连结FH．
∵四边形ABCD是矩形．
∴AB∥DC．∠B=90°
∴∠EAO=∠HCO．
∵O为对角线AC中点，
∴AO=CO．
∵∠BOE=∠COH，
∴△AEO≌△CHO．
∴EO=HO，CH=AE，
由题意可知△EFO≌△EFB．
∴∠EOF=∠B=90°．
∴OF垂直平分EH．
∴FH=EF
在△FCH中，由勾股定理得FH2=CH2+FC2，
∴EF2=AE2+CF2．

【点睛】
考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
答案第2页，总17页
答案第5页，总17页