2019—2020学年度第一学期期末学业质量监测
九年级数学 2020.01
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分.）
1. 下列方程中，没有实数根的方程是
A. B.
C. D.
2. 已知反比例函数y＝，则下列结论正确的是
A．点（1,2）在它的图象上
B. 其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．如果点P（m，n）在它的图象上，则点Q（n，m）也在它的图象上
3. 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为x，则可列方程为
A．3（1+x）2＝10 B．3+（1+x）+（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
抛物线y＝2（x+3）2﹣1可以由抛物线y＝2x2平移得到，下列平移正确的是
A．先向左平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
B．先向左平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
C．先向右平移3个单位长度，然后向上平移1个单位
D．先向右平移3个单位长度，然后向下平移1个单位
5. 若＝2，＝，则以为根的一元二次方程是
A．x2+3x﹣2＝0 B．x2﹣3x+2＝0
C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
6. 若反比例函数y＝的图象在每一个象限内y的值随x的增大而增大，则关于x的函数y＝（1+m）x+m2+3的图象经过
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
7. 如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是
A． B． C．6 D．3
若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则代数式a2+b2的值
A.﹣1或3 B．1或﹣3
C．﹣1 D．3
9. 如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、 OC．若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为
A. B. C. D.
10.如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是
A．3 B．4 C．4.8 D．5
11.如图，平行四边形ABCO的顶点B在双曲线y＝上，顶点C在双曲线y＝上，BC中点P恰好落在y轴上，已知S?OABC＝10，则k的值为
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D.﹣2
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，顶点坐标为(-1,m),与x轴的一个交点的坐标为(-3,0),给出以下结论：
①abc＞0; ②4a-2b+c>0; ③ 若B(,）、C（为函数图象上的两点，则；④当-3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 84分）
二、填空题（本题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分. ）
13.如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα＝，
则tanα＝__________.
14.若函数y=是反比例函数，则m=____________．
15.如图，一款落地灯的灯柱AB垂直于水平地面MN，高度为1.6米，支架部分的形状为开口向下的抛物线，其顶点C距灯柱AB的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4米，灯罩顶端D距灯柱AB的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D距地面的高度为 米．
16.如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，以B为圆心，BD为半径画弧，交BC延长线于M点，以D为圆心，CD为半径画弧，交AD于点N，则图中阴影部分的面积是 ．
17.阅读材料：一元二次方程的两个根是-2，3，画出二次函数y=的图像如图,位于x轴上方的图像上点的纵坐标y满足y>0,所以不等式点的横坐标的取值范围是-2 仿照例子，运用上面的方法解不等式的解是__________.
18.如图，在直角坐标系中，直线l的函数表达式为y＝x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，劣弧的长为 ．
三、解答题（本题共6小题，共66分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. (本题满分8分)
如图，在直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点A（3，m），过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为．
（1）求k和m的值；
（2）若点C（x，y）在反比例函数的图象上运动，观察图象，当点C的纵坐标y≤-1时，则对应的x的取值范围是______.
20.（本题满分9分）
已知关于x的方程kx2﹣2（k+2）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+x22﹣x1x2＝4，求k的值．
21. （本题满分10分）
如图，一艘捕鱼船在A处发出求救信号，位于A处正西方向的B处有一艘救援艇决定前去救援，但两船之间有暗礁，无法直线到达．救援艇决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行，同时捕鱼船向正北方向低速航行．30分钟后，捕鱼船到达距离A处1.5海里的D处，此时救援艇在C处测得D处在南偏东53°的方向上．
（1）求C、D两点的距离；
（2）捕鱼船继续低速向北航行，救援艇决定再次调整航向，沿CE方向前去救援，并且捕鱼船和救援艇同达时到E处，若两船航速不变，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
22. （本题满分12分）
时间x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表．
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
23.（本题满分13分）
如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，点P是⊙O外一点P,且PO⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点N，PO的延长线交⊙O于点M，连接BM、AD、AP．
（1）求证：PM∥AD；
（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；
（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的半径．
24.（本题满分14分）
如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
2019—2020学年度第一学期期末学业质量监测
九年级数学参考答案 2020.1
一、选择题（本题共12小题，每小题选对得3分，多选、不选、错选均记0分.）
CDDBB DADCD CD
二、填空题（本题共6小题，共18分. ）
13. 14. -3 15. 1.95
16.﹣． 17.1三、解答题（本题共6小题，共66分.）
19. (本题满分8分)
解：（1）∵A（3，m），∴OB＝3，AB＝m，
∴S△AOB＝OB?AB＝×3×m＝，
∴m＝，………………3分
∴点A的坐标为（3，）代入y＝，得k＝1；………………5分
（2）﹣1≤x<0．……………………8分
20.（本题满分9分）
解：（1）∵方程kx2﹣2（k+2）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（k+2）]2﹣4k（k﹣2）＝24k+16>0且k≠0，…………2分
解得k＞﹣且k≠0．
∴k的取值范围是k＞﹣且k≠0．……………………4分
（2）∵x1、x2是方程的两个根，
∴x1+x2＝，x1?x2＝，…………………………5分
∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝[]2﹣3×＝4，…………7分
即3k2﹣22k﹣16＝0．
解得k1＝﹣（舍去），k2＝8，
经检验，k2＝8是原方程的解．
故k的值是8．…………………………9分
21. （本题满分10分）
解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，……1分
∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，
∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5（海里），……………………………3分
∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，
∴GF＝AD＝1.5（海里），
∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6（海里），……………4分
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，
∵∠DCF＝53°，
∴cos∠DCF＝，
∴CD＝＝＝10（海里）．
答：CD两点的距离是10海里；………………6分
（2）如图，设救援艇调整方向后t小时能与捕渔船相会合，
由题意知CE＝30t，DE＝1.5×2×t＝3t，∠EDC＝53°，
过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，
∴sin∠EDH＝，∴EH＝EDsin53°＝3t×0.8＝2.4t， ……………………8分
∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝0.08．
答：∠ECD的正弦值是0.08．…………………………10分
22. （本题满分12分）
解：（1）当1≤x＜50时，
y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000 ……………………3分
当50≤x≤90时，
y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000 ………………5分
故y与x的函数关系式为：
y＝ …………6分
（2）当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000
＝﹣2（x﹣45）2+6050 …………………………8分
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝45时，y有最大值6050元； ………………9分
当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000,
∵k＝﹣120＜0,
∴y随x的增大而减小．
当x＝50时，y有最大值6000元．……………………11分
∵6050＞6000,
∴当x＝45时，y有最大值6050元．
∴销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元．
……………………………………12分
23.(本题满分13分)
（1）证明:∵BD是直径，∴∠DAB＝90°，………………1分
∵PO⊥AB，
∴∠DAB＝∠MCB＝90°，
∴PM∥AD；……………………3分
证明：如图1，连接OA，
∵OB＝OM，
∴∠M＝∠OBM，∴∠BON＝2∠M，
∵∠BAP＝2∠M，
∴∠BON＝∠BAP，……………………5分
∵PO⊥AB，
∴∠BON+∠OBA=90°，
∵OA＝OB,
∴∠OAB=∠OBA,
∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=∠OBA+∠BON=90°, …………7分
∵OA是半径，
∴PA是⊙O的切线；……………………8分
解：∵PO⊥AB
∴AC=BC
又∵OD=OB
∴OC=AD=3 …………………………9分
设BC=x
∵
∴MC=2x OB=OM=2x-3 ………………11分
在Rt△OBC中，
解得，
∴⊙O的半径为5．…………………………13分
24.（本题满分14分）
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），……………………2分
设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，
解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x.………………………5分
（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），…………6分
同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；……7分
①过点D作y轴的平行线交AB于点H，
设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），……8分
△BOD面积＝×DH×xB＝×3（﹣x2+x+x）
＝﹣x2+x=，…………………10分
∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，故点D（，﹣）.…………………11分
②点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．…14分（各1分）
