第六章 4
1．(2018府谷名校月考)已知引力常量为G，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则地球质量为( )
A．M＝gR2 B．M＝
C．M＝ D．M＝
【答案】B
【解析】设地球表面有一物体质量为m，由万有引力公式得＝mg，解得M＝.故选B.
2．(2018太原期末)已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍．不考虑地球、月球自转的影响，由以上数据可推算出( )
A．地球的平均密度与月球的平均密度之比约为9∶8
B．地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为9∶4
C．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9
D．靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为81∶4
【答案】C
【解析】ρ＝＝，已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍，所以地球的平均密度与月球的平均密度之比约为81∶64，故A错误．根据万有引力等于重力表示出重力加速度得＝mg，则g＝，其中R为星球半径，M为星球质量．所以地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为81∶16，故B错误．研究航天器做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式＝m，得T＝2π，其中R为星球半径，M为星球质量．所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为8∶9，故C正确．研究航天器做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式＝m，得v＝，其中R为星球半径，M为星球质量，所以靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器线速度与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器线速度之比约为9∶2，故D错误．
3．人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动．当其角速度变为原来的倍后，求其运动半径及线速度大小．
【答案】2r v
【解析】根据＝mω2r，＝m2r′，整理得
r′＝2r；由v＝ωr，得v′＝×2r＝v.
第六章 4
基础达标
一、选择题(在每小题给出的4个选项中，第1～4题只有一项符合题目要求；第5～6题有多项符合题目要求)1.(2018恩平校级期中)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转周期大于火星的公转周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
【答案】D
【解析】题目已知地球环绕太阳的公转半径小于火星环绕太阳的公转半径，利用口诀“高轨、低速、大周期”能够非常快的判断出，地球的轨道“低”，因此线速度大、周期小、角速度大．最后结合万有引力公式a＝，得出地球的加速度大．因此答案为D.
2．(2017湖南学业考)有两颗行星环绕某恒星运动，它们的运动周期比为8∶1，则它们的轨道半径比为( )
A．8∶1 B．4∶1
C．2∶1 D．1∶4
【答案】B
【解析】 根据开普勒第三定律，有＝，故＝＝＝.故选B.
3．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
【答案】D
【解析】由G＝mg，得M＝，ρ＝＝＝，所以R＝，则＝＝4，根据M星＝＝＝＝64M地，所以D项正确．
4．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A． B．1
C．5 D．10
【答案】B
【解析】行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，则＝3·2＝3×2≈1，选项B正确．
5．(2018定州期末)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，两星总质量为M，两星之间的距离为r，两星质量分别为m1、m2，做圆周运动的轨道半径分别为r1、r2，则下列关系式中正确的是( )
A．M＝ B．r1＝r
C．T＝2π D．＝
【答案】AC
【解析】设m1的轨道半径为r1，m2的轨道半径为r2.由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得
对m1：＝m1ω2r1①
对m2：＝m2ω2r2②
由①②式可得m1r1＝m2r2，即＝，故D错误；因为r1＋r2＝r，所以得r1＝r＝r，B错误；将ω＝，r1＝r代入 ①式，可得 ＝m1·r，所以得T＝2π，M＝，A、C正确．
6．(2018宣城名校期末)如果把水星和金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动，从太阳、水星与金星在一条直线上开始计时，若天文学家测得在相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2(θ1、θ2均为锐角)，则由此条件可求得的是( )
A．水星和金星绕太阳运动的周期之比
B．水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比
C．水星和金星到太阳的距离之比
D．水星和金星的密度之比
【答案】ABC
【解析】相同时间内水星转过的角度为θ1，金星转过的角度为θ2，可知它们的角速度之比为θ1∶θ2.周期T＝，则周期之比为θ2∶θ1，故A可以求得．由万有引力提供向心力G＝mω2r，知道了角速度比，就可求出轨道半径之比，故C可以求得．根据a＝rω2，轨道半径之比、角速度之比都知道，很容易求出向心加速度之比，故B可以求得．水星和金星是环绕天体，无法求出质量，也无法知道它们的半径，所以求不出密度比，故D不可以求得．
二、非选择题
7．两颗人造地球卫星，它们质量之比为1∶2，它们运行的线速度之比为1∶2，求它们运行的轨道半径之比，它们所受向心力之比．
【答案】4∶1 1∶32
【解析】根据万有引力提供向心力＝m，线速度v＝，则∝v2它们运行的线速度的比是v1∶v2＝1∶2，所以则轨道半径比r1∶r2＝4∶1.由F＝，则F∝，则向心力之比为1∶32.
8．我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x.已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月．
【答案】(1) (2)
【解析】设地球质量为M，月球质量为M月，根据万有引力定律及向心力公式得：
G＝M月2r①
mg＝G②
解得r＝.
(2)设月球表面处的重力加速度为g月，小球飞行时间为t, 根据题意
x＝v0t③
h＝g月t2④
mg月＝G⑤
解得M月＝.
能力提升
9．如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙大 D．甲的线速度比乙大
【答案】A
【解析】根据G＝ma得a＝，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝m2r，得T＝2π·，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误．
10．(2018瓦房店一模)如图所示，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，已知万有引力常量为G，则月球的质量是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】线速度为v＝，角速度为ω＝，根据线速度和角速度的关系公式，有v＝ωr，卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有G＝mrω2＝mvω，联立解得M＝，故选C．
11．(2018新课标Ⅱ卷)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×104kg/m3 B．5×1012kg/m3
C．5×1015kg/m3 D．5×1018kg/m3
【答案】C
【解析】设位于该星体赤道处的小物块质量为m，物体受到的星体的万有引力恰好提供向心力，这时星体不瓦解且有最小密度，由万有引力定律结合牛顿第二定律得＝mR，球体的体积为V＝πR3，密度为ρ＝＝，代入数据解得ρ＝＝5×1015 kg/m3.故C正确，A、B、D错误．
12．如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35 ×1022 kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
【答案】(1)2π (2)1.012
【解析】(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有F＝G ①
由匀速圆周运动的规律得F＝m2r ②
F＝M2R ③
由题意有L＝R＋r ④
联立①～④式得T＝2π.
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π ⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G＝m′2L′ ⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得
T2＝2π ⑧
由⑥⑧式得2＝1＋
代入数据得2＝1.012.
课件39张PPT。4 万有引力理论的成就卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，不仅用实验验证了万有引力定律的正确性，而且应用引力常量还可以测出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．已知月球绕地球转动的周期和半径，能求出地球的质量吗？能求出月球的质量吗？
【答案】能求出地球的质量，不能求出月球的质量．
二、发现未知天体
1．根据万有引力定律发现的行星是____________．
2．_________ 的发现和 __________________________确定了万有引力的地位．海王星 海王星 哈雷彗星的“按时回归” 天体质量的计算 例1 2015年7月23日美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b，开普勒－452b围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3×107 s)，轨道半径约为1.5×1011 m，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，利用以上数据可以估算类似太阳的恒星的质量约为( )
A．2.0×1030 kg B．2.0×1027 kg
C．1.8×1024 kg D．1.8×1021 kg答案：A1．(2017海南卷)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月∶s地约为( )
A．9∶4 B．6∶1
C．3∶2 D．1∶1 天体密度的计算 例2 地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，则地球的平均密度为( )
答案：A2．已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( )
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T
D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T1．双星：宇宙中两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们绕其连线上的某点做匀速圆周运动，彼此间的万有引力提供向心力．如图所示． 双星模型
2．模型特点
(1)两颗星做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供的，故两颗星做匀速圆周运动的向心力大小相等．
(2)两颗星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，故两颗星的周期和角速度相等．
(3)两颗星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两颗星之间的距离关系：r1＋r2＝L． 例3 冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知冥王星绕O点运动的( )答案：A 天体运动问题的分析方法 例4 如图，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1 、 v2.则( )答案：A
