第七章 8
1．如图所示，桌面高度为h，质量为m的小球，从离桌面高H处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为( )
A．mgh B．mgH
C．mg(H＋h) D．mg(H－h)
【答案】B
【解析】以桌面为参考平面，小球在最高点时机械能E＝mgH，小球下落过程中机械能守恒，则小球落到地面前瞬间的机械能为mgH.故A、C、D错误，B正确．
2.（多选）下列叙述中正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做变速直线运动的物体的机械能可能守恒
C．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒
【答案】BD
【解析】系统机械能是否守恒，可根据机械能守恒的条件来判断，做匀速直线运动的物体所受合力为零，动能不变，但重力势能可能改变，A错误；做变速运动的物体，若只有重力对它做功时，机械能守恒，B正确；外力对物体做功为零时，除重力之外的力有可能做功，此时机械能不一定守恒，C错误；系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能守恒，D正确．
3．在距地面高度为H的位置斜向上抛出一个质量为m的小球，小球到达最高点时的速度大小为v1，小球落地时的速度大小为v2，忽略空气阻力．则小球抛出时的动能为( )
A．mv－mgH B．mv
C．mv－mv D．mv－mgH
【答案】A
【解析】小球上抛后的运动过程中，只受重力作用，故它遵循机械能守恒的规律，设小球抛出时的动能为Ek，则存在关系式：mgH＋Ek＝mv，故小球抛出时的动能Ek＝mv－mgH，A是正确的．
4．静止在地面上的物体在竖直向上的恒力作用下上升，在某一高度撤去恒力．不计空气阻力，在整个上升过程中，物体机械能随时间变化的关系是( )
A B C D
【答案】C
【解析】设在恒力作用下的加速度为a，则机械能增量E＝Fh＝F·at2，知机械能随时间不是线性增加，撤去拉力后，机械能守恒，则机械能随时间不变，故C正确，A、B、D错误．
5．如图所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为L0，质量为m的铁球由弹簧的正上方H高处自由下落．忽略小球与弹簧碰撞过程中机械能的损失，若已知弹簧的最大压缩量为L，求最大弹性势能．
【答案】mg(H＋L)
【解析】由机械能守恒定律可知，重力势能的减少量等于弹性势能的增加量．压缩最大时动能减为零，此时弹性势能最大，即mg(H＋L)＝Ep.
第七章 8
基础达标
一、选择题(在每小题给出的4个选项中，第1～4题只有一项符合题目要求；第5～6题有多项符合题目要求)1.(2018衡阳期末)下列运动中不满足机械能守恒条件的是( )
A．手榴弹从手中抛出后在空中的运动(不计空气阻力)
B．物体沿光滑圆弧面从下向上滑动
C．降落伞在空中匀速下降
D．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动
【答案】C
【解析】手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)只有重力做功，机械能守恒，故A错误；物体沿光滑圆弧面从下向上滑动，只有重力做功，机械能守恒，故B错误；降落伞在空中匀速下降过程中，动能不变，重力势能减小，机械能不守恒，故C正确；细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，绳拉力不做功，机械能守恒，故D错误．
2．质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是( )
A．0，－5 J B．10 J，－10 J
C．10 J,5 J D．20 J，－10 J
【答案】A
【解析】因在最高点时物体的动能和重力势能均为零，故机械能等于零，由于物体下落时机械能守恒，故当它滑到斜面中点时具有的机械能也为零；重力势能Ep＝－mg·Lsin 30°＝－5 J．故选A．
3．半径为r和R(rA．机械能均逐渐减小 B．经最低点时动能相等
C．机械能总是相等的 D．两球在最低点加速度大小不等
【答案】C
【解析】圆形槽光滑，两小球下滑过程中，均只有重力做功，机械能均守恒，故A错误，C正确．根据机械能守恒定律，得mgr＝mv，Ek1＝mgr，同理Ek2＝mgR，由于R>r，则 Ek14．(2018杨浦一模)一物体沿竖直方向运动，以竖直向上为正方向，其运动的v－t图象如图所示．下列说法正确的是( )
A．0～t1时间内物体处于失重状态
B．t1～t2时间内物体机械能守恒
C．t2～t3时间内物体向下运动
D．0～t2时间内物体机械能一直增大
【答案】D
【解析】以竖直向上为正方向，在v－t图象中，斜率代表加速度，可知0～t1时间内物体向上做加速运动，加速度的方向向上，处于超重状态，故A错误；由图可知，t1～t2时间内物体向上做匀速直线运动，动能不变，重力势能增大，所以机械能增大，故B错误；由图可知，t2～t3时间内物体向上做减速运动，故C错误；0～t1时间内物体向上做加速运动，动能增大，重力势能也增大，t1～t2时间内物体向上做匀速直线运动，动能不变，重力势能增大，所以0～t2时间内物体机械能一直增大，故D正确．
5．如图从离地高为h的阳台上以速度v竖直向上抛出质量为m的物体，它上升 H后又返回下落，最后落在地面上，则下列说法中正确的是(不计空气阻力，以地面为参考面)( )
A．物体在最高点的机械能为mg(H＋h)
B．物体落地时的机械能为mg(H＋h)＋mv2
C．物体落地时的机械能为mgh＋mv2
D．物体在落回过程中，经过阳台时的机械能为mgh＋mv2
【答案】ACD
【解析】机械能等于动能和势能之和，故物体在最高点的机械能E＝mg(H＋h)，A正确；物体从抛出到落地的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以物体落地时的机械能E＝mgh＋mv2，B错误，C正确；物体从抛出到返回阳台的过程中，只有重力做功，机械能守恒，所以物体经过阳台时的机械能E＝mgh＋mv2，D正确．
6．如图所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力．在重物由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是( )
A．重物的机械能守恒
B．重物的机械能减少
C．重物的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．重物与弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】BD
【解析】重物由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对重物做了负功，所以重物的机械能减少，故选项A错误，B正确；此过程中，由于只有重力和弹簧的弹力做功，所以重物与弹簧组成的系统机械能守恒，即重物减少的重力势能，等于重物获得的动能与弹簧的弹性势能之和，故选项C错误，D正确．
二、非选择题
7．从地面以仰角θ斜向上抛一质量为m的物体，初速度为v0，不计空气阻力，取地面为零势能面，重力加速度为g.当物体的重力势能是其动能的3倍时，求物体离地面的高度．
【答案】H＝
【解析】设物体离地面的高度为H，且速度为v，由题意知mgH＝3×mv2，再由机械能守恒定律得，mv2＋mgH＝mv，联立解得H＝.
8．质量为m＝2 kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平A处由静止释放，小球到达O点的正下方距O点h＝0.5 m处的B点时速度为2 m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧做的功．(g取10 m/s2)
【答案】－6 J
【解析】小球在运动过程中，只受重力和弹力作用，故系统机械能守恒．以B点为重力势能的零势面，则在初状态A有E1＝Ek1＋Ep1＝mgh.
对末状态B有E2＝Ek2＋Ep2＝mv2＋Ep2
式中Ep2为弹簧的弹性势能．
由机械能守恒定律有E1＝E2，mgh＝mv2＋Ep2
所以Ep2＝mgh－mv2＝2×10×0.5 J－×2×22J＝6 J
因为弹性势能增加，弹簧弹力做负功，故弹簧弹力做的功为－6 J.
能力提升
9．(多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B分别用细线悬在等高的O1、O2点．A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线拉至水平后无初速释放，则经过最低点时( )
A．A球的机械能等于B球的机械能
B．A球的动能等于B球的动能
C．重力对A球的瞬时功率等于重力对B球的瞬时功率
D．细线对A球的拉力等于细线对B球的拉力
【答案】ACD
【解析】小球下落过程中，仅有重力做功，机械能守恒，两球释放位置等高，且质量相等，所以具有相同的机械能，故A正确；到最低点时，A球减少的重力势能较大，所以A球的动能大于B球的动能，故B错误；因为竖直速度为零，所以重力对A球的瞬时功率等于重力对B球的瞬时功率，均为零，故C正确；从水平位置到最低点有mgl＝mv2，＝2mg，因为在最低点T－mg＝，所以拉力均为3mg，故D正确．
10．(多选)如图所示，一小球自A点由静止自由下落，到B点时与弹簧接触，到C点时弹簧被压缩到最短．若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由A→B→C的过程中，若仅以小球为系统，且取地面为参考面，则( )
A．小球从A→B的过程中机械能守恒
B．小球从B→C的过程中只有重力和弹力做功，所以机械能也守恒
C．小球从B→C的过程中减少的机械能，等于弹簧弹性势能的增加量
D．小球到达C点时动能为零，重力势能为零，弹簧的弹性势能最大
【答案】AC
【解析】从A到B的过程中，小球仅受重力，只有重力做功，所以小球的机械能守恒，故A正确．小球从B→C的过程中只有重力和弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误．B到C的过程中，系统机械能守恒，小球减少的机械能等于弹簧的弹性势能的增加量，故C正确．小球到达C点速度为零，弹簧的弹性势能最大，以地面为参考系，重力势能不为零，故D错误．
11．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．
【答案】R≤h≤5R
【解析】若物体恰好能够通过最高点，则有mg＝m，解得v1＝
初始位置相对于圆轨道底部的高度为h1，则根据机械能守恒可得mgh1＝2mgR＋mv，得h1＝R
当小物块对最高点的压力为5mg时，有5mg＋mg＝m，得v2＝
初始位置到圆轨道的底部的高度为h2，根据机械能守恒定律可得mgh2＝2mgR＋mv
解得h2＝5R，故物块的初始位置相对于圆轨道底部的高度的范围为R≤h≤5R.
课件41张PPT。8 机械能守恒定律同学们，上一节我们学习了动能和动能定理，首先请大家回顾一下有关知识，然后回答下面的几个问题：2．如图所示，质量相同的物体分别自斜面AC和BC的顶端由静止开始下滑，物体与斜面间的动摩擦因数都相同，物体滑到斜面底部C点时的动能分别为Ek1和Ek2，下滑过程中克服摩擦力所做的功分别为W1和W2，则( )
A．Ek1＞Ek2，W1＜W2
B．Ek1＞Ek2，W1＝W2
C．Ek1＝Ek2，W1＞W2
D．Ek1＜Ek2，W1＞W2一、动能与势能的相互转化
1．动能和重力势能的相互转化
只有重力做功时，若重力做正功，则物体的重力势能______，动能______，__________能转化为____能；若重力做负功，则物体的重力势能______，动能______，______能转化为________能．
减少 增加 重力势 动 增加 减少 动 重力势 2．动能和弹性势能的相互转化
只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能______，动能______，________能转化为____能；若弹力做负功，则弹性势能______，动能______，_____能转化为________能．
3．机械能
(1)机械能：______能、______势能、______势能的统称为机械能．
(2)机械能表达式：E＝____________．
(3)机械能的不同形式之间可以相互 _______．减少 增加 弹性势 动 增加 减少 动 弹性势 动 重力 弹性 Ek＋Ep 转化 二、机械能守恒定律
1．内容：在只有______或______做功的物体系统内，动与能势能可以相互________，而总的机械能保持________．
2．表达式：__________________________、______________________、________________．重力 弹力 转化 不变 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep1 Ek2－Ek1＝Ep2－Ep1 ΔE＝0 运动员将箭射出，箭被射出的过程中能量是如何转化的？
【答案】箭被射出的过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升的过程中，动能转化为重力势能；箭下落的过程中，重力势能转化为动能．1．对机械能的理解
(1)机械能具有相对性，参考平面不同，同一物体的机械能一般不同；
(2)机械能具有共有性，机械能是物体和地球共同具有的，一般称为物体的机械能；
(3)机械能是标量，也是状态量．同一状态的动能和势能之和为该状态的机械能． 对机械能及机械能守恒定律的理解
2．对机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒是指研究过程中不同状态的机械能是不变的，而动能、势能是变化的．
(2)弹力做功是指弹簧的弹力做功，物体与弹簧作为一个系统机械能守恒，物体的机械能不守恒．
3．对机械能守恒条件的理解
(1)对单个物体，只有重力做功，物体的机械能才守恒；对包含弹簧的系统，只有弹簧弹力做功或只有重力与弹簧弹力做功，系统机械能守恒．
(2)在不受阻力(空气阻力、摩擦阻力)作用下，除重力、弹簧弹力外，其他力做功，但其他力做功的代数和为0，系统机械能守恒．
(3)系统只有动能与势能的相互转化．
4．机械能守恒的实例分析
5．机械能守恒的判断方法
(1)定义法：动能、势能之和不变，则机械能守恒；动能、势能之和变化，则机械能不守恒．
(2)做功法：物体或系统只有重力、弹力做功；除重力、弹力外，其他力不做功，或做功代数和为0(不受阻力作用)，机械能守恒．此法一般用来判断一个物体的机械能是否守恒．
(3)能量转化法：物体或系统只有动能与势能的相互转化，机械能守恒． 例1 (2016浙江杭州四中期末)如图所示，下列说法正确的是(均不计摩擦、空气阻力以及滑轮质量)( )
A．如图甲中，物体A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．如图乙中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．如图丙中，A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．如图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能不变
解析：在物体A压缩弹簧的过程中，弹簧和物体A组成的系统，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒．由于弹性势能增加，则A的机械能减小，故A错误．物块B沿A下滑的过程中，A向后退，动能增大；A、B组成的系统，只有重力做功，机械能守恒；对于B，机械能不守恒，故B错误．对A、B组成的系统，不计空气阻力，只有重力做功，A、B组成的系统机械能守恒，故C正确．小球在做圆锥摆的过程中，重力势能和动能都不变，机械能守恒，故D正确．
答案：CD1．下列物体在运动过程中，机械能守恒的是( )
A．被起重机拉着向上做匀速运动的货物
B．一个做平抛运动的铁球
C．沿粗糙的斜面向下做匀速运动的木块
D．在空中向上做加速运动的氢气球
【答案】B 【解析】被起重机拉着向上做匀速运动的货物，拉力对货物做正功，其机械能增加，故A错误．做平抛运动的铁球，运动的过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故B正确．木块沿着粗糙斜面匀速下滑，摩擦力对木块做负功，所以机械能不守恒，故C错误．在空中向上做加速运动的氢气球，动能和重力势能都增加，两者之和必定增加，即机械能在增加，故D错误．1．机械能守恒定律的三种表达形式 机械能守恒定律的应用
2．机械能守恒定律的应用步骤
(1)确定研究对象(物体或系统)和研究过程．
(2)分析物体的受力情况及各力的做功情况，判断物体或系统在研究过程中机械能是否守恒．
(3)分析物体的运动情况，确定物体的初、末动能；选择参考平面，确定初、末状态的势能．
(4)根据机械能守恒定律列方程求解．
3．机械能守恒定律与动能定理的比较 例2 如图所示，质量m＝0.05 kg的小球用一根长度L＝0.8 m的细绳悬挂在天花板的O点，悬线竖直时小球位于C点．若保持细线张紧，将小球拉到位置A，然后将小球由静止释放．已知OA与竖直方向的夹角 θ＝37°，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：(1)小球经过C点时的动能；
(2)小球运动到C点时受到细绳的拉力大小；
(3)若在O和C之间某位置D有一水平钉子，使得细绳恰好能拉着小球绕D点做圆周运动．求D点与天花板的距离．答案：(1)0.08 J (2)0.7 N (3)0.736 m2．如图所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度运动并开始挤压弹簧，求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)木块被弹回的速度增大到3 m/s时，弹簧的弹性势能．
【答案】(1)50 J (2)32 J1．链条类物体机械能守恒定律的应用技巧
对于绳索、链条类的物体，其重心位置并不是固定不变的，确定重心的位置是解题的关键．
(1)分段法：分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能，利用Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2求解．此法需要选取参考平面．
(2)等效法：求出绳索、链条重力势能的变化量，利用ΔEk＝－ΔEp求解．此法不需要选取参考平面． 机械能守恒定律的解题技巧2．系统机械能守恒定律的应用技巧
(1)对于多个物体组成的系统，研究对象的选取是解题的关键．以单个物体为研究对象时，机械能一般不守恒，以多个物体组成的系统为研究对象，机械能一般守恒．可简记为“隔离不守恒，整体守恒”．
(2)系统机械能守恒的判断方法一般用能量转化法，即系统只有动能和势能的转化，系统机械能守恒．
(3)系统机械能守恒一般用ΔEk增＝ΔEp减或ΔEk减＝ΔEp减来计算． 例3 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？3．如图所示，一条很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为 m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧．从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为( )
A．h B．1.5h
C．2h D．2.5h
