人教版高中数学必修5第二章数列 2．2等差数列专题学案（Word版）

等差数列专题
一、等差数列知识点
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.
3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝.
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，
则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．



回顾：
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（　　）
　 A． B． 1 C． D． ﹣1
2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（　　）
　 A．以7为首项，公差为2的等差数列 B． 以7为首项，公差为5的等差数列
　 C．以5为首项，公差为2的等差数列 D． 不是等差数列
3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（　　）
　 A． 23 B． 24 C． 25 D． 26
4．两个数1与5的等差中项是（　　）
　 A． 1 B． 3 C． 2 D．
5．如果数列{an}是等差数列，则（　　）
　 A． a1+a8＞a4+a5 B． a1+a8=a4+a5 C． a1+a8＜a4+a5 D． a1a8=a4a5
1:等差数列的通项与前n项和
已知等差数列的某些项，求某项
【例1】已知为等差数列，，则
解：方法1：

方法2：，

方法3：令，则

练习：1、已知为等差数列，（互不相等），求.
2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.
2：已知前项和及其某项，求项数.
【例2】已知为等差数列的前项和，，求
解：设等差数列的首项为，公差为，则

练习：3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.
4.已知为等差数列的前项和，，则 .
3：求等差数列的前n项和
【例3】已知为等差数列的前项和，.
（1） ；
⑵求；
⑶求.
解：，
当时，，
当时，，
当时，， .
由，得，当时，；当时，.
（1）；
⑵
；
（3）时，，
当时，

练习：5、已知为等差数列的前项和，，求.
2 ：证明数列是等差数列
方法总结：
1、定义法：（，是常数）是等差数列；
2、中项法：()是等差数列 ；
3、通项公式法：（是常数）是等差数列；
【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.
解：方法1：设等差数列的公差为，，

（常数）
数列是等差数列.
方法2：，
，
，
数列是等差数列.
练习：6、设为数列的前项和，
（1） 常数的值；
（2） 证：数列是等差数列.



3 :等差数列的性质
【例5】1、已知为等差数列的前项和，，则 ；
2、知为等差数列的前项和，，则 .
解：1、；
2、方法1：令，则
.
，，
；
方法2：不妨设
. ，
；
练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）

8. 设、分别是等差数列、的前项和，，则 .
4：等差数列综合
【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，，其前项和为
（1）数列、的通项公式；
⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.
解：⑴，
当时，；
当时，
当时，，；
，是等差数列，设其公差为.
则，
.
1


，是单调递增数列.
当时，
对都成立
所求最大正整数的值为.
练习：9.已知为数列的前项和，，.
1 数列的通项公式；
⑵数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由.




课后练习：
1.设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则
A． B． C． D．
2.在等差数列中，，则 .
3.数列中，，当数列的前项和取得最小值时， .
4.已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .
5.设数列中，，则通项 .
6.从正整数数列中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第项是 .






答案与解析：
练习：1、【解析】
2、【解析】设这个数分别为则

解得
当时，这个数分别为：；
当时，这个数分别为：
3、【解析】



4、【解析】设等差数列的公差为，则
.
5、【解析】方法1：设等差数列的公差为，则
；
方法2：

6、【解析】⑴，，
⑵由⑴知：，
当时，，
，数列是等差数列.
7、【解析】（本两小题有多种解法）
，.选B.
8、【解析】 填.
9、【解析】⑴当时，
，且，是以为公差的等差数列，其首项为.

当时，
当时，，；
2 ，得或，
当时，恒成立，所求最小的正整数
课后练习：1、【解析】C．
另法：由，，得，，计算知
2、【解析】
3、【解析】 由知是等差数列，
4、【解析】 已知两式相减，得
5、【解析】 利用迭加法（或迭代法），也可以用归纳—猜想—证明的方法.
6、【解析】