第二章 第二节
基础达标
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，第1～4题只有一项符合题目要求；第5～6题有多项符合题目要求)
1．关于向心力的说法正确的是( )
A．向心力只改变做圆周运动物体速度的大小
B．做匀速圆周运动的物体受到的向心力即为物体受到的合力
C．做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的
D．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
【答案】B
【解析】向心力中改变做圆周运动物体的速度方向，不改变速度的大小，A错误；做匀速圆周运动的物体受到的向心力即为物体受到的合力，B正确；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，是变力，C错误；物体是因为受到了向心力才做圆周运动，D错误．
2．(2017衡阳名校月考)把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．如图所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
A．重力、漏斗壁的支持力
B．重力、漏斗壁的支持力及向心力
C．重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D．小球受到的合力为零
【答案】A
【解析】小球受重力和支持力两个力的作用，靠两个力的合力提供向心力，向心力找不到施力物体，是做圆周运动所需要的力，靠其他力提供．故A正确，B、C、D错误．故选A．
3．(2018广西宾阳名校月考)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是3∶4，运动方向改变的角度之比是2∶3，它们的向心加速度之比是( )
A．8∶9 B．1∶2
C．2∶1 D．4∶9
【答案】B 【解析】因为相同时间内它们通过的路程之比是3∶4，则线速度之比为3∶4；运动方向改变的角度之比为2∶3，则角速度之比为2∶3，根据a＝vω得，向心加速度之比为＝＝×＝.A、C、D错误，B正确．
4．(2016辽宁校级期末)如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若车行进时车轮没有打滑，则( )
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶2
B．前轮和后轮的角速度之比为2∶1
C．两轮转动的周期相等
D．A点和B点的向心加速度大小之比为1∶2
【答案】B
【解析】前后轮以相同的线速度运动，故A点和B点的线速度大小之比为1∶1，选项A错误；前轮和后轮的角速度之比为＝＝，选项B正确；因为前后轮的角速度不相等，故周期不等，选项C错误；根据a＝ωv可知，A点和B点的向心加速度大小之比为2∶1，选项D错误．故选B．
5．(2016安徽安庆六校期中)某同学为体会与向心力相关的因素，做了如图所示的小实验：
手通过细绳使小球在水平面内做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．若保持周期不变，减小绳长，则绳的拉力将增大
B．若保持周期不变，增大绳长，则绳的拉力将增大
C．若保持绳长不变，增大小球的角速度，则绳的拉力将增大
D．若保持绳长不变，增大小球的周期，则绳的拉力将增大
【答案】BC
【解析】根据向心力公式得F＝mr，可知保持周期不变，减小绳长，r减小，则绳的拉力F将减小，若保持周期不变，增大绳长，则绳的拉力F将增大，故A错误，B正确．根据向心力公式得F＝mω2r，可知若保持绳长不变，增大小球的角速度，则绳的拉力将增大，故C正确．由F＝mr可知，若保持绳长不变，增大小球的周期，则绳的拉力将减小，故D错误．
6．(2016重庆南开中学模拟)如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α＝53°和β＝37°，则(sin 37°＝0.6)( )
A．A、B两球所受支持力的大小之比为4∶3
B．A、B两球运动的周期之比为2∶
C．A、B两球的角速度之比为2∶
D．A、B两球的线速度之比为8∶3
【答案】ACD
【解析】由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得，N＝，则＝＝，故A正确．小球受到的合外力有mgtan θ＝m＝mr，r＝Rsin θ，解得T＝，则＝＝，故B错误．根据公式mgtan θ＝mω2r得ω＝＝得＝＝，故C正确．根据mgtan θ＝m得v＝，则＝＝，故D正确．
二、非选择题
7．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘的角速度ω与夹角θ的关系．
【答案】ω＝
【解析】设转盘转动角速度为ω时，夹角为θ
座椅到中心轴的距离为R＝r＋Lsin θ
对座椅分析有F合＝mgtan θ＝mRω2
联立两式解得ω＝.
8．如图所示，行车的钢丝长L＝3 m，下面吊着质量为m＝2.8×103kg的货物，以速度v＝2 m/s匀速行驶行车突然刹车，钢丝绳受到的拉力是多少？
【答案】3.17×104 N
【解析】行车刹车瞬间，物体受重力和钢丝绳拉力作用，二力的合力提供向心力，则有
F－mg＝m，故F＝mg＋m≈3.17×104 N.
能力提升
9．如图所示，半径为r的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO′转动，小物体a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当圆筒的角速度为ω时，其内壁对物体a的弹力为FN，要使物体a不下落，应满足μFN≥mg，又因为物体在水平面内做匀速圆周运动，则FN＝mrω2，联立两式解得ω≥，则圆筒转动的角速度至少为ω0＝.
10．(2016河南师大附中月考)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P′位置)，两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A．细线所受的拉力变小
B．小球P运动的角速度变小
C．Q受到桌面的静摩擦力变大
D．Q受到桌面的支持力变大
【答案】C
【解析】设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L，P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图所示，则有T＝，mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝，周期T＝，使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，则得到细线拉力T增大，角速度增大，周期T减小；对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力变大，故A、B错误，C正确；金属块Q保持在桌面上静止，根据平衡条件得知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不变，故D错误．
11．(多选)( 2016黑龙江双鸭山一中月考)如图所示，小木块a、b和c (可视为质点)放在水平圆盘上，木块a、b质量均为m, c的质量为.a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是( )
A．b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B．当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C．b和c均未滑落时线速度一定相等
D．b开始滑动时的转速是
【答案】BC
【解析】所受的最大静摩擦力不相等，故不同时从水平圆盘上滑落，A错误；当a、b和c均未滑落时，木块所受的静摩擦力f＝mω2r，ω相等，f∝mr，所以a、c所受的静摩擦力相等，都小于b的静摩擦力，故B正确；b和c均未滑落时线速度v＝rω大小一定相等，故C正确；以b为研究对象，由牛顿第二定律得f＝2mω2l＝kmg，可解得ω＝＝，转速n＝＝，故D错误．
12．(2016湖南浏阳一中月考)如图所示，竖直刚性杆OO′固定在水平地面上，轻质细绳一端悬于O点，另一端连接一质量为m的小球(可视为质点)，小球绕竖直轴OO′在某一水平面上做匀速圆周运动，轨迹半径为R＝0.1 m，细绳与竖直轴OO′的夹角为θ＝45°；当小球经过A点时，细绳在A点被烧断，A距地面的高度为h＝1.2 m(A′是A点在水平面上的投影)，小球落地点为B，取g＝10 m/s2.求：
(1)小球运动到A点时的速度大小；
(2)B点距竖直轴OO′的水平距离(即O′B的长度)．
【答案】 (1)1 m/s (2)0.5 m
【解析】(1)小球所受合力F合＝mgtan θ
合力提供向心力，则有mgtan θ＝m
解得 v＝1 m/s.
(2)绳子断后，小球做平抛运动，时间t＝＝ s
水平位移x＝vt＝ m
根据几何关系有O′B＝＝0.5 m.
第二章 第二节
1．一辆卡车在丘陵地带匀速行驶，地形如下图所示，由于轮胎太硬，爆胎可能性最大的地段应是( )
A．a处 B．b处
C．c处 D．d处
【答案】D
【解析】在凹形路面处支持力大于重力，且F N－mg＝m，因v不变，R越小，FN越大，故在d处爆胎可能性最大．
2．(2018徐州期中)关于物体做匀速圆周运动的向心加速度，下列说法中正确的是( )
A．匀速圆周运动中的向心加速度恒定不变
B．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
C．由a＝可知，线速度越大的物体，其向心加速度也越大
D．由a＝ω2r可知，角速度越大的物体，其向心加速度也越大
【答案】B
【解析】匀速圆周运动，向心加速度的大小恒定，方向始终时刻改变，指向圆心，故A错误．向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，故B正确．根据公式a向＝可知，线速度越大的物体，其向心加速度不一定越大，还与半径有关，故C错误．根据a向＝ω2r可知角速度越大的物体，其向心加速度不一定越大，还与半径有关，D错误．
3．(2017崇明一模)如图所示，一偏心轮绕O点做匀速转动．偏心轮边缘上A、B两点的( )
A．线速度大小相同
B．角速度大小相同
C．向心加速度大小相同
D．向心加速度方向相同
【答案】B
【解析】偏心轮上各处角速度相等，由v＝ωr可知半径不同点，线速度不同，故A错误；同一偏心轮上各处角速度相同，故B正确；根据公式an＝ω2r，向心加速度与到转动轴O的距离成正比，半径不同的点，向心加速度不相等，故C错误；向心加速度的方向始终指向圆心，所以A、B两点向心加速度的方向不同，故D错误．
4．(多选)如图所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为r的竖直平面内的圆周运动，以下说法中正确的是( )
A．小球过最高点时，杆的弹力可以等于零
B．小球过最高点时的最小速度为
C．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与小球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力
D．小球过最高点时，杆对球的拉力为零
【答案】AC
【解析】由于杆对小球有支持力作用，所以小球过最高点的临界速度为v0＝0，可见选项B不对．因为当v＝时，N＝0，所以选项A对．当0＜v＜时，杆对球的支持力竖直向上，且有0＜N＜mg，故选项C正确．当v＞时，杆对球有竖直向下的拉力，故选项D不对．
5．(多选)小金属球质量为m，用长L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的线速度大小依然不变
【答案】ACD
【解析】由题意知，当运动到悬线与钉子相碰时，不论悬线对小球的作用力如何变化，其作用力总与小球速度方向垂直，所以小球在相碰过程中速度大小不变，即线速度大小不变，但半径突然变小，故ω＝突然变大，且a＝也突然变大，故B错误，A、C、D正确．
课件52张PPT。第二节 向心力1．(2017闵行一模)做匀速圆周运动的物体( )
A．一定是受力平衡的
B．一定是受力不平衡的
C．视情况而定，有可能平衡，有可能不平衡
D．所受的向心力一定与其他外力平衡
【答案】B
【解析】匀速圆周运动速度大小不变，方向变化，是变速运动，不可能处于平衡状态，故A、C错误，B正确．做匀速圆周运动的物体受到的合外力提供向心力，不能说做匀速圆周运动的物体受到向心力，故D错误．2．关于匀速圆周运动的角速度和线速度，下列说法正确的是( )
A．半径一定，角速度与线速度成反比
B．半径一定，角速度与线速度成正比
C．线速度一定，角速度与半径成正比
D．角速度一定，线速度与半径成反比
【答案】B
3．甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则( )
A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2
C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2
【答案】C一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体受到的方向沿半径指向______的力．
2．作用效果：不改变质点速度的______，只改变速度的______．
3．方向：沿半径指向______，和质点运动的方向______，其方向时刻在改变．圆心 大小 方向 圆心 垂直 4．实验与探究越大 越大 越大 越大 5．大小：F＝________＝______.正比 正比 正比 mω2r 二、向心加速度
1．定义：由向心力产生的指向______方向的加速度．
2．大小：a＝______＝________.
3．方向：与向心力方向______，始终指向______，时刻在改变．圆心 rω2 一致 圆心 静摩擦力 地面支持力 1．向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的．可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，可以是某几个力的合力，也可以是某个力的分力．对向心力的理解
特别提醒：(1)在匀速圆周运动中，物体所受的合外力一定指向圆心，充当向心力．非匀速圆周运动的合外力不指向圆心，合外力的法向分力为向心力．
(2)任何情况的圆周运动，向心力的方向一定指向圆心，向心力是做圆周运动的物体需要的一个指向圆心的力，而不是物体又受到一个新的力．题眼直击：匀速圆周运动的合力就是向心力且指向圆心．解题流程：
答案：D
题后反思：向心力是按效果命名的．任何一个力或几个力的合力，只要它能使物体产生向心加速度，它就是物体所受的向心力．1．(2017陕西学业考)将细线一端固定，另一端系一小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线偏离竖直方向θ角，如图，忽略空气阻力，则小球运动的向心力是( )
A．重力
B．重力与拉力的合力
C．细线的拉力
D．重力、拉力之外的第三个力
【答案】B
【解析】小球受到重力和细线的拉力，因为小球做匀速圆周运动，所以由重力与细线对小球拉力的合力提供向心力．故A、C、D错误，B正确．1．向心加速度的物理意义
向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．向心加速度及公式应用4．非匀速圆周运动中的向心加速度
匀速圆周运动中的向心加速度就是物体的实际加速度．而非匀速圆周运动中，向心加速度是物体的加速度在指向圆心方向上的分量．
特别提醒：(1)向心加速度的方向时刻改变，匀速圆周运动是一种变加速运动．
(2)在非匀速圆周运动中，向心加速度的公式仍适用，但要注意公式中各量对应同一时刻．2．(2018滁州月考)如图，自行车的大齿轮A、小齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径 RA＝2RB、RC＝5RB，正常骑行自行车时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比 aA∶aB∶aC等于( )
A．1∶1∶6 B．3∶1∶6
C．1∶2∶10 D．1∶3∶6【答案】C生活中的圆周运动特别提醒：应用向心力公式解题的思路
(1)明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图．
(2)分析运动情况，确定它的轨道平面、圆心、半径，分析向心加速度的大小、方向．
(3)明确什么力在充当向心力．
(4)由向心力公式列方程并求解． 例3 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块．求：
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．题眼直击：向心力为指向圆心方向的合力．
解题流程：3．(2018厦门名校月考)如图所示，在竖直平面内有一个“V”形框架，绕过顶点的竖直轴匀速转动，框架两边与竖直轴的夹角θ＝45°，质量为m的小球A穿在一边的框架上，随框架在水平面内做匀速圆周运动，其运动平面与框架顶点的距离为h，此时小球A与框架间恰好没有摩擦力．现保持框架转动的角速度不变，把小球A的位置上移，小球A仍能与框架保持相对静止状态，其运动平面与框架顶点的距离为1.5h，已知重力加速度为g，则此时小球A与框架间的摩擦力大小为( )竖直面内的圆周运动4．一辆质量为4 t的汽车驶过一半径为50 m的凸形桥面时，始终保持5 m/s的速率，汽车所受的阻力为车与桥面压力的0.05倍，通过桥的最高点时汽车的牵引力是多大？(g取10 m/s2)
