第三章 第二节
基础达标
一、选择题(在每小题给出的四个选项中．第1～4题只有一项符合题目要求；第5～6题有多项符合题目要求)
1．(2016广东恩平校级期中)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A．地球公转周期大于火星的公转周期
B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度
【答案】D
【解析】题目已知地球环绕太阳的公转半径小于火星环绕太阳的公转半径，利用口诀“高轨、低速、大周期”能够非常快地判断出，地球的轨道“低”，因此线速度大、周期小、角速度大．最后结合万有引力公式a＝，得出地球的加速度大．因此答案为D．
2．(2018哈尔滨名校期中)“旅行者一号”是首个冲出太阳系的人类制造的飞行器．若在地面附近发射该探测器，则其发射速度应为( )
A．等于7.9 km/s
B．大于7.9 km/s而小于11.2 km/s
C．大于11.2 km/s而小于16.7 km/s
D．大于16.7 km/s
【答案】D
【解析】第一宇宙速度为 7.9 km/s，第二宇宙速度为 11.2 km/s，第三宇宙速度为 16.7 km/s.由题意可知，冲出太阳系的探测器的发射速度大于16.7 km/s，故D正确，A、B、C错误．
3．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的( )
A． B．4倍
C．16倍 D．64倍
【答案】D
【解析】由G＝mg，得M＝，ρ＝＝＝，所以R＝，则＝＝4，根据M星＝＝＝＝64M地，所以D项正确．
4．(2017海南卷)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月∶s地约为( )
A．9∶4 B．6∶1
C．3∶2 D．1∶1
【答案】A
【解析】设月球质量为M′，半径为R′，地球质量为M，半径为R.已知＝81，＝4，根据万有引力等于重力得＝mg，则有g＝，因此＝①，由题意从同样高度抛出h＝gt2＝g′t′2②，①②联立，解得t′＝t，在地球上的水平位移s＝v0t，在月球上的s′＝v0t′.因此s月∶s地约为9∶4，故A正确．
5．(2016河北定州中学期末)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，两星总质量为M，两星之间的距离为r，两星质量分别为m1、m2，做圆周运动的轨道半径分别为r1、r2，则下列关系式中正确的是( )
A．M＝ B．r1＝r
C．T＝2π D．＝
【答案】AC
【解析】设m1的轨道半径为r1，m2的轨道半径为r2.由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得
对m1：＝m1ω2r1①
对m2：＝m2ω2r2②
由①②式可得m1r1＝m2r2，即＝，故D错误；因为r1＋r2＝r，所以得r1＝r＝r，B错误；将ω＝，r1＝r代入 ①式，可得 ＝m1·r，所以得T＝2π，M＝，A、C正确．
6．(2017南长名校质检)a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图示．下列说法中错误的是( )
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度
B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度
C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度
D．a、c存在在P点相撞的危险
【答案】BCD
【解析】人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有F＝F向，F＝G，F向＝m＝mω2r＝m2r，因而G＝m＝mω2r＝m2r＝ma向，解得v＝①，ω＝②，a向＝③.a、c两颗卫星的轨道半径相同，且小于b卫星的轨道半径，根据③式，a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度，故A正确；b、c两颗卫星的轨道半径不相同，根据②式，其角速度不等，故B错误；a、c两颗卫星的轨道半径相同，且小于d卫星的轨道半径，根据①式，a、c的线速度大小相等，且大于d的线速度，故C错误；a、c两颗卫星相交，故轨道半径相同，根据①式，它们的线速度相等，故永远不会相撞，故D错误．
二、非选择题
7．两颗人造地球卫星，它们质量之比为1∶2，它们运行的线速度之比为1∶2，求它们运行的轨道半径之比，它们所受向心力之比．
【答案】4∶1 1∶32
【解析】根据万有引力提供向心力＝m，线速度v＝，则∝v2它们运行的线速度的比是v1∶v2＝1∶2，所以轨道半径比是r1∶r2＝4∶1.由F＝，则F∝，则向心力之比为1∶32.
8．(2018成都期末)我国已实现探月计划“嫦娥工程”，同学们对月球有了更多的关注．
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径．
(2)若宇航员随登月飞船登录月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回宇航员手上(宇航员抛出球后手的位置不变)．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M和月球的第一宇宙速度．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设地球质量为M，地球表面一物体质量为m，月球绕地球运动的轨道半径为r月，据万有引力和向心力公式，有
G＝M月2r月．
地球表面重力与万有引力相等mg＝G
得r月＝.
(2)设月球表面的重力加速度为g月，根据题意，有
v0＝g月t
设月球质量为M月，月球表面一物体质量为m1，月球近地卫星质量为m2，有
G＝m1g月
第一宇宙速度是月球近月卫星的线速度，据万有引力提供圆周运动向心力得
G＝m2＝m2g月
由以上各式联立解得M月＝，v1＝.
能力提升
9．(2017北京卷)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【解析】根据万有引力等于重力G＝mg，可以计算出地球的质量，A正确；根据v＝可计算出卫星的轨道半径r，万有引力提供向心力，则G＝mr，可求出地球质量，B正确；根据G＝mr，可求出地球的质量，C正确；可根据G＝mr，计算出太阳的质量，但无法计算地球的质量，D错误．本题问的是不能计算出地球质量的，所以选D．
10．(2018湖北期中)物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球半径是地球半径R的3倍，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】设该星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量为m，由万有引力提供向心力得＝，解得v1＝①；又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，得＝m②，且v2＝v1③.由①②③解得v2＝＝＝.A正确，B、C、D错误．
11．(多选)通过观察冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是( )
A．卫星的速度和角速度
B．卫星的质量和轨道半径
C．卫星的质量和角速度
D．卫星的运行周期和轨道半径
【答案】AD 【解析】根据线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力则＝m，整理可以得到M＝＝，故选项A正确；由于卫星的质量m约掉，故与卫星的质量无关，故选项B、C错误；若知道卫星的周期和半径，则＝m2r，整理得到：M＝，故选项D正确．
12．(2018安康期末)某天文爱好者在地面观测卫星1和卫星2绕地球做圆周运动的情况，测得t时间内卫星1运动的弧长为s，卫星1与地心的连线转过的角度为θ.已知万有引力常量为G，求：
(1)地球的质量；
(2)若已知卫星2绕地球运动的轨道半径为卫星1轨道半径的两倍，求卫星2运行的周期T2.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意可知，卫星1做圆周运动的半径为
r1＝
卫星1做圆周运动的线速度为v1＝
由万有引力提供向心力得G＝m
求得地球的质量为M＝＝＝.
(2)卫星1做圆周运动的周期为T1＝＝
因为r2＝2r1
根据开普勒第三定律有＝
解得T2＝2T1＝.
第三章 第二节
1．(2017新课标Ⅲ卷)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
【答案】C
【解析】天宫二号在天空运动，万有引力提供向心力，天宫二号的轨道是固定的，即半径是固定的，根据F＝＝＝可知，天宫二号的速度大小是不变的，则两者对接后，速度大小不变，周期不变，加速度不变；但是和对接前相比，质量变大，所以动能变大．故选C．
2．我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T.若以R表示月球的半径，则( )
A．卫星运行时的向心加速度为
B．物体在月球表面自由下落的加速度为
C．卫星运行时的线速度为
D．月球的第一宇宙速度为
【答案】D
【解析】已知“嫦娥二号”距月球的轨道半径(R＋h)，周期T，万有引力提供向心力，得＝＝ma向＝①
所以卫星运行时的向心加速度a向＝，故A错误；物体在月球表面自由下落的加速度为G＝ma，解得a＝，故B错误；卫星运行时的线速度为v＝，故C错误；月球的第一宇宙速度满足G＝m，解得v2＝②
由①得GM＝③
由②③解得v2＝，故D正确．
3．同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是( )
A．＝ B．＝2
C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，地球赤道上的物体质量为m2，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2′，根据向心加速度和角速度的关系有
a1＝ωr，a2＝ωR，ω1＝ω2，故＝，选项A、B错误．
由万有引力定律和牛顿第二定律得
G＝m1，G＝m2′，
由以上两式解得＝，选项C错误，D正确．
4．(2017连云港质检)2016年12月22日，中国首颗碳卫星被成功发射到太空中，它将会在距地面700千米的轨道上，每16天对地球进行一次全面体检．而且还可为研究PM 2.5等大气污染成因提供重要数据支撑，其发射速度( )
A．等于7.9 km/s
B．大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
C．大于16.7 km/s
D．大于11.2 km/s且小于16.7 km/s
【答案】B
【解析】由题可知，中国的首颗碳卫星将会在距地面700千米的轨道上运行，轨道的半径大于近地轨道的半径，所以发射的速度要大于第一宇宙速度7.9 km/s，同时发射速度要小于第二宇宙速度11.2 km/s.故B正确．
5．“嫦娥二号”探月卫星成功发射，并开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G.求：
(1)月球的质量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)万有引力提供“嫦娥二号”做圆周运动的向心力，则有G＝m(R＋h)，解得M＝.
(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有
G＝m1g，求得g＝.
(3)由ρ＝，V＝πR3得ρ＝.
课件51张PPT。第二节 万有引力定律的应用1．关于天体的运动，下列说法中正确的是( )
A．天体的运动和地面上物体的运动遵循不同的规律
B．天体的运动是最完美、最和谐的匀速圆周运动
C．太阳从东边升起，西边落下，所以太阳绕地球运动
D．太阳系中所有的行星都绕太阳运动
【答案】D2．(2017临武名校质检)如图所示为某行星绕太阳运动的轨迹示意图，其中P、Q两点是椭圆轨迹的两个焦点，若太阳位于图中P点，则关于行星在A、B两点速度的大小关系正确的是( )
A．vA>vB B．vAC．vA＝vB D．无法确定【答案】A 万有引力 周期T 利用万有引力定律能“称量”太阳的质量吗？若能，需要知道哪些量？
二、发现未知天体
1．被人们称为“笔尖下发现的行星”被命名为___________．
2．海王星的发现和______________的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈．海王星 哈雷彗星 水平抛出物体的速度 地球 卫星 万有引力 mω2r 四、三种宇宙速度7.9 11.2 地球 最小 16.7 最小 计算天体的质量和密度
特别提醒：在利用万有引力等于向心力列式求天体质量时，必须将该天体设置为中心天体． 例1 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多少？1．(2018南宁名校月考)我国发射了绕月运行探月卫星“嫦娥一号”，该卫星的轨道是圆形的，若已知绕月球运动的周期T及月球的半径R，月球表面的重力加速度g月，引力常量为G.求：
(1)月球的质量；
(2)探月卫星“嫦娥一号”离月球表面的高度；
(3)月球的平均密度．人造卫星的特点
特别提醒：无论哪种地球卫星，都遵守由万有引力定律决定的天体力学规律．所有人造地球卫星尽管轨道面不同，但都以地球的中心作为运动轨道的圆心．解题流程：
答案：B2．据媒体报道，“嫦娥二号”卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是( )
A．月球表面的重力加速度
B．月球对卫星的吸引力
C．卫星绕月运行的速度
D．卫星绕月运行的加速度
【答案】B 1．发射速度：是指被发射物在离开发射装置时的初速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．
若发射速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，卫星将环绕地球做椭圆轨道运动．若发射速度大于等于11.2 km/s 而小于16.7 km/s，卫星将环绕太阳运动．若发射速度大于等于 16.7 km/s，卫星将飞出太阳系．发射速度、运行速度与宇宙速度的区别解题流程：
答案：A 例4 宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′；
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地．综合拓展提高
题后反思：在天体的有关计算中，有时要利用抛体运动(平抛或竖直上抛)求天体表面的重力加速度，然后结合万有引力定律求M和ρ.
