第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1课时 直角三角形的性质和判定
【知识与技能】
1.体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形.
2.学会用符号和字母表示直角三角形.
3.经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质.
4.会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
5.理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”.
【过程与方法】
通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法.
【情感态度】
体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力.
【教学重点】
直角三角形性质和判定的探索及应用.
【教学难点】
直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程.
一、创设情境，导入新课
问题 什么叫直角三角形？
从定义可以知道直角三角形具有一个角是直角的性质，要判断一个三角形是直角三角形需要判断这个三角形中有一个角是直角.直角三角形除了有一个角是直角这条性质外还有没有别的性质呢？判断一个三角形是直角三角形除了判断一个角是直角还有没有别的方法呢？这节课我们来探究这些问题.
【教学说明】
引导学生回忆，并巩固所学知识.从实际问题入手，激发学生的兴趣，注意新知识的连贯性.
二、思考探究，获取新知
问题1 直角三角形两锐角互余
思考 如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=______.为什么？
【教学说明】
通过学生思考，总结归纳得出结果，培养学生分析问题和理解问题的能力.试试看：
（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，则∠BCD=______..
（2）在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______..
【教学说明】
巩固所学内容，加强对直角三角形两角之间互余的理解.
问题2 利用两锐角互余判断三角形是直角三角形
思考 如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
【教学说明】
让学生明白两锐角互余的三角形是直角三角形，从而得到直角三角形的一种判定方法.
结论 有两个锐角互余的三角形是直角三角形.
试试看：如图，AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
【教学说明】
让学生利用所学知识解决数学问题，逐步掌握解题技巧，培养学生的应用意识和能力.
问题3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程
思考 （1）按要求作图：画一个直角三角形，并作出斜边上的中线.
（2）量一量各线段的长度.
（3）猜想：你能猜想出什么结论？
【教学说明】
经历上面的探索过程，学生很容易得出结论，并能对所学知识进行提炼和归纳.
问题4 教材第4页例题
【教学说明】
让学生明确直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一定理的题设及结论可以相互变换，加深它们之间的区别与联系.
三、运用新知，深化理解
1.如果三角形的三个内角的比是4∶5∶9，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
2.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则△ABC是_______.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿AC边折叠，使点D落在点E处.
求证：EC∥AB.
【教学说明】
由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用以及检查学生掌握情况，有困难的学生教师要及时指导，并及时纠正错误，给予矫正深化.
答案：1.B 2.直角三角形
3.证明：∵△ACD沿AC边折叠，∴△ADC≌AEC，∴∠ACE=∠ACD，∵CD是AB边上的中线，∠ACB=90°，∴CD=AD，∴∠CAD=∠ACD，∴∠CAD=∠ACE，∴EC∥AB.
四、师生互动，课堂小结
通过今天的学习，你掌握了直角三角形的哪些性质和判定方法？还有什么值得与大家共同分享的？
【教学说明】
梳理学习内容、方法、思路，养成系统整理知识的习惯，形成知识体系，同学之间互相取长补短，达到共同提高.
1.布置作业：习题1.1中的第1、2题.
2.完成练习册中本课时的练习.
通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题.在今后的教学中让学生不断强化提高这一点.
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
【知识与技能】
1.进一步掌握直角三角形的性质——直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半.
2.能利用直角三角形的性质解决一些实际问题.
【过程与方法】
经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的发现过程.掌握直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.会运用直角三角形的性质进行简单的推理和计算.
【情感态度】
体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力.
【教学重点】
直角三角形性质：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.
【教学难点】
直角三角形性质的运用.
一、创设情境，导入新课
问题1 直角三角形有哪些性质？
问题2 按要求画图：
（1）画∠MON，使∠MON=30°；
（2）在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO、PK的长度，PO、PK有什么关系？
（3）在OM上再取点Q、R，分别过Q、R作ON的垂线QD、RE，垂足分别为D、E，量一量QD、OQ，它们有什么关系？量一量RE、OR，它们有什么关系？由此你发现了什么规律？为什么会有这个规律？这节课我们来研究这个问题.
【教学说明】
巩固所学知识，同时让学生亲自动手画图、测量，探究，得出结论，激发学生的求知欲望.
二、思考探究，获取新知
问题1 探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
思考 在Rt△ABC中 ,∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB有什么关系？
【教学说明】
学生利用前面学过的直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决这个问题的关键所在，从而得出结论.议一议：这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？
【教学说明】
通过学生的讨论，解决问题的方法可能有多种，培养学生一题多解的能力.
问题2 上面定理的逆定理思考上面问题中，把条件“∠A=30°”与结论“BC=1/2AB”交换，结论还成立吗？
【教学说明】
让学生明确在直角三角形中，一个角等于30°与30°所对的直角边等于斜边的一半在命题中相互调换，结论都成立.同时也认清了它们之间的区别与联系.
问题3 教材第5页例2
【教学说明】
让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，培养学生的应用意识和解决问题的能力.
三、运用新知，深化理解
1.如图，在△ABC中，∠C=45°，∠BAC=105°，AD⊥BC，DC=5cm，则AB=（ ）
A.5cm B.10cm C.15cm D.20cm
2.如果等腰三角形腰长为4，腰上的高为2，则此等腰三角形的顶角度数为________.
3.如图所示，某船于上午11时30分在A处观察海岛B位于北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向东航行至C处，再观察海岛位于北偏东30°，且船距离海岛20海里.
（1）求该船到达C处的时刻；
（2）若该船从C处继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？
【教学说明】
由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，向学生渗透数学来源于生活，应用于生活的意识，感受数学的科学性和实用性.教师根据学生的掌握情况，适当查漏补缺.
答案：1.B2.30°或150°
3.（1）由已知有∠DAB=30°，BC=20，∠BCD=60°，所以AC=BC=20，所需时间为20/10=2（小时），该船到达C处的时刻为13时30分；
（2）可求得CD=10，C处到D处所需时间为10/10=1（小时），故到达D处的时间为14时30分.
四、师生互动，课堂小结
今天，你又掌握了直角三角形的哪些性质？还有什么疑惑，与大家共同探讨.
【教学说明】
帮助学生养成系统整理知识的习惯，再次查漏补缺，深化提高.
1.布置作业：习题1.1中的第4、5题.
2.完成练习册中本课时练习的作业部分.
学生的掌握情况较好，但是对于实际问题的应用题转化为数学问题还存在一定的差距，今后的教学中，需不断强化提高.
第1章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时 勾股定理
【知识与技能】
1.让学生体验勾股定理的探索过程.
2.掌握勾股定理.
3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.
【过程与方法】
经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.
【情感态度】
了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.
【教学重点】
勾股定理
【教学难点】
勾股定理的应用
一、创设情境，导入新课
问题 向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.
【教学说明】
激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
勾股定理的验证
做一做：教材第9页“做一做”
【教学说明】
通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.
议一议： 教材第9页“议一议”
【教学说明】
引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.
想一想： 教材第10页“探究”
【教学说明】
通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.
例：教材第11页例1
【教学说明】
学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.
三、运用新知，深化理解
1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（ ）
A.50 B.35 C.34 D.26
2.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.12
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.
【教学说明】
由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.
答案：1.B 2.C
3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.
又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,
∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)
4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.
∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.
∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.
四、师生互动，课堂小结
本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？
【教学说明】
让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.
1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.
2.完成练习册中本课时练习的作业部分.
学生利用勾股定理直接计算比较容易，就是在没有明确告诉直角三角形的直角边、斜边时，求第三边往往有多种情况，学生很容易忽略，以后的教学中要加强这方面的训练.
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第2课时 勾股定理的实际应用
【知识与技能】
1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.
2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.
【过程与方法】
1.放手学生从多角度地了解勾股定理.
2.提高学生亲自动手的能力.
【情感态度】
1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.
2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.
【教学重点】
应用勾股定理有关知识解决有关问题.
【教学难点】
灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.
一、创设情境，导入新课
问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.
【教学说明】
教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题 勾股定理的应用
思考 教材第12页“动脑筋”
【教学说明】
提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.
例：教材第12页例2
【教学说明】
以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.
三、运用新知，深化理解
1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）
A.3 B. C.3或 D.无法确定
2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.
①已知a=5,b=12，求c;
②已知a=20,c=29,求b.
3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.
【教学说明】
由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.
答案：1.C
3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF===34（cm）
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.
【教学说明】
学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.
1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.
2.完成练习册中本课时练习的作业部分.
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了a2+b2=c2，没有分析问题的本质所在；另一方面对于曲面转化为平面问题和在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高，以达到全面提高.
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第3课时 勾股定理的逆定理
【知识与技能】
1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.
2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.
3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.
【过程与方法】
通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.
【情感态度】
1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.
2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
【教学重点】
理解和应用直角三角形的判定方法.
【教学难点】
理解勾股定理的逆定理.
一、创设情境，导入新课
问题 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
【教学说明】
利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”
【教学说明】
让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4
【教学说明】
加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.
三、运用新知，深化理解
1.下列命题中是假命题的是（ ）
A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形
C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形
2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.
3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.
4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.
【教学说明】
由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时 的对应训练部分.
答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形
3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
4.∵（12×2）2+（9×2）2=30
∴A，B两组行驶方向成直角.
四、师生互动，课堂小结
通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.
【教学说明】
引导学生回顾所学知识，加深理解，同学相互取长补短，共同提高.
1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.
2.完成练习册中本课时 练习的作业部分.
学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法.以后的教学中逐步训练提高.
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
【知识与技能】
1.已知斜边和直角边会作直角三角形.
2.熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等.
3.熟练使用“分析综合法”探求解题思路.
【过程与方法】
通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力.
【情感态度】
通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神.
【教学重点】
“斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用.
【教学难点】
数学语言的正确表达.
一、创设情境，导入新课
问题1 说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点.
问题2 有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？
【教学说明】
在学生已经掌握了一般三角形全等的判定方法的基础上，给学生提出特殊的直角三角形的判定方法，容易接受理解，学习起来比较轻松.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题1 斜边、直角边定理的证明.
例：教材第19页“探究”
【教学说明】
让学生明白斜边、直角边定理是由勾股定理推理得出的第三条边相等，从而利用三边证明两个直角三角形全等的特殊方法.
问题2 “HL”定理的运用
例： 教材第20页例1
【教学说明】
通过学习，学生弄清了利用“HL”证明两个直角三角形全等的书写格式和证明途径.
问题3 用尺规作一个直角三角形
例： 教材第20页例2
【教学说明】
通过学生的动手操作、交流、讨论，掌握已知一条斜边和一直角边作一个直角三角形的方法，体验学习数学的过程.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则图中全等的三角形对数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC=BD，那么下列结论中：①AD=BC；②∠DAC=∠CBD；③OC=OD.其中正确的有（ ）
A.①②③ B.①② C.①② D.③
3.下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（ ）
A.已知两条直角边
B.已知两个锐角
C.已知一条直角边和斜边
D.已知一个锐角和一条直角边4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm.
5.如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CD，AC=BD，求证：DE=CE.
【教学说明】
学生自主完成，加强对所学知识的理解，教师可以根据学生掌握的情况有针对性地加以矫正强化.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时 的对应训练部分.
答案：1.C 2.A 3.B 4.3
5.∵AC⊥AD，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中，DC=CD，AC=BD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴∠ACD=∠BDC.在Rt△ODE和Rt△OCE中，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（AAS），∴DE=CE.
四、师生互动，课堂小结
通过今天的学习，你能说出判定两个直角三角形全等有哪些方法吗？还存在哪些不足?请与大家共同交流.
【教学说明】
及时梳理知识，不断总结归纳直角三角形全等的判定方法，让学生看到自己的进步，提高学生的学习热情.
1.布置作业：习题1.3中的第2、3、4题.
2.完成练习册中本课时练习的作业部分.
在教学的过程中，利用“HL”定理学生往往容易忽略证明两个直角三角形全等的前提条件是直角三角形,以后的教学中要加以强调，同时学生利用尺规作直角三角形还不是很熟练，注重他们的动手操作能力.
1.4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
【知识与技能】
让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理.
【过程与方法】
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法.
【情感态度】
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力.
【教学重点】
领会角的平分线的两个互逆定理
【教学难点】
两个互逆定理的实际应用
一、创设情境，导入新课
拿出课前准备好的折线与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
【教学说明】
通过折纸动手操作，观察得出结论，感受生活中的数学无处不在，让他们很快投入到学习中.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题1 角平分线的性质定理
思考 教材第22页“探究”
【教学说明】
让学生明确角平分线的性质定理利用“HL”证明两直角三角形全等得出来的，既巩固了所学知识，又得出新的结论.
问题2 角平分线的判定定理
思考 教材第23页“动脑筋”
【教学说明】
角平分线的判定定理与性质定理是互逆定理，让学生明白各自生成的条件，并加深了它们之间的区别与联系.
问题3 角平分线的性质及其判定的应用
例 教材第23~24页例1
【教学说明】
体会角平分线上的点与这一点到角两边距离相等可以相互转化，加深对知识的理解和运用.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知点P、D、E分别在OC、OA、OB上，下列推理
①∵OC平分∠AOB，∴PD=PE；
②∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE；
③∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD=PE.其中正确的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是.
3.如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论.
【教学说明】
让学生独立完成，加深对知识的理解与运用，根据学生掌握情况，及时查漏补缺.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时 的对应训练部分.
答案：1.B 2.4cm 3.AD⊥EF
.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF,
∴∠ADE=∠ADF,又DE=DF，∴DA⊥EF.
四、师生互动，课堂小结
谈谈你对本节课的认识，还有什么心得体会?请与大家共同分享.
【教学说明】
引导学生回顾所学知识，加深印象，同学之间互相取长补短，达到共同提高.
1.布置作业：习题1.4中的第2、3题.
2.完成练习册中本课时 练习的作业部分.
利用角平分线的性质定理及其逆定理解决问题，对于学生来说比较简单，应放手让学生独立完成作业，只是需要注意的是，像与角平分线有关的求证线段相等、角相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出结论.
1.4 角平分线的性质
第2课时 角平分线性质定理及其逆定理的综合应用
【知识与技能】
让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题.
【过程与方法】
通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思维，从而提高解决简单问题的能力.
【情感态度】
经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程，发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
角平分线的性质及其应用
【教学难点】
灵活应用两个性质解决问题
一、创设情境，导入新课
问题 一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路最短？这两条有什么关系？画出来看一看.
【教学说明】
让学生动手画出最短的路线，可以复习点到直线的距离这一知识点，为探究角的平分线的性质作铺垫，同时也让学生感受到数学与实际生活是紧密相联的，从而激发学生学习兴趣，体现有价值的数学.教师讲课前，先让学生完成预习.
二、思考探究，获取新知
问题 角平分线性质与判定的应用
思考 教材第24页“动脑筋”
【教学说明】
让学生明白要找角平分线只需要找角的内部某一点到角两边的距离相等即可，从而找到解决问题的方法.
例： 教材第25页例2
【教学说明】
既复习了三边关系，又能巩固加深了角平分线性质的应用.
思考 教材第25页“动脑筋”
【教学说明】
通过学生合作、探究得出三角形的角平分线是相交于一点的，同时等式的传递性也得到了充分利用.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，其中正确的是（ ）
A.只有① B.只有② C.只有①和② D.①②③
2.如图所示，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，OE=2，则AB与CD之间的距离为_______.
3.如图，△ABC中，试证明:
（1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD=AB∶AC；
（2）设D为BC上的一点，连接AD.若S△ABD∶S△ACD=AB∶AC，则AD为∠BAC的平分线.
【教学说明】
由学生独立完成，对有困难的学生给予指导，及时更正他们发生的错误，根据学生掌握程度必要时加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时 的对应训练部分.
答案：1.D 2.4
3.证明：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=(1/2AB·DE)∶(1/2AC·DF)=AB∶AC.
(2)∵S△ABD∶S△ACD=（1/2AB·DE）∶（1/2AC·DF）=AB∶AC，
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线.
四、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你掌握了哪些内容？还存在什么疑惑？与大家共同分享.
【教学说明】
及时反馈学生的掌握情况，让学生看到自己的进步，激励学生相信自己的能力，促进学生良好的心理品质.
1.布置作业：习题1.4中的第4、5题.
2.完成练习册中本课时 练习的作业部分.
对于利用角平分线的性质和判定进行有关的证明，学生掌握情况较好，就是与角平分线有关的面积计算问题，还不够熟练，以后的教学中对此加强训练.
章末复习
【知识与技能】
1.系统了解本章的知识体系及知识内容.
2.在熟练掌握直角三角形相关概念的基础上，进一步熟悉掌握直角三角形性质与判定的应用.
3.在掌握角平分线性质及其逆定理的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练.
4.培养对知识综合掌握、综合运用的能力.
【过程与方法】
复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题.通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标.
【情感态度】
主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力.
【教学重点】
勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质和判定，角平分线性质与判定在解决实际问题中的作用.
【教学难点】
综合运用直角三角形相关知识解决问题.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】
引导学生回顾本章知识点，展示结构框图，让学生对本章所学知识有个系统地把握.教学时，可以边回顾边建立结构图，逐步加深印象.
二、释疑解惑，加深理解
1.“斜边、直角边定理”是判定两个直角三角形全等所独有的，在运用该判定定理时，要注意全等的前提条件是两个直角三角形.
2.本章的互逆定理：直角三角形的性质和判定定理，勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理及其逆定理等，注意它们之间的区别与联系.3.数形结合的思想：勾股定理体现了由形到数，而勾股定理的逆定理体现了由数到形.
三、典例精析，复习新知
例1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，图中与∠A互余的角有（ ）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
【分析】
由“直角三角形的两锐角互余”，可找出与∠A互余的角.∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，∴与∠A互余的角2个，故选C.
例2 如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成30°角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（ ）
A.10m B.15m C.5m D.20m.
【分析】根据题意可以得直角三角形中，较短的直角边是5，再根据30°所对的直角边是斜边的一半，得斜边是10，从而求出大树的高度为10+5=15（m）.故选B.
例3 如图，已知△ABC中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么AC边上的中线BD的长为_______.
【分析】∵AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，由勾股定理的逆定理得，△ABC是直角三角形，∵BD是AC边上的中线，∴BD=12AC=6.5cm.
例4 一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识，论证你的结论.
【分析】由勾股定理求得AC=4（米），由题意得CD=AC-AD=4-1=3（米），再由勾股定理可求得CE的长，进而求出BE的长.
解：是，理由如下：在Rt△ACB中，BC=3，AB=5，AC2+BC2=AB2，
∴AC=4，DC=4-1=3，在Rt△DCE中，DC=3，DE=5，CE2+DC2=DE2，
∴CE=4，∴BE=CE-CB=1，即梯子底端也滑动了1米.
【教学说明】
典型例题的分析解答，对学生解题有着非常重要的指导作用，教师在讲评的过程中，让学生明确本章的重点有哪些，难点在哪里，需要注意哪些，容易忽略什么，逐步加深印象，达到全面掌握.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（ ）
A.6 B.4 C.3 D.2
2.如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”。在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4,AB=5.四边形EFGH的面积是_________.
3.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E为AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB.若∠B=20°，试求∠DFE的度数.
4.如图所示，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设一拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，周围100米以内会受到噪音的影响，那么学校是否会受到噪音的影响？说明理由，若受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，则学校受到影响的时间有多长？
【教学说明】
这部分准备了本章几个有代表性知识的运用，便于及时巩固所学知识，检测学生的掌握情况，教师及时强化提高.
【答案】
1.B 2.1
3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠B=∠BCE=20°，∠EAC=∠ECA=70°，∴∠ACF=70°.
又∵AD=DB，∠B=∠BAD=20°，∴∠FAC=50°，
∴在△ACF中，∠AFC=180°-70°-50°=60°，
∴∠DFE=∠AFC=60°.
4.解：过A作AB⊥MN，垂足为B，
因为∠ABP=90°，AP=160米，∠QPN=30°，
所以AB=12AP=12×160=80（米）.
因为80<100，所以学校会受到噪音的影响.在MN上找到两点C，D，使AC=AD=100米.这说明当拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处时，学校开始受到噪音的影响，直到拖拉机行驶到点D处时，学校摆脱拖拉机噪音的影响.由勾股定理得BC2=AC2-AB2=1002-802=3600，所以BC==60（米），同理BD=60（米），所以CD=CB+BD=60×2=120（米），所以（120÷1000）÷18=1/150（时）=1/150×3600（秒）=24（秒），所以学校受噪音影响的时间为24秒.
五、师生互动，课堂小结
你能比较完整地回顾本章所学的直角三角形的有关知识吗？你认为哪些内容是同学们要掌握的？还存在哪些困惑？请与大家共同交流讨论.
【教学说明】
通过师生共同回顾本章所学知识，大胆放手让学生成为课堂的主人，调动学生的学习主动性，让学生从学会变为答案.必要时教师可以适当补充.
1.布置作业：从复习题中选取.
2.完成练习册.
本节课从归纳本章主要内容入手，以精选例题为范本，采用训练为主讲解为辅的方式，由浅入深，层层深入，真正做到让学生动起来，让课堂活跃起来，让学生对所学内容得到深化，能力进一步提高.
