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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第1课时 菱 形(1)
教学目标
1．探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运算．
2．能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半的性质．
重点难点
重点
菱形的概念及性质．
难点
菱形性质的灵活应用．
教学设计
新知导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
（PPT2、PPT3展示图片，让学生体会生活中无处不在菱形，页可以让学生自己举一些例子）
新知讲解
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
（铺垫新课，PPT4展示平行四边形到矩形的变化过程，铺垫出今天学习的菱形也是有平行四边形变化而来的效果）
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
（PPT5展示平行四边形变化成菱形的过程，让学生自己总结菱形的定义，并且归纳平行四边形和菱形的关系，教师引导，学生归纳总结，教师整理点评）
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
问题1 菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
问题2 菱形中有哪些相等的线段？
归纳总结
菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线BD).
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).
菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分
一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA).
证一证
（学生自行证明，教师检查点评汇总，PPT8、PPT9展示证明过程）
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD；
（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
归纳总结
（引导学生自己归纳总结，教师引导，点评，最后汇总PPT10展示结果）
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
菱形的特殊性质
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
平行四边形的性质
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
问题 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
（PPT11展示计算办法，同时提出思考问题）
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
（学生思考，教师提问，PPT12展示过程）
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
（PPT13展示例题）
例1 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，
且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA.
（教师引导，学生分析，汇报解答思路，PPT14展示解答过程）
（PPT15展示课本例题）
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）
（教师引导，学生分析，汇报解答思路，PPT16展示解答过程）
课堂练习
1、四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
2、菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6和8，求菱形的周长和面积.
3.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
4.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （ ）
A.18 B.16 C.15 D.14
拓展提高
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作
CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
.
课堂总结
1个定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
2个公式：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性：特在“边、对角线、对称性”
板书设计
六、作业设计
课后作业：课本60页习题18.2第5题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
(共27张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
新知导入
欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？
新知导入
新知讲解
平行
四边形
矩形
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
新知讲解
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形
邻边相等
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
新知讲解
做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
问题2:菱形中有哪些相等的线段？
新知讲解
菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(直线AC和直线BD).
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).
菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD)，且每条对角线平分
一组对角(∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA).
A
B
C
O
D
归纳总结
新知讲解
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD；
（3）∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD;
∴AB = BC = CD =AD.
A
B
C
O
D
证一证
新知讲解
（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
O
D
新知讲解
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每
条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳总结
新知讲解
问题 菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
新知讲解
问题 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
新知讲解
例1 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，
且∠DAE=2∠BAE，
求证：EB=OA.
A
B
C
D
O
E
分析：要证EB＝OA，只需证它们所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA.
新知讲解
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB，?
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
A
B
C
D
O
E
新知讲解
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2 ）
B
A
O
C
新知讲解
B
A
O
C
D
解：∵花坛ABCD是菱形，
课堂练习
1、四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
且AB=5，AO=4.求AC和BD的长.
O
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC，OB=OD, AC⊥BD.
∵Rt AOB中, OB2+OA2=AB2,
AB=5cm，AO=4cm,
∴OB=3cm.
∴BD=2OB=6cm, AC=2OA=8cm.
课堂练习
2、菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6和8，
求菱形的周长和面积.
C
B
D
A
O
课堂练习
3.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
4.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （ ）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
C
拓展提高
1.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
拓展提高
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
拓展提高
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= (4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
课堂总结
1个定义
2个公式
3个特性
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
：特在“边、对角线、对称性”
板书设计
18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
作业布置
课后作业：课本60页习题18.2第5题。
谢谢
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