(共24张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
新知导入
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ，你能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
矩形的
定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线相等
四个角都是直角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
C
D
A
B
O
矩形的
判定
新知导入
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？
菱形的
定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的
性质
具有平行四边形的所有性质
对角线互相垂直且平分每一组对角
菱形的四条边都相等
菱形的
判定
C
D
A
B
O
？
你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？
新知讲解
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考 还有其他的判定方法吗？
新知讲解
类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题,你能找到菱形判定的其他方法吗？
猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
猜想2：四条边都相等的四边形是菱形
新知讲解
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
证一证
新知讲解
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
新知讲解
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证一证
新知讲解
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
四边形ABCD
A
B
C
D
新知讲解
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵ OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴四边形ABCD是菱形.
新知讲解
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
新知讲解
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形.
课堂练习
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
课堂练习
2.下列命题中正确的是 （ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
课堂练习
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ABED为平行四边形.
当AC=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
课堂练习
A
B
C
D
O
E
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
拓展提高
1.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
拓展提高
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
拓展提高
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
课堂总结
三个角是直角
四条边都相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线互相垂直
两组对边分别平行
一组对边平行且相等
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
四边形
平行四边形
矩形
菱形
板书设计
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
作业布置
课后作业：课本60页习题18.2第6题。
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第十八章 平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
教学目标
探究菱形的判定方法，掌握菱形的判定定理，了解菱形在实际问题中的应用．
重点难点
重点
理解并掌握菱形的判定定理．
难点
发展学生的逻辑推理能力．
教学设计
新知导入
我们学习了矩形的定义、性质和判定，如下表 ，你能发现矩形的三条判定定理分别是从哪个角度得到的吗？
（教师提问，学生回答，PPT2逐条展示结果）
菱形的定义与性质如下表．你认为可以从哪些角度思考菱形的判定条件？
（教师提问，学生回答，PPT2逐条展示结果，提出问题： 你的想法正确吗？
如何证明你的猜想？ ）
新知讲解
（PPT4展示）
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考 还有其他的判定方法吗？
类比学习平行四边形和矩形的判定过程，研究菱形性质定理的逆命题,你能找到菱形判定的其他方法吗？
猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
猜想2：四条边都相等的四边形是菱形
证一证
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
（教师引导学生证明猜想1.分组讨论，协同解决问题，组长汇报证明过程，教师点评，PPT6展示证明过程）
归纳总结
菱形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（PPT展示结果，教师强调学生自己书写几何语言）
证一证
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
（教师引导学生证明猜想2.分组讨论，协同解决问题，组长汇报证明过程，教师点评，PPT8展示证明过程）
归纳总结
菱形的判定定理：
四条边都相等的四边形是菱形
（PPT9展示结果，教师强调学生自己书写几何语言）
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
（学生分组练习，组长汇报结果，PPT10展示解答过程）
例2 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,
EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
（学生分组练习，组长汇报结果，PPT11展示解答过程）
例3 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形.
（学生分组练习，组长汇报结果，PPT12展示解答过程）
课堂练习
1.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 （ ）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
2.下列命题中正确的是 （ ）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
拓展提高
1.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=FA，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF为菱形；
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
课堂总结
六、作业设计
课后作业：课本60页习题18.2第6题。
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