人教版八年级下册18．2．3正方形课件（共27张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册18．2．3正方形课件（共27张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-08 09:13:32 | ||
图片预览
文档简介
(共27张PPT)
18.2.3正方形
-------最完美的四边形
矩 形
正方形
〃
〃
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
探究（一）
菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有哪些性质?
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
几种特殊四边形的性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行
四边形
矩 形
菱 形
正方形
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
如何由矩形和菱形判别正方形呢？
一组邻边相等
有一个内角是直角
一组邻边相等
有一个内角是直角
正方形的判定
一组邻边相等且
有一个角是直角
例
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知、求证
第三步：进行证明
A
D
C
B
O
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
拓展讨论:
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、
H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且
AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH
是正方形吗?为什么?
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∵ ∠1=∠3．
又 ∠3+∠2=90°
∠1+∠2=90°．
∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）．
P59练习1、2
练习1 提示：有一组邻边相等的矩形是正方形
A
B
D
C
E
〃
〃
∟
F
正方形
裁
A
D
C
B
E
∟
∟
练习2
提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线.
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
例题赏析
1.在正方形ABCD中,AC是对
角线,AE平分∠BAC,试猜
想AB、AC、BE之间的关系，
并证明你的猜想．
2在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证： DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？
试证明你的结论．
一展身手
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：⑴CE=BG⑵EG=2AM．
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.
（1）求证AE=BF；（2）若BC= cm，求正方形DEFG的边长.
如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有哪些性质
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
3、正方形的判定
作 业
P61第12题、P62第15题、
P69第14题
18.2.3正方形
-------最完美的四边形
矩 形
正方形
〃
〃
矩形怎样变化后就成了正方形呢?
探究（一）
菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
探究小结
矩 形
〃
〃
正方形
邻边
相等
〃
〃
发现：
一组邻边相等的矩形 叫正方形
一个角
是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正方形
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有哪些性质?
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
\
\
\
\
∟
对边平行， 四条边都相等
四 个 角
都是直角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD
轴对称图形 中心对称图形
性 质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
几种特殊四边形的性质
对边平行
且相等
对边平行 且相等
对边平行，四边都相等
对边平行，
四条边
都相等
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角相等，
邻角互补
四个角
都是直角
对角线互相平分
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
轴对称图形、
中心对称图形
边 角 对 角 线 对 称 性
平 行
四边形
矩 形
菱 形
正方形
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
如何由矩形和菱形判别正方形呢？
一组邻边相等
有一个内角是直角
一组邻边相等
有一个内角是直角
正方形的判定
一组邻边相等且
有一个角是直角
例
求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
第一步:根据题意画出图形
第二步:写出已知、求证
第三步：进行证明
A
D
C
B
O
已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明: ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都是等腰直角三角形,并且
△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO
分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
拓展讨论:
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、
H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且
AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH
是正方形吗?为什么?
已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
证明：∵ 四边形ABCD是正方形
∴ ∠ABC=∠BCD=90°，AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．
又∵ AE=BF=CG=DH
∴AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF
即BE=AH=DG=CF
∴ △AEH≌△BFE≌ △CGF ≌ △DHG．
∵ ∠1=∠3．
又 ∠3+∠2=90°
∠1+∠2=90°．
∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）．
P59练习1、2
练习1 提示：有一组邻边相等的矩形是正方形
A
B
D
C
E
〃
〃
∟
F
正方形
裁
A
D
C
B
E
∟
∟
练习2
提示：寻找直角三角形，运用直角三角形求边长和对角线.
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
设计花坛
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？
例题赏析
1.在正方形ABCD中,AC是对
角线,AE平分∠BAC,试猜
想AB、AC、BE之间的关系，
并证明你的猜想．
2在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q是CD上任意一点，DP⊥AQ交BC于点P．
⑴求证： DQ=CP；
⑵OP与OQ有何关系？
试证明你的结论．
一展身手
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
如图,以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，M是BC的中点．
求证：⑴CE=BG⑵EG=2AM．
求证：矩形的四个角的平分线所围成的四边形是正方形．
已知正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，且BE=1，P为AC上一点，求PE+PB的最小值.
如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.
（1）求证AE=BF；（2）若BC= cm，求正方形DEFG的边长.
如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 平方厘米．
小结
1、正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形有哪些性质
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等，
每条对角线平分一组对角
边：
角：
对角线：
3、正方形的判定
作 业
P61第12题、P62第15题、
P69第14题