沪科版八年级数学下册第18章勾股定理单元测试卷（附答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册第18章勾股定理单元测试卷（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 297.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-07 16:30:01 | ||
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文档简介
第18章勾股定理测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可能为(???? )
A．.5：12：13? B．3：4：6? C?2：3：4? ? D.4：6：7
2.在平面直角坐标系中有一点P（﹣3，4），则点P到原点O的距离是（ ）
A.3?????? B.?5??? ?? C.?4???? ? D.6
3.有下列判断:①△ABC中，，则△ABC不是直角三角形；②若△ABC是直角三角形，，则；③若△ABC中，，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则（，正确的有（?? ? ）
A.4个?????? B.3个??? ?? C.2个????? ?? D.1个
4.有长度为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为?（??? ）
A.1个?????? B.2个???? C.3个?????? ? D.4个
5.若等边△ABC的边长为4，那么△ABC的面积为（ ）.
A. B. C. 8 D. 4
6.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是( )
A. CD.EF.GH???? B. AB.CD.GH???? C.AB.EF.GH????? D.AB.CD.EF
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD= ，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（ ）
A. B.+1 C.+2 D.+3
8.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（ ）
A. B. C.2 D.
10.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为?（ ?）
A．115cm B．125 cm C．135cm D．145cm
二、填空题(本大共4小题，每小题5分，满分20分)
11.已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为 .
12.如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是???????? .
13.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是?????? ．
14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3. 若S1+S2+S3=15，则S2的值是 .
（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
16.如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
?
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②
∴c2=a2+b2．③
∴△ABC是直角三角形．
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为 ；
（3）写出正确的解题过程.
18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC=2，求AD的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
如图，在平静的湖面上，竖立着一朵盛开的红莲，它高出水面BD=3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至岸边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为BC=6尺，请问水深AB有多少尺？
六、(本题满分12分)
21.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE= m，求点B到地面的垂直距离BC．
?
七、（本题满分12分）
22.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长.
八、（本题满分14分）
23.在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B
11. 2或2.5 12. 13. 14. 5
15.证明：
??????????????
?所以△ABC是直角三角形.
16.（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
17.解：（1）③
（2）除式可能为零；
（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，
当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
18.解：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°.
（2）∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形.∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC.
∵AC=2，∴
19.解：如图，∵点D为BC的中点，∴.由题意知AN=DN（设为x），则BN=9-x.由勾股定理得x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=9-5=4.
20.解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．在Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6.由勾股定理得AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，∴h2+6h+9=h2+36，解得h=4.5．
答：水深4.5尺．
21.解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，∴.∴AD2=AE2+DE2=2+2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴，∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴,∴点B到地面的垂直距离 m.
22.证明：
23.解：∵AC=4，BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD.在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6.根据勾股定理得
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°.∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根据勾股定理得
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°.∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF.∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.
设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，故EC=DE=3，
则
红莲
C
D
红莲
湖面
B
A
湖底
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可能为(???? )
A．.5：12：13? B．3：4：6? C?2：3：4? ? D.4：6：7
2.在平面直角坐标系中有一点P（﹣3，4），则点P到原点O的距离是（ ）
A.3?????? B.?5??? ?? C.?4???? ? D.6
3.有下列判断:①△ABC中，，则△ABC不是直角三角形；②若△ABC是直角三角形，，则；③若△ABC中，，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则（，正确的有（?? ? ）
A.4个?????? B.3个??? ?? C.2个????? ?? D.1个
4.有长度为9cm，12cm，15cm，36cm，39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为?（??? ）
A.1个?????? B.2个???? C.3个?????? ? D.4个
5.若等边△ABC的边长为4，那么△ABC的面积为（ ）.
A. B. C. 8 D. 4
6.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是( )
A. CD.EF.GH???? B. AB.CD.GH???? C.AB.EF.GH????? D.AB.CD.EF
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD= ，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（ ）
A. B.+1 C.+2 D.+3
8.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（ ）
A. B. C.2 D.
10.如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为?（ ?）
A．115cm B．125 cm C．135cm D．145cm
二、填空题(本大共4小题，每小题5分，满分20分)
11.已知一直角三角形，两边长为3和4，则斜边上的中线长为 .
12.如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是???????? .
13.如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是?????? ．
14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3. 若S1+S2+S3=15，则S2的值是 .
（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
16.如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．
（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．
?
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②
∴c2=a2+b2．③
∴△ABC是直角三角形．
问：
（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为 ；
（3）写出正确的解题过程.
18.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC=2，求AD的长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，在Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长．
如图，在平静的湖面上，竖立着一朵盛开的红莲，它高出水面BD=3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至岸边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为BC=6尺，请问水深AB有多少尺？
六、(本题满分12分)
21.如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点，当它靠在另一侧墙时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°．点D到地面的垂直距离DE= m，求点B到地面的垂直距离BC．
?
七、（本题满分12分）
22.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点.
⑴求证：△ACE≌△BCD；⑵若AD=5，BD=12，求DE的长.
八、（本题满分14分）
23.在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.D 8.D 9.A 10.B
11. 2或2.5 12. 13. 14. 5
15.证明：
??????????????
?所以△ABC是直角三角形.
16.（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形.
（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．
17.解：（1）③
（2）除式可能为零；
（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，
当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
18.解：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°.
（2）∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形.∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC.
∵AC=2，∴
19.解：如图，∵点D为BC的中点，∴.由题意知AN=DN（设为x），则BN=9-x.由勾股定理得x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=9-5=4.
20.解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．在Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6.由勾股定理得AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62，∴h2+6h+9=h2+36，解得h=4.5．
答：水深4.5尺．
21.解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，∴.∴AD2=AE2+DE2=2+2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴，∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴,∴点B到地面的垂直距离 m.
22.证明：
23.解：∵AC=4，BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．
分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．∵DE⊥CB，∴∠BED=∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠CBA+∠DBE=90°，∴∠CAB=∠EBD.在△ACB与△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，
∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2，∴CE=6.根据勾股定理得
如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．∵BC⊥CA，∴∠AED=∠ACB=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°.∵△ABD为等腰直角三角形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠CAB+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠ADE.在△ACB与△DEA中，∵∠ACB=∠DEA，∠CAB=∠EDA， AB=DA，∴△ACB≌△DEA（AAS），∴DE=AC=4，AE=BC=2，∴CE=6，根据勾股定理得
如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°.∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°.∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF.∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，则ED=AF.由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，则四边形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4.
设DF=x，则BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF-DF=4-x，则2+x=4-x，解得x=1，故EC=DE=3，
则
红莲
C
D
红莲
湖面
B
A
湖底