人教版高中数学必修3-3．3．1 几何概型-课件（共13张PPT）

(共13张PPT)
几何概型
人教A版高中数学必修三第三章概率3.3.1几何概型
几何概型
学习目标
1.理解几何概型的概念，会用几何概型的概率公式求解随机事件的概率；
2.了解古典概型与几何概型的区别与联系，体会数形结合的数学思想。





















在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率。
问题情景
古典概型的两个特征
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
一、知识回顾
(1) (2)
问题：图中有两个转盘．甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲
获胜，否则乙获胜．在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
事实上，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域圆弧的长度有关，而与字母B所在区域的位置无关．字母B所在扇形区域圆弧的长度不变，不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的．
探索新知
二、问题引入

研究对象：
基本事件：
所求事件：
以转盘(1)为游戏工具时,P(“甲获胜”);
以转盘(2)为游戏工具时,P(“甲获胜”).
指针的位置
指针在转盘的任意一个位置
指针在转盘区域B中任意一个位置
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个基本特点
(1)无限性：试验中可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
(2)等可能性：每个试验结果发生的可能性相等．
3．古典概型与几何概型的区别与联系
相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的；
不同:古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个。
4．几何概型的概率公式
?P(A)＝ .
完成情况
探索新知
题型一：与长度（角度）有关的几何概型问题
典例透析
方法总结:解答几何概型问题的关键在于弄清题中的研究对象和对象的活动范围。当研究对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段的长度比计算随机事件的概率。
解：设A={方程x2＋ax＋1＝0有实数根}
方程x2＋ax＋1＝0有实根，Δ＝a2－4≥0解得a≥2或a≤－2(舍去)，即a∈[2,5]，
P(A)= =
例1．(1) 在[0,5]上任取一个实数a，则关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数根的概率为 。

实数a的值
[0,5]上任取一个实数a
方程x2＋ax＋1＝0有实数根a的值
研究对象：
基本事件：
所求事件：
例1. (2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧DE,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为　　　　　.?
典例透析
方法总结:当研究对象为射线时，又涉及到射线的转动，一般用角度比计算随机事件的概率，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比。
题型一：与长度（角度）有关的几何概型问题

P
研究对象：射线AP的位置
基本事件：射线AP在∠BAD的任意位置
所求事件：
设A={射线AP与线段BC有公共点}
P(A)=
旋转角∠BAP小于





















例2.(1) 往一个正方形方格中投一个石子，则石子落在正方形内切圆内的概率为 .
题型二：与面积有关的几何概型问题
典例透析

例2.(2)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，若a是从区间[0,3]上任取的一个实数，b是从区间[0,2]上任取的一个实数，求上述方程有实根的概率．
解：设A ={方程x2＋2ax＋b2＝0有实根} ．
则Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2.又∵a≥0，b≥0.∴a≥b.
试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，面积为32=6
而构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，
即如图所示的阴影部分，面积为3222=4 所以P(A)＝＝.


方法总结:当基本事件受两个连续变量控制时,一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域的面积比计算随机事件的概率.基本方法是数形结合。
研究对象：实数a与b的值
基本事件： a是[0,3]上任取的一个实数，b是[0,2]上任取的一个实数
所求事件：方程x2＋2ax＋b2＝0有实根时实数a与b的值
题型二：与面积有关的几何概型问题
典例透析
例2.(3)甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人20分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。
解析：设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟），则
二人会面

|x－y|≤20。

方法总结:对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解.

题型二：与面积有关的几何概型问题
20 30

20
题型三：与体积有关的几何概型问题
典例透析
例3.如图，有一个动点在长方体ABCD?-A1B1C1D1内随机运动，则此动点在三棱锥A1-A?BD内的概率为________．
解析：设事件M为“动点在三棱锥A1?ABD内”，

小结
2．几何概型的概率公式
?P(A)＝ .
3．解决几何概型概率问题的步骤
(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；
(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；
(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；
(4)利用概率公式计算．

1．古典概型与几何概型的区别与联系
相同:两者基本事件发生的可能性都是相等的；
不同:古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限个。