人教版七年级数学下册第八章二元一次方程小结与复习教案

第八章 复习教案
教学设计思想
本课是第八章的章节复习课，是学生再认知的过程，因此本课教学时老师提出问题，引导学生独立完成，从过程中提高学生对问题的进一步认识。首先让学生思考回答：① 二元一次方程组的解题思路及基本方法。② 列一次方程组解应用题的步骤；然后师生共同讲评训练题；最后小结。
教学目标
知识与技能
熟练地解二元一次方程组；
熟练地用二元一次方程组解决实际问题；
对本章的内容进行回顾和总结，进一步感受方程模型的重要性。
过程与方法
通过反思二元一次方程组应用于实际的过程（由实际问题中的数量关系，经“逐步抽象”到建立方程组（实现数学化），由方程组的解再到实际问题的答案），体会数学模型应用于实际的基本步骤。
情感态度价值观
通过反思消元法，进一步强化数学中的化归思想；
学会如何归纳知识，反思自己的学习过程。
教学方法：
复习法，练习法。
教学重、难点
重点：解二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题。
难点：如何找等量关系，并把它们转化成方程。
解决办法：反复读题、审题，用简洁的语言概括出相等关系。
课时安排
1课时。
教学过程设计
（一）明确目标
前面已学过二元一次方程组及一次方程组的应用题，这一节课主要把这一部分内容小结一下，并加以巩固练习。
（二）整体感知
本章含有两个主要思想：消元和方程思想。所谓方程思想是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系人手，找出相等关系，运用数学符号形成的语言将相等关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决，方程思想是中学数学中非常重要的数学思想方法之一，它的应用十分广泛。
（三）复习
通过提问学生一些相关问题，引导总结总结出本节的知识点，形成以下的知识网络结构图。

（四）典例精析，复习新知
例1若方程组的解是则方程组的解是（ ）


分析：与的未知数系数和常数项完全相同，所以如果将x+2，y-1当成一个整体，则这两个方程组的解完全相同，即
∴选A.
例2 解方程组.

解：（1）观察两个方程的系数，可用如下技巧解法：
①+②得44x+44y=484，x+y=11.
②-①得2x-2y=-2，x-y=-1.


②-③得y-z=-2，③-④得x-y=0.

将x=2，y=2代入②得t=8.

例3 已知4x-3y-6z=0，x+2y-7z=0，且x，y，z均不为零，求的值.
分析：这里有x、y、z三个未知数，而已知条件中只有两个方程，无法确定x，y，z的值.但我们可将其中一个当成已知数，将另两个当成未知数，解关于这两个未知数的二元一次方程组，再代入所求的式子中试试看.
解：由题设条件得
②×4-①得11y=22z，即y=2z.
将y=2z代入②得x=3z.
将x=3z，y=2z同时代入待求式中，得

例4 于有理数x，y定义一种新运算“*”，x*y=ax+by，其中a、b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.已知3*5=15，4*7=28，那么6*（-2）=_______
分析：3*5=15可化为3a+5b=15，4*7=4a+7b=28.

∴x*y=-35x+24y.
6*（-2）=-35×6+24×（-2）=-258.
例5 读下列材料：二元一次方程组一般情况下有一组解，但有时有无数组解，也有无解的情况，例如：方程组

解方程组（1）：得唯一解
解方程组（2）：①×3-②得：0·x+0·y=0，无论x，y取何值此式总成立，所以方程组（2）有无穷多个解.
解方程组（3）：③×3-④得：0·x+0·y=35，无论x，y取何值此等式总不成立，所以方程组（3）无解.
回答下列问题：
（1）二元一次方程组的一般形式是请将上述三个方程组的系数和它们的解的情况进行比较，猜想出方程组的系数与解的个数之间的关系（用一般形式表示，不证明）.
（2）利用你的猜想，解答问题：m，n为何值时，关于x，y的方程组有唯一解？②有无穷多解？③无解？
解：（1）观察方程组（1），各未知数系数的比为，方程组（2）各未知数系数及常数项的比为，方程组（3）各未知数系数及常数项的比为，所以可作如下猜想：当时，二元一次方程组有唯一解，当时，二元一次方程组有无穷多个解，当时，二元一次方程组无解；
（2）①由得，m≠2.即当m≠2，n为全体实数时，有唯一解；②由得m=2，n=6.即当m=2，n=6时，有无穷多解；③由得m=2，n≠6.即当m=2，n≠6时，无解.
例6 图，周长为68的长方形ABCD被分成7个完全相同的长方形，则长方形ABCD的面积为（ ）
A.98 B.196 C.280 D.284
分析：设每个小长方形的长为x，宽为y，则AB=CD=x+y，AD=2x，BC=5y.由AD=BC得2x=5y.由长方形ABCD周长是68得AB+AD=34.所以x+y+2x=34，联立得解这个方程组得
∴S长方形ABCD=7xy=7×10×4=280.选C.
例7 团体购买公园门票票价如下：

今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元.
（1）请你判断乙团的人数是否也少于50人.
（2）求甲、乙两旅行团各有多少人？
解：（1）∵100×13=1300<1392,
∴乙团的人数不少于50人，不超过100人.
（2）设甲、乙两旅行团分别有x人，y人，

所以甲、乙两旅行团分别有36人、84人.
例8 解方程组

解：设，则原方程组可化为：

所以，即m=5，n=10.
所以原方程组的解为
【教学说明】换元法是解方程（组）常用的一种方法，其实质就是等量代换，把方程中含有未知数的式子用另一未知数代换，从而得一新的方程组，进而解决问题.
例9 某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内进球数和人数情况（这张表缺损一块）：

已知进3个球或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进4个球或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？
分析：投进3个球和4个球的人数记录受到污损，可设分别为x人、y人，利用进球3个或3个以上的人的总进球数建立方程，再由进球4个或4个以下的人的总进球数建立方程.
解：设投进3个球的有x人，投进4个球的有y人.由题意，得


答：投进3个球的有9人，投进4个球的有3人。
例10 “利海”通信器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求.已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元。
（Ⅰ）若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下如何购买。
（Ⅱ）若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量。
解：（Ⅰ）（1）设甲种型号手机要购进x部，乙种要购进y部.根据题意，得

由①，得x=40-y.③
把③代入②，得y=10.把y=10代入③，得x=30.
所以是这个方程组的解。
（2）设甲种购进x部，丙种购进z部.根据题意，得

由①，得x=40-z.③
把③代入②，得z=20.把z=20代入③，得x=20.
所以这个方程组的解。
（3）设乙种购进y部，丙种购进z部.根据题意，得

由①，得y=40-z.③
把③代入②，得z=60.把z=60代入③，得y=-20.
所以是这个方程组的解，但不合题意，故舍去。
答：有两种购买方法：（1）购买甲种手机30部、乙种手机10部；（2）购买甲种手机20部、丙种手机20部.
（Ⅱ）根据题意，得


答：有三种购买方案：（1）购进甲种手机26部，乙种手机6部，丙种手机8部；（2）购进甲种手机27部，乙种手机7部，丙种手机6部；（3）购进甲种手机28部，乙种手机8部，丙种手机4部。
【教学说明】本题属分类讨论型试题，是当前热点题型.解实际问题时，应根据实际问题的意义，检查求得的解是否合理，不符合题意的解必须舍去。


（五）小结
引导学生总结本节的知识点。
（六）板书设计
小结与复习 知识结构图 练习