苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：28幂函数及图象变换(提高)

幂函数及图象变换

【学习目标】
1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.
2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题．
3．掌握初等函数图象变换的常用方法．
【典型例题】
类型一、求函数解析式
例1.已知是幂函数，求、的值．
【答案】
【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组．
由题意得解得
即为所求．
【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1．
举一反三：
【变式1】已知幂函数的图象过点，则= ．
【答案】
【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即．
类型二、幂函数的图象
例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内．
【答案】⑥④③②⑦①⑤
【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象．
由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③．
由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①．
最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤．
【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可．
举一反三：
【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为： ．
【答案】
【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（ ）
A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且
C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且
【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知．
类型三、幂函数的性质
例3．有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：
（1）是奇函数；（2）是内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？
【答案】21；3
【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题．
由幂函数的性质知，在内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合、、，而幂函数小于零的构成集合，依题意得=15，=12, =18.又，,,所以,则=15+18-12=21，即共有幂函数21个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）．
【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质．
例4.比较下列各组数的大小.
(1) 与； (2)与，（3）和.
【答案】(1)>；(2)<；(3)< <．
【解析】(1) 由于幂函数()单调递减且，∴.
(2)由于这个幂函数是奇函数. ∴f(-x)=-f(x)
因此，，，而(x>0)单调递减，且，
∴ .即.
（3），

【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.
(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.
(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论．
举一反三：
【变式1】比较，，的大小.
【答案】
【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.
在上单调递增，且，
.
作出函数与在第一象限内的图象，
易知.
故.
类型四、求参数的范围
例5. 讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况．
【解析】（1）当即或时，为常数函数；
（2）当，即或 时，此时函数为常数函数；
（3）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小；
（4）当即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（5）当即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；
（6）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小．
【总结升华】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论．
【变式1】若，求实数a的取值范围.
解法1：∵， 考察的图象，得以下四种可能情况:
(1) (2) (3) (4)
分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).
∴a的取值范围是.
解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，
∴　要使， 即， 解得:.
【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.
类型五、幂函数的应用

例6. 求出函数的单调区间，并比较与的大小．
【答案】在上是增函数，在上是减函数
【解析】==，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，由此可知，在上是增函数，在上是减函数．
在上找出点关于直线的对称点．
由，
．
【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型．解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题．当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内．
例7. 设m∈N*，已知函数在(0,+∞)上是增函数．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设，试讨论g(x)在(-∞,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-∞,0)上的最值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意，或
解得：或
再由m∈N* ，，即．
（2）任取且，则
= …（*）
当，即时，
由于，，得（*）<0，即
故在上单调递增．
当，即时，得（*）>0，即
故在上单调递增．
综上，在上，．
举一反三：
【变式1】已知幂函数
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围．
【答案】（1）定义域，单调递增；（2）．
【解析】解决此题的突破口就在于挖掘出隐含条件：为偶数．
（1），与中必定有一个为偶数，
为偶数，函数的定义域为，并且函数在其定义域上为增函数．
（2）函数经过点，，即，，即．
．
由，得解得．
故的值为1，满足条件的实数的取值范围为．
类型六：基本初等函数图象变换
例8．作出下列函数的图象：
(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).

【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可．
一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得．
含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函数的图象与的图象，在时相同，而在时，关于轴对称．
举一反三：

【变式1】作出的图象．
【解析】
先画出的图象，然后
如下图：
【变式2】作函数的图象．
【解析】作复合函数的图象时，可先作它的基本函数的图象，然后适当地变换，分步骤完成．
第一步：作的图象甲．
第二步：将的图象沿轴向左平移1个单位，得的图象乙．
第三步：将的图象在轴下方的部分作关于轴的对称变换，得的图象丙．
第四步：将的图象沿轴向上平移2个单位，便得到所求函数的图象丁．
巩固练习
一、选择题
1.函数的定义域是( )
A.[0，+∞） B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.R
2. 设，则使为奇函数且在上单调递减的的值的个数是（ ）．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3．当时，下列函数的图象全在直线下方的偶函数是（ ）．
A. B. C. D.
4．如果是幂函数，则在其定义域上是（ ）．
A.增函数
B.减函数
C.在上是增函数，在上是减函数
D.在上是减函数，在上也是减函数
5. 如图所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小( )
A．
B．
C．
D．
6. 三个数，，的大小顺序是( )
A.c7.已知，那么= ( )
A. B.8 C.18 D.
8.若幂函数存在反函数，且反函数的图象经过则的表达式为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.函数的定义域是 .
10.已知，且，则 .
11.方程的解的个数是 .
12.函数的对称中心是 ，在区间 是 函数.(填“增”或“减”)
三、解答题
13．已知二次函数满足，且的最大值为5，求的表达式.
14. 已知函数和的图象关于原点对称，且．
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式函数．
15.已知幂函数在上是增函数，且在其定义域内是偶函数.
（1）求的值，并写出相应的函数
（2）对于（1）中求得的函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间上是减函数，且在上是增函数，若存在，请求出来，若不存在，请说明理由。
答案与解析
一、选择题
1.C
2.A 当时，为奇函数，当时在上单调递减，同时满足两个条件的只有一个，即．故选A．
3.B 因为是偶函数，排除A、D；又要求当时，图象在直线下方，故适合．
4.D 要使为幂函数，则，即．当时，，．在上是减函数，在上也是减函数．
5.D 在上单调递减的幂函数，幂指数小于0，故，故选D．
6.B因为指数函数是减函数，所以，故．又幂函数在上是减函数，所以，故，所以．
7.D 令则，所以，所以．
8.B 因为反函数的图象经过，所以原函数图象经过，所以，解得，故选B．
二、填空题
9. 原函数，所以解得．
10.-26 令，则为奇函数，又=10，。。
11.2个 利用数形结合，分别作出函数和的图象，可以看出图象又两个交点，即方程的解．
12.(-2，1)；(-∞，-2)，(-2，+∞)；增 函数，将的图象向左平移2个单位，再向上平移一个单位，可以看出图象的对称中心是(-2，1)．增区间是(-∞，-2)，(-2，+∞)．

三、解答题
13．解析：由题意知，-2，3是二次函数的零点，
故设二次函数表达式为，而且对称轴为
即当时该函数的最大值为5.
5，解得
所求的函数表达式为.
14. 解析：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为，则，即，因为点在函数的图象上，所以，即．
（2）由，得
当时，，由函数的图象可知，此不等式无解．
当时，，由函数的图象，解得．
原不等式的解集为
15.解析：（1）在上是增函数，
，
，由，得。
当或时，不合题意。
由此可知当时，相应的函数式为
（2）函数，假设存在实数使得满足条件。设，则
=
=
=。
①若，易得，，要使在上是减函数，则应使恒成立，，
又，，从而欲使恒成立，则应有成立，即，
②同理，时，应有。由①②可得，综上所述，存在这样的实数，使得在上是减函数，且在上是增函数。
点评：在（2）问求的时候采用了恒成立的问题的解法，进而转化为求最值由两个区间上求得的值取交集即为所求。