苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：30函数与方程(提高)

函数与方程

【学习目标】
1.能利用二次函数的图象与判别式的符合，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系。
2.能够借助计算器用二分法求方程的近似解，理解这种方法的实质.
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法.
【经典例题】
类型一、求函数的零点
例1.求函数的零点.
【思路点拨】求函数的零点就是求方程的根
【解析】令 ，∴
∴，∴
即函数的零点为-1，1，2。
【总结升华】函数的零点不是点，而是函数函数的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
举一反三：
【变式】求函数：(1)；(2)的零点.
【答案】（1）；（2）-3，1，2．
【解析】(1) 令，即，得．
(2)方程可化为
由知
所以函数的零点为；函数的零点为-3，1，2.
【总结升华】三次因式分解的关键是，裂项后的两组分别要有公因式可提取，函数求零点的题目和解方程的题目可相互转化.
例2. 求下列函数的零点.
(1) ；
(2)；
（3）．
【答案】（1）-3，1；（2）-1，1；（3）-2，0，2．
【解析】根据函数零点与方程的根之间的关系，要求函数的零点，就是求相应方程的实数根.
(1) 由，令，得，故函数零点是-3，1；
(2)由，令得x=1，-1，故函数的零点是-1，1；
(3)令，即，
即，得，故函数的零点是-2，0，2．
【总结升华】求函数的零点就是求相应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，从而得到函数的零点.
举一反三：
【变式】已知函数，当时，函数的零点,则 ．
【答案】2 .
【解析】用数形结合法
作出 及的图象，
作出 及的图象
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
例3．已知函数．
（1）解方程(x+3)(x+1)(x―2)=0；
（2）画出函数的图象（简图），并求出函数的零点；
（3）讨论函数在零点两侧的函数值的正负．
【解析】（1）方程有三个根x1=―3，x2=―1，x3=2．
（2）函数的图象如右图，零点为―3，―1，2．
（3）由函数的图象可以直观地看出，在函数的零点―3左侧的函数值为负，在零点―3的右侧与零点―1的左侧的函数值为正，零点―1的右侧与零点2的左侧的函数值为负，零点2右侧的函数值为正．
【总结升华】（1）方程(x+3)(x+1)(x―2)=0左边是三个因式的积的形式，只要有一个因式为0，方程就成立，所以x+3=0或x+1=0或x―2=0，所以x=―3或x=―1或x=2；
（2）可以用描点的方法画出函数图象的简图；
（3）在x轴的上方，纵坐标为正，相应的函数值就为正；在x轴的下方，纵坐标为负，相应的函数值就为负．
举一反三：
【变式1】已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n
【答案】 B
【解析】由函数，我们可以看到a、b为的零点，且，如右图，则应有a＜m＜n＜b，故选B．
类型二、函数零点的存在性定理
例4.判断下列函数在给定区间是否存在零点．
【思路点拨】第（1）问利用零点的存在性定理或直接求出零点，第（2）问利用零点的存在性定理或利用数形结合求解。
【解析】（1）方法一：
∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,
f(8)=82-3×8-18=22>0,
∴f(1)·f(8)<0,
故f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点
方法二：
令f(x)=0得x2-3x-18=0，x∈[1,8]。
∴ (x-6)(x+3)=0,
∴x=6∈[1,8],x=-3[1,8],
∴f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点
（2）方法一：∵f(1)=log23-1>log22-1=0,f(3)=log25-3∴f(1)·f(3)<0,故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点。
方法二：设y=log2(x+2),y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当时，两图象有一个交点，因此f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点。
举一反三：

【变式1】若函数，则下列判断正确的是（ ）
A．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定有解
B．方程f（x）=0在区间[0，1]内一定无解
C．函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）是偶函数
【答案】A
【变式2】 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的最小区间为 ．
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
【答案】
【解析】令，由表格中数据知=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7,39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由于，所以根所在的最小区间为（1，2）．

【变式3】若方程在（0，1）恰好有一解，求a的取值范围．
【答案】
【解析】（1）当时，方程为，不满足题意舍去．
（2）当时，令，
分情况讨论：
①，
不满足题意舍去．
②，
若且即，满足题意．
若且即时，的另一解是．
综上所述，满足条件的的取值范围是．
类型三、利用函数图象求函数的零点个数
（2019成都模拟）例5．求函数的零点个数，并写出它的一个大致区间．
【答案】（2,3）
【解析】 设，，可将y1，y2的图象作出，如下图所示．

由图可知y1与y2只有一个交点，则有一个根，∴函数有一个零点．，，∴，∴零点的一个大致区间为（2，3）．
【总结升华】的零点个数求方程的根个数，可将方程化成函数，然后考虑函数图象的交点情况．
举一反三：
【变式1】关于x的方程(x2―1)2―|x2―1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不等的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不等的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不等的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不等的实根．
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】 据题意令|x2－1|=t（t＞0） ①，
则原方程化为 t2―t+k=0 ②，
作出函数y=|x2―1|的图象如图，结合函数的图象可知：
当t=0或t＞1时，方程①有2个不等的实根；
当0＜t＜1时，方程①有4个不等的实根；
当t=1时，方程①有3个不等的实根．
（1）当时，方程t2―t+k=0存在2个不等的小于1的正实根，原方程就存在8个不等的实根；
（2）当k=0时，t=0或t=1，原方程存在{0，1，―1，，}共5个不等的实根；
（3）当时，，原方程存在共4个不等的实根；
（4）当k＜0时，一元二次方程t2―t+k=0的根为一正一负，且两根之和为1，可知方程t2―t+k=0的正根t＞1，故原方程只有2个不等的实根；
（5）当时，方程②无实根，故原方程无实根．
故选A．
例6．求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数.
【思路点拨】求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数就是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数
【解析】方法一：易证f(x)= lnx＋2x －6在定义域上连续单调递增，
又有，所以函数f(x)= lnx＋2x －6只有一个零点。
方法二：求函数f(x)=lnx＋2x －6的零点个数即是求方程lnx＋2x －6=0的解的个数
即求的交点的个数。画图可知只有一个。
【总结升华】求函数的零点是高考的热点，有两种常用方法：
①（代数法）求方程的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点．
类型四、一元二次方程根的分布
（2019重庆模拟）例7．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0．
（1）若方程有两根，其中一根在区间（―1，0）内，另一根在区间（1,2）内，求的取值范围．
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）条件说明函数的零点在区间（-1,0）和（1,2）内，由图1可知，
，∴．

∴．
（2）∵函数的零点在区间（0，1）内，由图2知必有．
∴．
∴．
【总结升华】本例两个小题均可以用解方程的方法求解，但很繁琐，而利用函数的性质和图象求解就变得非常直观简捷．“方程与函数思想”“数形结合思想”是数学中的两个重要思想，解题中要注意应用．
举一反三：
【变式】本例中若方程的二次项系数含有参数，如何求解？
可以用分类讨论方法求解，即讨论m＞0和m＜0，结合图象求解；注意讨论过程中，函数端点值的符号与m的正负有关，因此也可用下面方法求解．即设，则在（1）中有，在（2）中有．
（2019上海模拟）例8．若二次函数y=―x2+mx―1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围．
【答案】
【解析】 先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式组求得m范围．
线段AB的方程为x+y=3（0≤x≤3），
由题意得方程组有两组实解．
①代入②得x2－(m+1)x+4=0（0≤x≤3）有两个实根，
令．因此问题转化为二次函数在x∈[0，3]上有两个不同的实根，故有
，解得．
故m的取值范围是．
【总结升华】本题解法体现了函数与方程的思想：从列方程（组）开始，通过消元得到一元二次方程，对这个方程实根的研究转化为二次函数f(x)在[0，3]的实根，又转化为二次函数f(x)在[0，3]上与x轴有两个交点的问题，最后建立m的不等式组求出m的取值范围，整个解题过程充满了对函数、方程和不等式的研究和转化，充分体现了函数方程思想的应用．
举一反三：
【变式1】 关于x的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0，求a为何值时：
（1）方程有一根；
（2）方程有一正一负根；
（3）方程两根都大于1；
（4）方程有一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）或（2）（3）不存在实数（4）
【解析】（1）当a=0时，方程变为―2x―1=0，即，符合题意；
当时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以，解得．综上可知，当或时，关于的方程ax2―2(a+1)x+a―1=0有一根．
（2）因为方程有一正一负根，所以由根与系数的关系得．又解得．
（3）方程两根都大于1，图象大致如图
所以必须满足
或两不等式组均无解．
所以不存在实数，使方程两根都大于1．
（4）因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如图
所以必须满足或解得．
（2019青海期末）例9．（1）m为何值时，①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；
（2）若函数有4个零点，求a 取值范围。
【思路点拨】（1）二次函数结合图象求解，也可用方程思想求解；（2）利用函数图象求解。
【解析】（1）①若函数有且仅有一个零点，则等价于Δ=,即解得m=4或m=-1
②方法一：方程思想
若f(x)有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+ x2=-2m, x1·x2=3m+4,
故只需，
故m的取值范围是
方法二：函数思想
若f(x)有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足，故
∴m的取值范围是。
（2）若有4个零点，即有四个根，即有四个根，令g(x)=,h(x)=-a.则作出g(x)的图象,
由图象可知要使有四个根，则g(x)与h(x)的图象应有4个交点。
故需满足0<-a<4,即-4【总结升华】图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间，数形结合，要在结合方面下功夫。
类型五、用二分法求函数的零点的近似值
（2019杭州期末）例10．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, ),又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
例11.求函数的一个正数零点(精确到0.1).
【答案】1.7
【解析】由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，2]
1.5
-2.625
[1.5，2]
1.75
0.2344
[1.5，1.75]
1.625
-1.3027
[1.625，1.75]
1.6875
-0.5618
[1.6875，1.75]
1.71875
-0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
【点评】应首先判断x的取正整数时，函数值的正负，使正整数所对应的区间尽量小，便于利用二分法求其近似值.
举一反三：
【变式】用二分法求函数的一个正零点（精确到）
【答案】2.24
【解析】⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；
⑵取的区间中点；
⑶计算；
⑷由于，则有零点的新区间为
⑸取的区间中点；
⑹计算；
⑺由于，则有零点的新区间为；
⑻取的区间中点；
⑼计算；
⑽由于，则有零点的新区间为；
⑾取的区间中点；
⑿计算；
⒀由于，则有零点的新区间为；
⒁取的区间中点
⒂计算；
⒃由于，则有零点的新区间为；
⒄取的区间中点；
⒅计算；
⒆由于，
⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24，所以函数的一个正零点为：2.24.
类型六、用二分法解决实际问题
例12． 学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问30名工人如何分组（一组制作课桌，一组制作椅子）能使任务完成最快？
【答案】 13人 、17人
【解析】 设x（1≤x≤29，x∈N）名工人制作课桌，（30－x）名工人制作椅子．一名工人在一个单位时间里可制作7张桌子或10把椅子，所以制作100张课桌所需的时间，制作200把椅子所需要的时间．要想任务完成最快，则应求y=max{P(x)，Q(x)}的最小值，该函数图象如图3-1-2-5中实线部分所示，则x0即为y取最小值时的x的值．此时P(x)=Q(x)，下面用二分法的知识求x0的整数值．
令，则，，所以x0∈（1，29）；取中点，f(15)≈－0.38＜0，所以x0∈（1，15）；同理可得x0∈（8，15），x0∈（11.5，15），x0∈（11.5，13.25），x0∈（12.375，13.25），x0∈（12.375，12.8125），又因为x0∈N，所以x0=12或x0=13．当x0=12时，y=max{P(x)，Q(x)}≈1.19；当x0=13时，y=max{P(x)，Q(x)}≈1.18＜1.19，所以取x0=13，即用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子，可使任务完成最快．
【总结升华】首先将问题转化为求函数的最值问题，然后用二分法求方程的解．本题也可以直接求方程的解．
举一反三：
【变式1】 某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2007年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2010年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2006年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．
（1）求2010年每台电脑的生产成本；
（2）以2006年的生产成本为基数，用二分法求2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率（精确到0.01）
【答案】 （1）3200；（2）11%
【解析】 （1）设2010年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1+50%)=5000×(1+20%)×80%，解得P=3200（元）．
故2010年每台电脑的生产成本为3200元．
（2）设2006～2010年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5000(1－x)4=3200（0＜x＜1），令f(x)=5000(1―x)4―3200，作出x，f (x)的对应值表：
x
0
0.1
0.15
0.2
0.3
0.45
f (x)
1800
80.5
－590
－1153
－2000
－2742
观察上表，可知f (0.1)·f (0.15)＜0，说明此函数在区间（0.1，0.5）内有零点x0．取区间（0.1，0.15）的中点x1=0.125，可得f (0.125)≈－269．因为f (0.125)·f (0.1)＜0，所以x0∈(0.1，0.125)．再取（0.1，0.125）的中点x2=0.1125，可得f (0.1125)≈－98．因为f (0.1)·f (0.1125)＜0，所以x0∈(0.1，0.1125)．
同理可得，x0∈(0.1，0.10625)，x0∈(0.103125，0.10625)，x0∈(0.104687，0.10625)，x0∈(0.10546875，0.10625)，由于|0.10546875－0.10625|＜0.01，所以原方程的近似解为0.11．故2006～2010生产成本平均每年降低的百分率为11%．
【变式2】 如右图所示，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
（1）求出盒子的体积y（cm3）以x（cm）为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？（精确到0.1 cm）
【答案】（1）y=x(15－2x)2 0＜x＜7.5 （2）0.8 cm或4.7 cm
【解析】（1）由题意，盒子的体积y以x为自变量的函数解析式y=x(15－2x)2，其定义域为，即0＜x＜7.5．
（2）原问题可转化为当y=150时，求方程x(15―2x)2=150的近似解．
设g(x)=x(15―2x)2―150，由于g(0)·g(1)＜0且g(4)·g(5)＜0．所以方程在（0，1），（4，5）内各有一根，在区间（0，1）内的近似解为0.8，其逼近区间为（0.8125，0.875），且|0.8125－0.875|=0.0625＜0.1；在区间（4，5）内的近似解为4.7，其逼近区间为（4.625，4.6875），且|4.626－4.6875|=0.0625＜0.1．所以截去的小正方形的边长是0.8 cm或4.7 cm．
【巩固练习】
1.已知函数仅有唯一个正零点，则此零点所在的区间是（ ）
A.（3，4）　　 B.　（2，3）　 C.（1，2）　 D. （0，1）
2.有两个互为相反数的零点的函数(　　)
A.只能是偶函数　　B.可以是奇函数　　C.可以是增函数　　D.可以是减函数
3.若函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A.　　B.　　C.　　D.
4.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内(　　)
A.可能有3个实数根　　B.可能有2个实数根　　C.有唯一的实数根　　D.没有实数根
5. 关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y=f（x）在[a，b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y=f（x）在[a，b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，y=f（x）在[a，b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到f（x）=0在[a，b]内的精确解．
6. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=－2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=－0.984
f（1.375）=－0.260
f（1.4375）=0. 162
f（1.40625）=－0. 054
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
7.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)
8.设是方程的两个根，则的最大值等于（ ）
A.19　　B.18　　C.17　　D.16
9.已知函数的图象是连续不断的，有如下的、的对应值表：
1
2
3
4
5
6
123.56
21.45
-7.82
11.57
-53.76
-126.49
函数在区间上的零点至少有 个．
10.方程的两根都大于2，则的取值范围是 ．
11.若方程在（1,2）内有实数解，则实数的取值范围是 ．
12.关于的方程的根分别为，则的值为 ．
13. 已知函数
若函数有3个零点，则实数m的取值范围是________．
14.设函数．
（1）证明：在区间（-1,0）内有一个零点；
（2）借助计算器，求出在区间（-1,0）内零点的近似解．（精确到0.1）
15．函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的左侧，求实数的取值范围．
【答案与解析】
1. 【答案】C　
【解析】由题意，可知f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=5>0,f(3)=23>0,f(4)=59>0,故选C．
2. 【答案】B　
【解析】增函数与减函数不可能有两个零点，而奇函数和偶函数都可能有两个互为相反数的零点，故选B.
3. 【答案】B　
【解析】由方程的判别式小于0，可得，故选B.
4. 【答案】C　
【解析】在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.
5. 【答案】D．
【解析】由二分法的概念知D正确．　
6. 【答案】C
【解析】由，则，又，则，又，则，又，又，则，故选C.
7. 【答案】B　
【解析】用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.故选B.
8. 【答案】B
【解析】由是方程的两个根，
，解得
，
当时，取得最大值18．
9. 【答案】3．
【解析】，在区间（2，3）、（3，4）、（4，5）内各至少有一个零点．
10. 【答案】.
【解析】 令，要使的两根都大于2，则解得．
11．【答案】（2,10）
【解析】设函数．易证明是上的增函数，依题意，得所以．
12．【答案】3
【解析】在同一直角坐标系中画出的图象，观察可得．
13. 【答案】(0,1)
【解析】画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴014．【答案】-0.4
【解析】解：（1）设，由，推出，
所以在区间（-1,0）内有一个零点．
（2）由；由；
由；
由，所以．
15．【答案】
【解析】分两种情况讨论：
（1）当时，，令，解得所以时符合题目要求．
（2）当时，原问题等价于关于的方程至少有一个负根．
①有一个正根，一负根，则．
②有两个负根，故解得．
综合（1）（2）得的取值范围是