苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：32函数模型及其应用(提高)

函数模型及其应用

【学习目标】
1.能根据实际问题的情景建立函数模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的答案.
2.理解数据拟合是对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题.
3.能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发、引导学生数学地观察世界、感受世界，引导学生合作交流.
4.培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.
【经典例题】
类型一、一次函数与分段函数模型
例1．已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明 其中和均为常数；
【证明】（Ⅰ）令，则，∵，∴。
（Ⅱ）①令，∵，∴，则。
假设时，，则，而，∴，即成立。
②令，∵，∴，
假设时，，则，而，∴，即成立。∴成立。
【总结升华】该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化，而不是一味的向函数求值方面靠拢。
（2019绵阳期末）例2．电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示，其中MN∥CD.
(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？
【思路点拨】本题是求在不同的条件下，两种方案所付话费以及话费的比较，但由于题设中以图象的形式给出两方案的付费函数，所以在解题方法上，可先求出函数的解析式，然后再求其他解．
【解析】设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为和，由图知M（60，98），N（500，230），C（500，168），MN∥CD；则
；
（1）通话2小时的费用分别是116元、168元。
（2）
∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元。
（3）由图知，当0≤x≤60时，＜；
当60解得
当x＞500时，＞。
综上，通话时间在内，方案B比方案A优惠。
【总结升华】分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者，分段函数应用题是高考命题的热点。
举一反三：
【变式】我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40).试求f(x)和g(x);
(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？
【解析】(1)f(x)=5x(15≤x≤40),
(2)由f(x)=g(x)得，或
即x=18或x=10(舍).
当15≤x<18时，f(x)-g(x)=5x-90<0,
∴f(x)当x=18时，f(x)=g(x),即可以选甲家，也可以选乙家；
当180,
∴f(x)>g(x),即选乙家;
当300,∴f(x)>g(x),即选乙家.
综上所述，当15≤x<18时，选甲家，当x=18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18
例3．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）
【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度与车流速度之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是求二次函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）100 3333
【解析】
（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当，
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值．
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

（2019成都期末）例4．如图，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为c（c∈R）．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时．
（Ⅰ）写出y的表达式；
（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）当时，；当时，．
【解析】（Ⅰ）单位时间的淋雨量为：
总的淋雨量为：，
即
（Ⅱ）①当即时
在上单调递减
时，最小，．
②当即时
在上单调递减，在上单调递增．
当时，最小，．
答：当雨速的分速度，时，；当雨速的分速度，时，．
类型二、二次函数模型
（2019重庆期末）例5．一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（x∈N）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（ ）时该客车的年平均利润最大。
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
x年
4
6
8
…
（万元）
7
11
7
…
【解析】表中已给出了二次函数模型
，
由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则
。
解得a=－1，b=12，c=-25，
即。
而取“=”的条件为，
即x=5，故选（B）。
【总结升华】一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。
举一反三：
【变式1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发生的交通事故中，测得刹车距离为15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？
?
刹车时车速v/km/h
15
30
40
50
60
80
刹车距离s/m
1.23
7.30
12.2
18.40
25.80
44.40
?
【思路点拨】所求问题就变为根据上表数据，建立描述v与s之间关系的数学模型的问题。此模型不能由表格中的数据直接看出，因此，以刹车时车速v为横轴，以刹车距离s为纵轴建立直角坐标系，根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次函数作拟合函数。
【解析】假设变量v与s之间有如下关系式：，因为车速为0时，刹车距离也为0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0）。再在散点图中任意选取两点A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是
。（代入其他数据有偏差是许可的）
将s=15.13代入得
，
解得v≈45.07。
所以，汽车在刹车时的速度是45.07km/h。
【变式2】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【解析】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
类型三、指数函数模型
（2019上海期末）例6．急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负．控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前．
(1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？
(2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2019年底至多有多少亿？
以下对数值可供计算时使用:
N
1.010
1.015
1.017
1.310
2.000
lgN
0.0043
0.0065
0.0073
0.1173
0.3010
N
12.48
13.11
13.14
14.51
lgN
1.0962
1.1176
1.1186
1.1616
【思路解析】(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解；
(2)本题是计算10年后我国人口的数量，由于题设中已知10年前以及每年的增长率，所以在解题方法上，可先找到函数关系，直接计算求解．
【解析】(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为a,n年后的人口数为y，则y=a(1+x)n,
依题意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40,
两边取对数得，lg2=40lg(1+x),
则lg(1+x)==0.007 525,
所以1+x≈1.017,得x≈0.017,
故每年的人口平均增长率约是1.7%.
(2)依题意得y≤13.14(1+1%)10,
两边取对数得，lgy≤lg13.14+10lg(1+1%)≈1.161 6,y≤14.51,故2 016年至多有人口14.51亿.
【总结升华】这是一类增长率问题，在实际问题中，有关人口增长、银行利息、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N(1+p)x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．
举一反三：
【变式1】 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下的问题：
（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）；
（4）如果20年后该城市的人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？
【答案】（1）y=100×（1+1.2)x；（2）15年；（3）0.9%．
【解析】本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律．
（1）1年后该城市人口总数为：
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y=100×(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y=100×(1+1.2%)3；
……
x年后该城市人口总数为：y=100×（1+1.2)x．
（2）10年后，人口总数为：100×(1+1.2%)10≈112.7（万人）．
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1+1.2%)x=120，
．
（4）设年增长率为x，依题意，得100×(1+x)20≤120，
由此有(1+x)20≤1.2，
由计算器计算得1+x≤1.009，∴x≤0.009=0.9%，
即年自然增长率应控制在0.9%以内．
类型四、对数函数模型
例7．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
解析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为；
2小时后，细胞总数为；
3小时后，细胞总数为；
4小时后，细胞总数为；
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴，
∵，
∴.
答：经过46小时，细胞总数超过个。
【总结升华】对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。
类型五、自建函数模型

（2019青岛期末）例8．某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为30千米(忽略内、外环线长度差异).
(1)当9列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,求内环线列车的最小平均速度;
(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时.现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,问:内、外环线应各投入几列列车运行?
【思路点拨】（1）根据题意列出不等式求解（2）列出不等式求解，因为计算过程中，数字比较大，可以使用计算器。
【答案】（1）20（2）10 8
【解析】
（1）设内环线列车平均速度最小为
由题得：
解得。
答：内环线列车的最小平均速度为每小时20千米。
（2）设内、外环线分别投入列车数量为、列
由题得：
即
得，
解得：，由计算器得：。
答：内、外环线应各投入10列、8列列车运行，才能使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过分钟。
例9．某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值。
【答案】4
【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y元，其中购买成本费为固定投入，设为c元，
则

，
当且仅当，即n=4时，y取得最小值且ymin=4000+c．
所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．
【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数在（0，+∞）上的单调性求最值，请同学们自己试解．
举一反三：
（2019大连期末）【变式1】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f (x)的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个时，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）
【答案】（1）550
（2）
（3）6000 11000
【解析】（1）设零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则
．
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰好降为51元．
（2）当0＜x≤100时，P=60．
当100＜x＜550时，．
当x≥550时，P=51．
∴
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000．
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个时，利润是11000元．
【巩固练习】
1．汽车油箱为长方体形状容器，它的长是a cm，宽是b cm，高是c cm，汽车开始行驶时油箱内装满汽油，已知汽车耗油量是n cm3 / km，汽车行驶路程y（km）与油箱内剩余油量的液面高度x（cm）的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ）
A．200副 B．400副 C．600副 D．800副
3．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．某种产品市场销量情况如右图所示，其中：表示产品各年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况，下列叙述：
①产品产量、销量均以直线上升，仍可按原计划进行；②产品已经出现了供大于求的情况，价格将下跌；③产品的库存积压将越来越严重，应减少产量或扩大销量；④产品的产量、销量均以一定的年增长率增加．你认为较合理的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③
5．甲、乙二人沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2），甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2．关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的图象及关系，有下图中四个不同的图示分析（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程），则其中可能正确的图示分析为（ ）

6．如右图所示，开始时桶1中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae―nt，那么桶2中水就是y2=a―ae―nt．假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过多少分钟桶1中的水只有？（ ）
A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟
7．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电网销售
电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 ________元（用数字作答）.?
8.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为__________．
9．现测得（x，y）的两组值为（1，2），（2，5），现有两个拟合模型，甲：y=x2+1，乙：y=3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用________作为拟合模型较好．
10．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来一半所经历的时间称为它的半衰期，记为．现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下：
t（单位时间）
0
2
4
6
8
10
A（t）
320
226
160
115
80
57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为________个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A (t)=________．
11．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一个新价，以使按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________。
12．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机，9年后的价格是________。
13．某工厂10年来生产某种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系如右图所示，下列四种说法：①前五年中产量增长的速度越来越快；②前五年中产量增长的速度为定值；③第五年后，这种产品停止生产；④第五年后这种产品的产量保持不变，其中说法正确的是________。
14．有一批影碟机，原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价为760元，以此类推，每多买一台，单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？
15．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.
【答案与解析】
1．【答案】B
【解析】 行驶路程y km所用油量为ny cm3，又ny=ab(c－x)，所以，且0≤x≤c．
2．【答案】D
【解析】 由5x+4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
3．【答案】B
【解析】 设至少要洗x次，则，所以，因此至少要洗4次．
4．【答案】D
【解析】 由图可知，②③较为合理．
5．【答案】D
【解析】 在开始一段时间内，两者的速度都为v1，故开始应出现一段两图象重合的部分，故①②可能．
6．【答案】D
【解析】 由题意得．设再经过t分钟，桶1中的水只有，得 ，解得t=10．
7. 【答案】148.4
【解析】高峰时段电费，低谷时段电费.
8. 【答案】1.75万件
【解析】将代入，得，解得
函数解析式为，当x=3时，y=1.75.
9．【答案】甲
【解析】描出已知三个点的坐标并画出两个函数的图象，比较可知甲函数拟合效果较好．
10．【答案】4
【解析】（t≥0） 从测试记录易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A0=320，则经过时间t的剩余质量为（t≥0）．
11．【答案】
【解析】设新价为b，依题意，有b(1―20%)―a(1―25%)=b(1―20%)·25%，化简得。∴，即。
12．【答案】2400
【解析】根据题意，经过9年价格降3次，所以9年后的价格为。故填2400。
13．【答案】②③
【解析】因为总产量C关于时间t的函数图象是先直线上升而后平行于x轴，即前5年当t增加一个单位增量Δt，则C相应的增加一个单位增量ΔC，而5年后C关于t的增量为0，故填②③。
14．【答案】甲
【解析】设某单位购买x台影碟机，甲、乙两商场的差价为y元，则去甲商场购买共花费(800－20x)x，去乙商场花费600x（x∈N*），
由题意得800－20x≥440，∴1≤x≤18（x∈N*）．
∴当1≤x≤18（x∈N*）时，y=(800―20x)x―600x=200x―20x2；
当x＞18（x∈N*）时，y=440x―600x=―160x．
则y＞0时，1≤x＜10（x∈N*）；y=0时，x=10；y＜10时，x＞10（x∈N*）．
综上可知，若买少于10台，去乙商场购买花费较少；若买10台，去甲、乙商场购买花费一样；若买超过10台，则去甲商场购买花费较少．
15．【解析】现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为；
2小时后，细胞总数为；
3小时后，细胞总数为；
4小时后，细胞总数为；
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为： ，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴，
∵，
∴.
答：经过46小时，细胞总数超过个。