苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：34《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固(提高)

《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固

【学习目标】
1．理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质。知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。
2．了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数的知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具。
3．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探索能力、数学建模能力以及数学交流的能力。
4．知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1)。
【知识网络】
【典型例题】
类型一：指数、对数运算
例1.计算
(1) ； (2)；
(3)；(4)
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.
【答案】(1)；(2)1；(3)3；(4)14。
【解析】(1)原式=；
(2)原式=
=
=1-+=1
(3)原式=
=
=2+=3；
(4)令，两边取常用对数得
=
=
=
即=14。
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
举一反三：
【变式1】=（ ）
A.0 　B.1 C.2 D.4
【答案】C
【解析】=。
【变式2】(1)；(2)。
【答案】(1)2；(2)。
【解析】(1) 原式
；
(2) 原式
。
例2.（1）化简：；
（2）计算：
（3）已知：，求：的值.
【思路点拨】题目中的式子有根式、分数指数幂，要先化为分数指数幂以便用法则运算。
【解析】（1）原式=
；
（2）原式=
（3）

∴ 当时，.
【总结升华】如果题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再创设条件去求；解题时观察已知与所求之间的关系，同时乘法公式要熟练，直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算. 解题时，要注意运用下列各式．，;
举一反三：
【变式】已知，求的值。
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴
类型二：指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质
例3.设偶函数满足，则= ( )
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】且是偶函数.
或
或
解得或，故选B。
【总结升华】考查解不等式组及函数解析式，考查函数性质的综合运用.
举一反三：
【变式1】已知函数若，则的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】依题意或即或，所以，故选A。
例4.设函数 若，则实数的取值范围是( ) ．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解法一：①若，则，
，得，得，解得。
②若则，
，
解得
由①②可知
解法二：特殊值验证
令
，满足，故排除A、D。
令，，
不满足，故排除B。
【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.

例5．函数的单调递增区间是（　）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
【解析】函数是由复合而成的，是减函数，在上单调递增，在上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即，解得或，所以原函数的单调递增区间是，故选D。
例6．已知函数y=()|x+1|。
作出图象；
由图象指出其单调区间；
由图象指出当x取什么值时函数有最值。
【思路点拨】思路一：化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值；思路二：利用函数图象的变换作函数图象写出单调区间写出x的取值。
【解析】（1）图象作法一：由已知可得
其图象由两部分组成：
一部分是：
另一部分是：
图象如图：
图象作法二：先作函数的图象，再作函数图象。
作法：将函数图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数图象（上图中虚线），再将函数图象向左平移1个单位得到函数图象。
（2）由图象知函数在上是增函数，在上是减函数。
（3）由图象知当时，函数有最大值1，无最小值。
举一反三：
【变式1】 函数的图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先作出的图象，然后作出这个图象关于轴对称的图象，得到的图象，再把的图象右移一个单位，得到的图象，故选B
【变式2】已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）。
A.（1，10） B.（5，6） C.（10，12） D.（20，24）
【答案】C
【解析】由互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间（0,1），（1,10），（10,12）上，不妨设，由得即，所以，所以，故选C.
【总结升华】考查利用图象求解的能力和对数的运算，考查数形结合的思想方法。
例7.已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【思路点拨】(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.
【解析】(1)使f(x)=loga(ax-1)有意义，则ax-1>0，即ax>1，
当a>1时，x>0；当0∴当a>1时，函数的定义域为 {x|x>0}；
当0(2)当a>1时，设0∴，
∴，
∴f(x1)∴当a>1时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；
当0∴，
∴
∴f(x1)∴当0＜a＜1时，函数f(x)在(-∞,0)上为增函数；
综上可知：函数f(x)=loga(ax-1)在其定义域上为增函数.
方法提示：利用复合函数（只限由两个函数复合而成的）判断函数单调性的方法
找出已知函数是由哪两个函数复合而成的；
当外函数为对数函数时，找出内函数的定义域；
分别求出两函数的单调区间；
按照“同增异减”确定函数的单调区间；
研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行。
类型三：综合问题
例8.已知函数为常数)
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性.
(3)若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围.
【思路点拨】（1）利用真数大于零求解（2）利用定义去证明函数的单调性
【答案】（1）；（2）f(x)为增函数；（3）a＞1．
【解析】(1)由
∵a＞0，x≥0

∴f(x)的定义域是.
(2)若a=2，则
设 ， 则
故f(x)为增函数.
(3)设
①
∵f(x)是增函数，
∴f(x1)＞f(x2)
即 ②
联立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞).
【总结升华】该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可.
举一反三：
【变式1】已知．
（1）求定义域；
（2）讨论函数的单调区间；
（3）解方程．
【答案】（1）当时，定义域为；当时，定义域为．
（2）当时，函数在上单增；当时，函数在上单增．
（3）．
【解析】（1）由，得，
当时，定义域为；当时，定义域为．
（2）当时，设，则
，
当时，函数在上增函数；同理可证，当时，函数在上也是增函数．
（3）由，得，推出，所以，
，，，
，（舍），．
例9.已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.
【思路点拨】（1）利用奇函数的定义去解。（2）先判断函数的单调性，由单调性脱掉函数符号，转化成二次函数问题去解决。
【答案】（1）；（2）。
【解析】(1) 因为是R上的奇函数，所以
从而有 又由，解得
(2)解法一：由(1)知
由上式易知在R上为减函数，又因是奇函数，从而不等式
等价于
因是R上的减函数，由上式推得
即对一切从而
解法二：由(1)知
又由题设条件得
即
整理得，因底数2>1，故
上式对一切均成立，从而判别式
【总结升华】对于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解.
举一反三：
【变式1】已知函数，（a＞0，且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设，解不等式f（x）＞0．
【解析】（1）依题意知，解得
函数f（x）的定义域为。
（2）函数是奇函数
任取，，所以
=0
所以函数是奇函数。
（3）因为，所以
由，得
解得
。

例10．设（其中a为实数），如果当时恒有成立，求实数a的取值范围．
【思路点拨】由题意知，原不等式转化成在上恒成立，只要求出不等式右边部分的最大值就可以了。
【答案】
【解析】依题意，在上恒成立。
则设
只需求的最大值
任取且
=
由于是单调递减函数
，即在上是单调递增的，
【总结升华】解决本题的关键是把转化成，转化成，这种问题以后还会碰到，希望同学们多注意。
举一反三：
【变式1】设函数。
（1）求的定义域；
（2）求使在上恒成立的实数的取值范围。
【解析】（1），即
若，则的定义域为；
若，则的定义域为；
若，则的定义域为。
（2）①当时，在的定义域内，等价于，即，于是问题等价于在上恒成立。
令，则在上递减，在上递增，，即。
另一方面要使在上恒成立，则必是定义域的子集，由（1）可知
由且可知。
②当时，在的定义域内，等价于，于是问题等价于在上恒成立。
显然这样的实数不存在。
综上所求的的取值范围为。
【巩固练习】
1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．|f(x)|＋g(x)是偶函数
C．f(x)－|g(x)|是奇函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝(　　)
A．4 B．2
C．0 D．不确定
3．若函数为奇函数，则a＝(　　)
A. B. C. D．1
4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，
f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
5．设f(x)＝g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是(　　)
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
6．已知f(x)＝，则如图中函数的图象错误的是(　　)
7．已知f(x－)＝x2＋，则函数f(3)＝________.
8．设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝，则a的取值范围是________．
9．设函数f(x)＝(x＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________．
10．已知函数f(x)＝ (a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
11．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)>2x＋5.
12．函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且f(1)＝0，
(1)求f(0)的值；
(2)试确定函数f(x)的解析式．
13．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．
15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；
(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．
16．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．
2．【答案】C
【解析】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.
3．【答案】A
【解析】法一：由已知得定义域关于原点对称，由于该函数定义域为
，知a＝
法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)＝则＝在函数的定义域内恒成立，∴1－2a＝0，可得a＝
4．【答案】B
【解析】由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图象与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．
5．【答案】C
【解析】由f(x)≥0，可得x≥0或x≤－1，且x≤－1时，f(x)≥1；x≥0时，f(x)≥0.
又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.
6．【答案】D
【解析】因f(x)＝
其图象如图，验证知f(x－1)，f(－x)，
f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．
7．【答案】11
【解析】∵f(x－)＝x2＋＝(x－)2＋2，
∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.
8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.
∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝>－1.
即>0，解得a>0或a<－1.
9．【答案】[0，＋∞)
【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，
即f[f(x)]＝，易知其值域为[0，＋∞)．
10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]
【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需3－a×1≥0，此时1当a－1<0，即a<1时， 要使f(x)在(0,1]上是减函数，
则需－a>0，此时a<0
所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]
11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝1，∴c＝1.
把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
∴2ax＋a＋b＝2x.
∴a＝1，b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，
解得x>4或x<－1.
故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．
12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得
f(1)－f(0)＝2.
又∵f(1)＝0，
∴f(0)＝－2.
(2)令y＝0，则
f(x)－f(0)＝x(x＋1)，
由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)
＝x(x＋1)－2
＝x2＋x－2.
13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．
14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)
＝(x－4)2＋2(x－4)
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)f(0)＝0，f(2)＝0，
f(1)＝1，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋
f(2 011)＋f(2 012)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.
15．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0
?2a2－a－3＝0?a＝－1或a＝
(2)∵对一切x∈R函数值均为非负，
∴Δ＝8(2a2－a－3)≤0?－1≤a≤，
∴a＋3>0.
∴g(a)＝2－a|a＋3|＝－a2－3a＋2
＝－（a+)2＋,
∵二次函数g(a)在上单调递减，
∴g≤g(a)≤g(－1)，即－≤g(a)≤4.
∴g(a)的值域为
16．【解析】(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1令g(x)＝－x2＋2x＋3.
则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有
解得a＝
故存在实数a＝使f(x)的最小值等于0.