2020年江苏数学高考模考试题中精彩解几题赏析课件(共44张PPT)

(共44张PPT)






2020数学高考模考试题中精彩解几题赏析










图形特点
图形静止
图形特点

基本量计算——静中求值
最值与范围——动中求最
图形运动
确定性问题——动中求定






















01


初读试题
【题目 1】如皋 1.5 模第 18 题


【试题呈现】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 x2
a2 b2
2
? y ? 1(a ? b ? 0)
过点 P(2，0)，且两准线间的距离

为 8
3
3 ．
（1）求椭圆的方程；
1
（2）已知 B2，B1 分别是椭圆的上、下顶点，过点 E(0， 2 )的直线 l 与
椭圆交于 M，N 两点，直线 MB2 与直线 NB1 交于点 T．
2
① 若直线 l 的斜率为 1 ，求点 T 的坐标；
②
试问点 T 是否在某定直线上？若在定直线上，
求出定直线方程；若不在定直线上，请说明理由．



B1
M
O
x
y

T
E


N
B
2









B1
M
O
x
y

T
E


N
B2
【构图方式 3】直线 B2M 与椭圆交于 M，直线 B1N 与椭圆
交于 N，且 M，E，N 三点共线，直线 B2M 与直线 B1N 交于点 T．





解法赏析







02
【构图方式 2】过点 E 的直线 MN 与椭圆交于 M，N，
连结 B2M 与 B1N 并延长交于点 T．
【构图方式 1】 M 为椭圆上一动点，连结 ME 与椭圆交于另一点 N，直线 B2M 与直线 B1N
交于点 T．
【构图方式 4】由点 B2 作两条动直线 B2M 和 B2N，分别交椭圆于 M 和 N，直线 MN 经过
定点 E，连结 B1N 交直线 B2M 于点 T．






B1
M
O
x

T
E


N
B2
【运算路径 1】两点均未知——“设一求一”


求点 N
设点 M (x0，y0 )
写直线 ME
求点 T



写直线 B2M

写直线 B1N







解法赏析







02
【构图方式 1】 M 为椭圆上一动点，连结 ME 与椭圆交于另一点 N，直线 B2M 与直线 B1N
y
交于点 T．






B1
O
x
y

T
E


N
B2





解法赏析







02
0 0
2

0
0
y
x
【运算过程 1】设点 M (x ，y ) ，则直线 B M 的方程为 y ?
?1 x ? 1 ①，

直线 ME 的方程为 y ? 2 y0 ?1 x ? 1 ，
2x0 2
0
x2
代入椭圆的方程，得 0 0 x2
x0
x2
? (2 y ?1)2
4 y ? 2
???0 x ? 3 ? 0 ，

0
2
2
0 N
3x2
所以 x x ??
x0 ? (2 y0 ?1)
，所以点 N 的坐标为


?
?
0
0
0 0
4 y ? 5 4 y
3x 5x ? 4
? 5
，
，M
1

0
0
3( y
x
故直线 B N 的方程为 y ?
?1) x ?1 ②，
由①②联立，求得 y ? 2 ，所以点T 在直线 y ? 2 上．






B1
M
O
x

E


N
【构图方式 2】过点 E 的直线 MN 与椭圆交于 M，N，连结 B2M 与 B1N 并延长交于点 T．
y
T

B2
【运算路径 2】两点均未知——“设而不求”


设 M(x1，y1)，N(x2，y2)




2
设直线 M N：y ? kx ? 1


1 2
3
4k
1 ? 4k 2
1 ? 4k 2
得x1 ? x2 ? ?
，x x ? ?
求点 T
(用 x1，y1，x2，y2 表示)
求点 T 轨迹方程







写直线 B2M
写直线 B1N









解法赏析







02





B1
M
O
x
y

T
E


N
B2

1
2
? x2
? y2 ? 1
【运算过程 2】由? 4
?
? y ? kx ?
?
得： ?1? 4k2 ? x2
? 4kx ? 3 ? 0 ，





解法赏析







02


1 2
3
4k
所以 x1 ? x2 ? ?
1 ? 4k 2
1 ? 4k 2
，x x ? ?
，


x1
x2
? y ? y1 ?1 x ? 1
?
由?
? y ? y2 ? 1 x ?1
??
?

得 y
?
x y ? x y ? x ? x
?
? ??x2 ? y1 ?1? ? x1 ? y2 ? 1
?
x1 y2 ? x2 y1 ? x2 ? x1
??x1 ? y2 ? 1? ? x2 ? y1 ?1???
1 2 2 1 2 1 ，

2
1 ? 2
? 2 ? 1 ?
? 2 ? 1 ?
1
2
1
2
x1 ?kx2 ?
x kx
x ? x1
?
x kx ?
x kx
? 1
2
? 1
2
? x2 ? x1
1 2 1
4kx x ? 3x ? x
?
3x1 ? x2
2 （*）





B1
M
O
x
y

T
E


N
B2

1
2
? x2
? y2 ? 1
【运算过程 2】由? 4
?
? y ? kx ?
?
得： ?1? 4k2 ? x2
? 4kx ? 3 ? 0 ，





解法赏析







02


1 2
3
4k
所以 x1 ? x2 ? ?
1 ? 4k 2
1 ? 4k 2
，x x ? ?
，

y ?
4kx1 x2 ? 3x1 ? x2
3x1 ? x2
（*）



y ? 4kx1 x2 ? 3x1 ? x2
3x1 ? x2
? 3(x1 ? x2 ) ? 3x1 ? x2 ? 6x1 ? 2x2 3x1 ? x2 3x1 ? x2
? 2 ．









非对称式

降 次
4kx1x2 ? 3(x1 ? x2 )






B1
M
O
x
y

T
E


N
B2

1
2
? x2
? y2 ? 1
【运算过程 2】由? 4
?
? y ? kx ?
?
得： ?1? 4k2 ? x2
? 4kx ? 3 ? 0 ，





解法赏析







02


1 2
3
4k
所以 x1 ? x2 ? ?
1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
，x x ? ?
，
4kx x ? 3x ? x
3x1 ? x2
y ???1 2 1 2 （*）


2
2
4k ?3 ? 3 ?4k ? 4x
y ? 4kx1 x2 ? 3? x1 ? x2 ? ? 4x2
?
3(x1 ? x2 ) ? 2x2
1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
3 ?4k ? 2x
1 ? 4k 2
? 2 ．









非对称式

消 元

消去x1





B1
M
O
x
y

T
E


N
B2

1
2
? x2
? y2 ? 1
【运算过程 2】由? 4
?
? y ? kx ?
?
得： ?1? 4k2 ? x2
? 4kx ? 3 ? 0 ，





解法赏析







02


1 2
3
4k
所以 x1 ? x2 ? ?
1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
，x x ? ?
，
4kx x ? 3x ? x
3x1 ? x2
y ???1 2 1 2 （*）


1
2x
4k ?3 ? ?4k ? 4x
1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y ? 4kx1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 4x1 ?
2x1 ? (x1 ? x2 )
? ?4k
1 ? 4k 2
1
? 2 ．









非对称式

消 元

消去x2





B1
M
O
x
y

T
E


N
B2

1
2
? x2
? y2 ? 1
【运算过程 2】由? 4
?
? y ? kx ?
?
得： ?1? 4k2 ? x2
? 4kx ? 3 ? 0 ，





解法赏析







02


1 2
3
4k
所以 x1 ? x2 ? ?
1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
，x x ? ?
，

y ? 4kx1 x2 ? 3x1 ? x2
3x1 ? x2
（*）



1 2 1
2
4 x1 x2
4 ? 3 ? x1 ? x2 ? x x ? 3x ? x
3(x1 ? x2 ) ? 3x1 ? x2
y ?
?
3x1 ? x2
3x1 ? x2
? 2 ．









非对称式

消 元


k ? 3 ? x1 ? x2
4 x1 x2

消去k






B1
M
O
x

T
E


N
B2
【构图方式 3】直线 B2M 与椭圆交于 M，直线 B1N 与椭圆交于 N，且 M，E，N 三点共线，
y
直线 B2M 与直线 B1N 交于点 T．
【运算路径 3】已知一交点——“知一求一”


求点 M M，E，N
求点 N 三点共线
1
设直线 B2M：y ? k x ?1




设直线 B1N：y ? k2 x ?1
求点 T（用 k1，k2 表示）




求 k1，k2 的关系
求点 T 轨迹方程












解法赏析







02





B1
M
O
x
y

T
E


N
B
2

1
? y2 ? 1
?? x2
【运算过程 3】由? 4
? y ? k x ? 1
?
得：
? ?
2 2
1
1
1? 4k x
? 8k x ? 0 ，





解法赏析







02
同理，得点 N 的坐标为

?
2
2
2 2
8k 4k 2 ?1
1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
，
?．
1
ME
16k
12k 2 ?1
2
NE
所以直线 ME 的斜率为 k ???1 ，直线 NE 的斜率为 k
16k
4k 2 ? 3
? 2 ，
1
1
M
所以 x
?8k
?
1 ? 4k 2
，所以点 M 的坐标为

?
?
2
1
1
1
1
?8k 1 ? 4k
1 ? 4k 2
1 ? 4k 2
，
，
ME
NE
因为 M，E，N 三点共线，所以 k ? k
16k1
16k2
12k 2 ?1 4k 2 ? 3
，即 1 ? 2 ，



化简得(4k1k2 ?1)(3k1 ? k2 ) ? 0 ，又4k1k2 ?1 ? 0 ，所以 k2 ? 3k1 ．





解法赏析







02
2
? y ? k x ?1
?

2 1
2k1
? y ? k x ? 1
又由 1 得： y ?
k ? k
? 1 ? 2 ，
所以点T 在直线 y ? 2 上．



B1
M
O
x
y

T
E


N
B2
1
ME
16k
12k 2 ?1
2
NE
所以直线 ME 的斜率为 k ???1 ，直线 NE 的斜率为 k
16k
4k 2 ? 3
? 2 ，
ME
NE
因为 M，E，N 三点共线，所以 k ? k
16k1 16k2
12k 2 ?1 4k 2 ? 3
，即 1 ? 2 ，






B1
M
O
x

T
E


N
B2
【运算路径 4】引入第三者——“借用结论”




证 1 设 B M：y ? kx ?1
kB2 M ? kB2 N ? ?12 2
kB N ? 3kB M 求点 T
证 1 1 2
kB1N ? kB2 N ? ? 4 设 B1N：y ? 3kx ?1







解法赏析







02
【构图方式 4】由点 B2 作两条动直线 B2M 和 B2N，分别交椭圆于 M 和 N，直线 MN 经过定点
y
E，连结 B1N 交直线 B2M 于点 T．

2
【运算过程 4】设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线 MN：y ? kx ? 1 ，

1
2
? x2
? y2 ? 1
由? 4
?
? y ? kx ?
?
得： ?1? 4k2 ? x2 ? 4kx ? 3 ? 0 ，


1 2
1 2
3
4k
所以 x ? x ? ?
1 ? 4k 2
1 ? 4k 2
，x x ? ?
，



1
2
1 2
1 2
1
2
1
2
1 2
1 2
2 2
2
12
B2 M B2 N
x
x
x x
x x
(kx ? 1)(kx ? 1)
k 2 x x ? k (x ? x ) ? 1
y ?1 y ?1
则 k ? k ?
?
?
?
4 ? ? 1 ①，



B1
M
O
x
y

T
E


N
B2









解法赏析







02
0 0

0
0
0
1
4
B1N B2 N
y2
设点 N(x ，y ) ，则k
x
x
x2
y ?1 y ?1
?1
k
? 0 ? 0 ? 0 ? ?
②，
12
B2 M B2 N
k ? k ? ? 1 ①，








解法赏析







02
0 0

0
0
0
1
4
B1N B2 N
y2
x
x
x2
y ?1 y ?1
?1
设点 N(x ，y ) ，则k ? k
? 0 ? 0 ? 0 ? ?
②，



B1
M
O
x
y

T
E


N
B
2

B1N
B2 M
①②两式相除，得k ? 3k ，
设直线 B2M 的方程为 y ? kx ?1，
则直线 B1N 的方程为 y ? 3kx ?1 ，

消去 x，求得点T 在直线 y ? 2 上．








总结提炼







03



B1
M
O
x
y

T
E


N
B2

1. 直线与椭圆相交的基本运算
已知一交点
直线与 椭圆相交

两点均未知
“知一求一”
“设而不求”








“设一求一”
“暴力求解”
2. 确定性问题的处理策略
动中求定




定点类 定值类
定轨类







直接推理 特殊先行
借用结论








背景揭示







04


y2
x2
B，右焦点为 F．设过点 T（t，m）的直线 TA，TB 与椭圆分别交于点 M (x1 ，y1 ) N(x2 ，y2 ) ，
其中 m>0，y1 ? 0，y2 ? 0 ．设 t=9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与 m 无关）．
（2010 江苏 18）在平面直角坐标系 xoy 中，如图，已知椭圆 9 + 5 ? 1 的左，右顶点为 A



M
O
x
y

T
A


N
D B



B1
M
O
x

y
T
E


N
B2




极点与极线









背景揭示







04
定义：已知圆锥曲线?：Ax2 ? Cy2 ? 2Dx ? 2Ey ? F ? 0 ，则称
点 P(x0 ，y0 ) 和直线l：Ax0 x ? Cy0 y ? D(x ? x0 ) ? E(y ? y0 ) ? F ? 0
是圆锥曲线? 的一对极点和极线．




极点与极线





P
E
F
G
H
M


N






y2
x2
a2 b2
椭圆 ?
0 0
x x y y
a2 b2
? 1 中极点 P(x ，y ) 对应的极线方程为 0 ? 0 ? 1，

m
极点Q(m ，0) 对应的极线方程为 x ? a2 ．








背景揭示







04


y2
x2
a2 b2
椭圆 ?
0 0
x x y y
a2 b2
? 1 中极点 P(x ，y ) 对应的极线方程为 0 ? 0 ? 1，

m
极点Q(m ，0) 对应的极线方程为 x ? a2 ．



M
O
x
y

T


N
D B



B1
M
O

E


N
y
T
B2


x2
4
x
? y2 ? 1


y2
x2
9 ? 5 ? 1
A

n
极点 R(0，n ) 对应的极线方程为 y ? b2 ．




极点与极线








拓展提升







04


y2
x2
a2 b2
（1）若椭圆 E： ?
? 1(a ? b ? 0) 的左，右顶点为 A，B ，点Q(m ，t) 不在曲线 E 上，QA，
QB 分别交 E 于 C，D，直线 CD 交 x 轴于点 P(n ，0) ，则有 mn ? a2 ．


x2
2
y
（2）若椭圆 E： ? 1(a ? b ? 0) 的上，下顶点为 A，B ，点Q( t ，m) 不在曲线 E 上，QA，
a2 b2



M
O
x
QB 分别交 E 于 C，D，直线 CD 交 y 轴于点 P( 0 ，n) ，则有 mn ? b2 ．
y

T
A


N
D B









拓展提升







04


y2
x2
a2 b2
（3）若椭圆 E： ?
? 1(a ? b ? 0) 的左顶点为 A ， P(m ，0) 为椭圆内一点，CD 为过点 P 的
一条弦，AC，AD，CD 的斜率分别为 k1，k2，k，则

① k0
k1 a ? m
? m ? a ；

1 2
a2
② k ? k
m ? a
? b2 ? m ? a ；



C
x
y

A

D

k
k1
O
2
k P

1 2
2b2
③ k(k ? k ) ? ?
a(a ? m)
；


④ k( 1 ? 1 ) ?

2a
k1 k2 a ? m
．



C
x
y

T
A


D


k1
O
k
2
0
H
k P k B








拓展提升







04


y2
x2
（4）若椭圆 E： ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P(x ，y ) ，过点 P 作两条直线 PQ，PR 交椭圆
a2 b2 0 0

于 Q，R，斜率分别为 k1，k2．

1 2
a2


0
0
① k ? k ? ?(? ? b2 ) 的充要条件为直线 QR 过定点(?a2
?a2 ? b2
?a2 ? b2
? b2 x ，? ?a2
? b2 y ) ；

1 2
a2

0
x
k ? k ? b2 的充要条件为直线 QR 的斜率为? y0 ；

1 2 0
0
0 0
?
?a2
② k ? k ? ?(? ? 0) 的充要条件为直线 QR 过定点(x ? 2 y ，? 2b2 x ? y ) ；
1 2
0
b2 x
a2 y
k ? k ? 0 的充要条件为直线 QR 的斜率为 0 ．








拓展提升







04

（5）A，B 是圆锥曲线上两动点，点 M 为其上一定点，MA，MB 的倾斜角分别为?，? ，
则以下条件均可得出直线 AB 过定点：

① kMAkMB ? m （常数）；

② kMA ? kMB ? n （非零常数）；

③ ? ? ? ? ? (0 ? ? ? π) 为定值；

④ MA ? MB 为常数．








类题展示







05


（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线 AC ，BD 的斜率分别为 k1，k2．
①若 k2＝3k1，求证：直线 l 过定点；
②若直线 l 过椭圆的右焦点 F，试判断k1
k2

是否为定值，并说明理由．






x
x2 y2
1．（2019 通州海安上学期联考第 18 题）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆a2＋b2＝1
(a＞b＞0)的左、右顶点分别为 A、B，焦距为 2，直线 l 与椭圆交于 C，D 两点（均异于椭圆 的左、右顶点）．当直线 l 过椭圆的右焦点 F 且垂直于 x 轴时，四边形 ACBD 的面积为 6．
y
A
F B
O
l C
D
k1
k
2








类题展示







05
2．（2019 如皋 2.5 模第 18 题）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，F 分别是椭圆 C：


x2 y2
a2 b2
F 恰为 AQ 的中点，且椭圆 C 的焦距为 2．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N，
记直线 AM，AN 的斜率分别为 k1，k2，
若 k1＋k2＝－1，求直线 l 的方程．





x
? 1(a ? b ? 0) 左顶点，右焦点，椭圆 C 的右准线与 x 轴相交于点 Q，已知右焦点
y
F
A
O
l M
N

k1
k2








类题展示







05


b2
3． (2019 届百校大联考第 17 题）如图，已知椭圆 a2
x2 ? y2









6
? 1 (a>b>0)经过点（ ? 2,
2
)，

2
且离心率e ? 1 ，过右焦点 F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设椭圆 C 的右顶点为 A，线段 MN 的 中点为 H，
0 1 2
记直线 OH，AM，AN 的斜率分别为k , k , k ，

k0
求证: k1 ? k2 为定值．


k1
k2
k0








类题展示







05
4. （2019 镇江一模第 18 题）已知椭圆 C：


x2 y2
a2 b2
? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4，两准线间





的斜率分别为 k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．

距离为 4 2 ．设 A 为椭圆 C 的左顶点，直线 l 过点 D(1，0)，且与椭圆 C 相交于 E，F 两点．

（1）求椭圆 C 的方程；

（3）已知直线 AE，AF 分别交直线 x＝3 于点 M，N，
k1
线段 MN 的中点为 Q，设直线 l 和 QD
k2
k’
k











01


初读试题
【题目 2】2019 届南京盐城二模第 18 题


y2
x2
a b
【试题呈现】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C ：
2


2
? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 ，且椭圆 C 短轴
2

的一个顶点到一个焦点的距离等于 2 ．
x2

2
（1）求椭圆 C 的方程； 2 ＋y ＝1．
（2）设经过点 P（2，0）的直线l 交椭圆 C 于 A，B 两点，点 Q（m，0）．
①若对任意直线 l 总存在点 Q，使得 QA=QB，求实数m 的取值范围；
②设点 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 是△FAB 的外心，求实数m 的值．



B
O
x
y

Q
A
P
F



















01


初读试题
(2) ①设直线的方程为 y＝k(x－2)，设 AB 中点为 M(x0，y0)，
代入椭圆 C 的方程，消去 y，得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0．
2 2 2 2




2 2
所以△＝(－8k ) －4(1＋2k )( 8k －2)＞0，解得－ 2 ＜k＜ 2 ．


8k2 8k2－2
设 A (x1，y1)，B (x2，y2)，则有 x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2．
0
则有 x ＝
1 2＝
x ＋x 4k2

0 0
2，y ＝k(x －2)＝－
2k
2 1＋2k 1＋2k
2．
－
当 k≠0 时，因为 QA＝QB，所以 QM⊥l，即 kQM·k＝
2k
1＋2k

2－0
4k2
1＋2k

2－m

k＝－1．解得 m＝
2k2
1＋2k

2．
当 k＝0 时，可得 m＝0，符合 m＝
2k2
1＋2k

2．因此 m＝
2k2
1＋2k

2
2．由 0≤k ＝
2(1－m)
m 1 1
＜2，解得 0≤m＜2．



P



B
O
x
因为直线 l 交椭圆 C 于两点，
y

Q
A
F



l










01


初读试题
【题目 2】2019 届南京盐城二模第 18 题
【试题呈现】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:
x2

2
2 ＋y ＝1．设经过点 P（2，0）的直线l 交椭圆 C 于



P



B
O
x
A，B 两点，点 Q（m，0）．设点 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 是△FAB 的外心，求实数m 的值．
y

Q
A
F



l

【构图方式 2】三条曲线均过点 A，B
【构图方式 1】过 A，B，F 三点作圆 Q










02


解法赏析



P



B
O
x
y

Q
A
F



l

【构图方式 1】过 A，B，F 三点作圆 Q
2 2 2 2
【方法一】（暴力求解）由①得(1＋2k )x －8k x＋8k －2






4k 2 ? 2 ? 4k 2
＝0，解出以 x ?
1 ? 2k 2
1，2
，












2
2
从而得到 B(
4k 2 ? 2 ? 4k 2
?k 2 ? 4k 2 ? 2k
1 ? 2k
1 ? 2k
，

2k 2
) ，由①得Q(
1 ? 2k
，0) ，
2













2
2
2
所以由QF 2 ? QB2 ，得(
2k 2
k 2 ? 4k 2 ? 2k
?1) ? (
) ? (
1 ? 2k 2
2k 2 ? 2 ? 4k 2
1 ? 2k 2
1 ? 2k 2
) ，
化简，得(8k2 ?1)(1? 2k2 ) ? 0 ，所以 k2
1 1
＝8，m＝5．




圆的定义
一、从构作图形角度入手










02


解法赏析



P



B
O
x
y

Q
A
F



l

【构图方式 1】过 A，B，F 三点作圆 Q
【方法二】（设而不求）设 A (x1，y1)，B (x2，y2)，
2
1 1
由QF 2 ? QA2 得(m ?1)2 ? (m ? x )2 ? y
2
1
1
1 2
2
，又 y ? 1 ? x
，
从而得 x2 ? 4mx ? 4m ? 0 ，同理 x2 ? 4mx ? 4m ? 0 ，
1 1 2 2
所以 x1，x2 是方程 x2－4mx－4m＝0 的两个根，
所以 x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m．
又因为 x1＋x2＝
1＋2k
1＋2k
1＋2k
1＋2k
1＋2k
8k2 8k2－2 8k2 8k2－2 1 2k2 1
2 ，x1x2＝ 2 ，所以 2 ＝－ 2 ，解得 k2＝8，m＝ 2 ＝5
．




圆的定义










02


解法赏析



P



B
O
x

Q
A
F




【构图方式 1】过 A，B，F 三点作圆 Q
















1 2
2 (1 ? k 2 )(2 ? 4k 2 )
【方法三】 AB ?
(x ? x )2 ? ( y ? y )2 ?
1 2 1 2
1 ? k 2 | x ? x |?
1 ? 2k 2
l
，
y







1
(1 ? k 2 )(2 ? 4k 2 )
在 Rt△AMQ 中， AM ? AB ?
2
1 ? 2k 2
，






QA ? QF ?| m ?1| ，点 Q 到 l 的距离QM ? | (m ? 2)k | ，由QA2 ? QM 2 ? AM 2 ，
1 ? k 2


2
2 2 2
(m ? 2)2 k 2 (1 ? k 2 )(2 ? 4k 2 )
得(1 ? m) ?
?
1 ? k (1 ? 2k )
，又 m＝
2k2
1＋2k
2

2
1
8
．解得 k ＝ ，
1
5
m＝ ．




圆中弦长

M










02


解法赏析



P



O
x
y

Q
A
F



l

【构图方式 1】过 A，B，F 三点作圆 Q


1
1
【方法四】设 A (x1，y1)，B (x2，y2)，则 AF 的中点为(
x ?1 y
， ) ，
2 2




圆心的确定
2
2 y1
y x ?1 x ?1
x2
? y2 ?1
x1 ? 1
B
直线 AF 的中垂线方程 y ? 1 ? ? 1 (x ? 1 ) ，令 y ? 0 ，得2x ? 1 1 ，
2
1
1
1 2
2
又 y ? 1 ? x

1
1
Q
，所以 x ?
4 x ? 1

2
1
Q
x2 x2
1 ，同理 x ?
4 x ? 1
2 ，
所以 1
1 2
x2
x2
x ? 1 x ? 1
1 2
???2 ，变形得(x x
? x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 ，因为 x1 ? x2 ，
1 2 1 2
所以 x x ? x ? x ? 0 ，所以
8k2
1＋2k
2

?
8k2－2
1＋2k

8
1 1
5
2＝0，所以 k2＝ ，m＝ ．










02


解法赏析



P



B
O
x
y

Q
A
F



l

【构图方式 2】三条曲线均过点 A，B
易得圆 Q 的方程为: (x－m)2＋y2＝(m＋1)2．
①由 l 与椭圆 C、l 与圆 Q 确立同解方程
【方法五】由
2
?
?
? y ? k(x ? 2)，
(x ? 2) ? y2 ? (m ? 1)2，
消去 y，得?1? k2 ? x2
? (4k2 ? 2m)x ? 4k 2 ? 2m ?1 ? 0 ，

4k 2 ? 2m
所以 x1，x2 也是此方程的两个根，所以 x1 ? x2 ?
1 ? k 2
8k2

，又因为 x1＋x2＝1＋2k2，


2
2
1 ? 2k
1 ? k
所以 ， 又 m＝
8k 2 ? 4k 2 ? 2m 2k2
1＋2k
2

2
8
．解方程组，得 k ＝ ，
1 1
5
m＝ ．










02


解法赏析



P



B
O
x
y

Q
A



l

【构图方式 2】三条曲线均过点 A，B
易得圆 Q 的方程为: (x－m)2＋y2＝(m＋1)2．
②由 l 与椭圆 C、椭圆 C 与圆 Q 确立同解方程
??(x－m)2＋y2＝(m＋1)2，
【方法六】由?x2

2
?? 2 ＋y ＝1，
消去 y，得 x2－4mx－4m＝0，F
所以 x1，x2 也是此方程的两个根，所以 x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m．
又因为 x1＋x2＝
1＋2k

1＋2k

2，x1x2＝ 2，所以
1＋2k

8k2 8k2－2 8k2 8k2－2
1＋2k

1
2＝－ 2，解得 k2＝8．
所以 m＝
1＋2k

2k2 1
2＝5．










02


解法赏析



P



B
O
x
y

Q
A
F



l

【构图方式 2】三条曲线均过点 A，B
易得圆 Q 的方程为: (x－m)2＋y2＝(m＋1)2．
③由 l 与圆 Q、椭圆 C 与圆 Q 确立同解方程
【方法七】由
2
?
?
? y ? k(x ? 2)，
(x ? 2) ? y2 ? (m ? 1)2，
消去 y，
得?1? k2 ? x2
? (4k2 ? 2m)x ? 4k 2 ? 2m ?1 ? 0 ①，
?
??(x－m)2＋y2＝(m＋1)2，
由?x2
? 2

＋y2＝1，
消去 y，得 x2－4mx－4m＝0②，方程①②同解求得 k2

1 1

＝8，m＝5．










02


解法赏析



P



B
O
x
y

Q
A
F



l

二、从构作方程组角度入手
【构图方式 1】过 A，B，F 三点作圆 Q
【方法八】由题意，得 m＝
2k2
1＋2k
2

①，
1
2
2 y
y x ?1 x ?1
1 1
1
2
x2
? 1 ? ? 1 (m ? 1 ) ②， y ? k(x ? 2) ③， 1 ? y2 ? 1 ④，
解方程组获解．










02


解法赏析



2 2
1
2
1 1
?
? x2
? 2
【方法九】由题意，得? x2
? 2
?
? y1 ? k(x1 ? 2)，
? y ? k(x ? 2)，
? 1 ? y2 ? 1，
? 2 ? y2 ? 1，
?(x ? m)2 ? y2 ? 1，
??(x ? m)2 ? y2 ? 1，
2 2
解方程组获解．
二、从构作方程组角度入手

【构图方式 2】三条曲线均过点 A，B
P



B
O
x
y

Q
A
F



l











03


总结提炼



解析几何题运算求解的繁易程度受三方面影响：



构图方式
求解繁易 表达方式 消参方式


感谢聆听！欢迎指正！




“精彩试题赏析”系列