高中数学人教新课标A版选修3-4第一讲 1.3 平面图形的对称群(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教新课标A版选修3-4第一讲 1.3 平面图形的对称群(共30张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-09 11:00:27 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
根据上节课的学习，我们已经找到了正三角形所有的6个对称变换，即
D3={I，r1，r2，r3,ρ1,ρ2}．
旧知回顾
以及正方形所有的8个对称变换，即
D4={I，r1，r2，r3，r4， ρ1， ρ2，
ρ3}．
这就是说，D3和D4分别包含了正三角形和正方形所有的对称变换．
正五边形所有的对称变换组成的集合一般用D5表示，其中共有2╳5=10个元素，你能找出D5中所有的元素吗？
【知识与能力】
了解数学集合的抽象定义．
掌握乘数表法，掌握群的概念．
掌握对称群．
【情感态度与价值观】
通过以前学习的知识，来对比了解现在所得的结论，掌握自然语言和数学语言的差异，使同学们体会到数学的归纳思想．
【过程与方法】
通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师分析点评，与前面所学的知识进行对比学习．经过对比掌握对称群的定义和性质．
结合课本所给的例子，进行简绍．
对称群的定义、性质
封闭性
一般地，把一个平面图形K的所有对称组成的集合记作S(K)．例如，对于正三角形、正方形和正五边形，S(K)分别为D3，D4和D5．由于平面图形K的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述，所以S(K)也就刻画了平面图形K的全部对称性．
这样，我们就把平面图形K的直观对称用精确的数学语言——集合S(K)表示出来了．S(K)就是数学中用来刻画平面图形K的对称的数学模型．
数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构．具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式．
既然我们用集合S(K)来刻画图形的对称，很自然地，我们希望尽可能多地了解S(K).那么，S(K)中的元素到底有哪些性质呢？它们之间会有怎样的关系呢？下面我们仍然以正三角形和正方形为例来说明．
研究正三角形所有的对称变换组成的集合D3中元素之间的关系，最基本的是看一看它们两两合成的结果．为了方便，我们可以用一个表来表示这种合成的结果．
表 1
I ρ1 ρ2 r1 r2 r3
I I ρ1 ρ2 r1 r2 r3
ρ1 ρ1 ρ2 I r3 r1 r2
ρ2 ρ2 I ρ1 r2 r3 r1
r1 r1 r2 r3 I ρ1 ρ2
r2 r2 r3 r1 ρ2 I ρ1
r3 r3 r1 r2 ρ1 ρ2 I
这个表称为D3的乘法表，这时一种常用的、有力的表示对称变换合成结果的工具．表格的第1行列出了D3的全部6个元素。除了首行和首列外，表格的其他部分由6行和6列组成．表格的第（j+1）列和第（i+1）行交点处的元素师首行第j个元素与首列第i个元素的乘积．
一般来说，对称变换是不满足交换律的，我们对于合成的次序必须有一个明确的规定．习惯上，按照先做列变换，再做行变换的次序得到这些合成的结果．例如，表格的第5列和第3行交点处的元素是r3，它是由r1和ρ1合成得到的，即
ρ1 r1=r3
根据表1中元素的特点，回答下面的问题：
（1）第二行和第二列分别于第一行和第一列相等，表明对任意的m D3，I m=m且m I=m.你能说明原因吗？
（2）每一行都有且只有一个恒等变换，表明任意给定一个m D3，存在唯一的m?，使得m m?=I；每一列都有且只有一个恒等变换，表明任意给定一个m D3，存在唯一的m＂，使得m＂ m=I. m?与m＂相等吗？根据表1，你能求出D3中所有元素的逆变换吗？
乘法表给了我们非常丰富的关于三角形的对称集合D3的信息．实际上，我们在前面学过的D3的许多性质，都可以从这个乘法表中得到．
带着问题，我们来仔细观察一下我们的乘法表．
例如，从表格中可以看到，D3中任意两个元素的乘积仍然在D3中，也就是正三角形的任意两个对称变换的合成仍然是D3中的对称变换．我们称D3的这个性质为正三角形的对称变换合成的封闭性．
我们还可以得到：表格关于主对角线（就是表格所在的长方形从左上到右下的对角线）不对称，说明对称变换的合成不满足交换律．
另外，表格中每一行（列）的元素两两不同，而且都包含了D3的所有元素．这说明，任意取D3中的一个元素m，它与D3中任意两个不同元素分别相乘，所得的积不相等．换句话说，如果存在a，b D3，使得m a=m b或a m=b m，那么一定有a=b．
有了上面的结果，我们来回答上面探究中的问题．
对于问题（1），由于恒等变换I使三角形保持不动，所以对于三角形的任意对称变换m，I m，m I与m对三角形的作用效果是一样的，即有
I m=m I=m.
对于问题（2），我们可以知道m?与m＂是相等的．这是因为
m?=I m?
=(m＂ m) m?
=m＂ (m m?)
=m＂ I =m＂.
所以m?(m“)就是m的逆变换，这说明D3中每个元素的逆变换都是唯一的．
一般地，对于一个平面图形K的所有对称变换组成的集合S(K)，如果把变换之间的合成看作S(K)上的一种运算，记作 ，那么这种运算都满足下述4条：
1.S(K)中任意两个变换合成的结果仍然在S(K)中；
2.S(K)中存在恒等变换I；
3.S(K)中任意一个变换的逆变换仍然在S(K)中；
4.S(K)中的变换的合成满足结合律；
如果把这4条性质用数学的语言表达出来，我们得到：
Ⅰ.对任意的m1，m2 S(K)，m1 m2 S(K)；
Ⅱ.S(K)中存在一个变换I，对任意的m S(K),有I m=m I=m；
Ⅲ.对任意的m S(K)，存在变换m-1 S(K)，使得m m-1=I=m-1 m；
Ⅳ.对任意的m1，m2，m3 S(K)，
m3 (m2 m1)=(m3 m2) m1.
这时，我们把S(K)连同它的运算“ ”称为平面图形K的对称群，记作(S(K)， ).
因此，（D3，）是正三角形的对称群，有6个元素；（D4，）是正方形的对称群，有8个元素．
一般地，正n边形所有的对称变换和对称变换的合成“ ”构成它的对称群，称为二面体群，记作（Dn，），其中有2n个元素．
对于一个只有有限个对称变换的平面图形K，人们已经发现其对称群的类型只有下列4种：
1.仅含有恒等变换；
2.仅含有恒等变换和一个反射变换；
3.含有n(n N*)个旋转变换，而没有反射变换（这样的对称群成为循环群）；
4.含有n(n N*)个旋转变换，同时又n个反射变换（这样的对称群成为二面体群）.
1.对称群的定义
2.对称变换的封闭性
3.一个只有有限个对称变换的图形的 对称群的类型
根据上节课的学习，我们已经找到了正三角形所有的6个对称变换，即
D3={I，r1，r2，r3,ρ1,ρ2}．
旧知回顾
以及正方形所有的8个对称变换，即
D4={I，r1，r2，r3，r4， ρ1， ρ2，
ρ3}．
这就是说，D3和D4分别包含了正三角形和正方形所有的对称变换．
正五边形所有的对称变换组成的集合一般用D5表示，其中共有2╳5=10个元素，你能找出D5中所有的元素吗？
【知识与能力】
了解数学集合的抽象定义．
掌握乘数表法，掌握群的概念．
掌握对称群．
【情感态度与价值观】
通过以前学习的知识，来对比了解现在所得的结论，掌握自然语言和数学语言的差异，使同学们体会到数学的归纳思想．
【过程与方法】
通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师分析点评，与前面所学的知识进行对比学习．经过对比掌握对称群的定义和性质．
结合课本所给的例子，进行简绍．
对称群的定义、性质
封闭性
一般地，把一个平面图形K的所有对称组成的集合记作S(K)．例如，对于正三角形、正方形和正五边形，S(K)分别为D3，D4和D5．由于平面图形K的每一个对称性都可通过它的一个对称变换来描述，所以S(K)也就刻画了平面图形K的全部对称性．
这样，我们就把平面图形K的直观对称用精确的数学语言——集合S(K)表示出来了．S(K)就是数学中用来刻画平面图形K的对称的数学模型．
数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构．具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式．
既然我们用集合S(K)来刻画图形的对称，很自然地，我们希望尽可能多地了解S(K).那么，S(K)中的元素到底有哪些性质呢？它们之间会有怎样的关系呢？下面我们仍然以正三角形和正方形为例来说明．
研究正三角形所有的对称变换组成的集合D3中元素之间的关系，最基本的是看一看它们两两合成的结果．为了方便，我们可以用一个表来表示这种合成的结果．
表 1
I ρ1 ρ2 r1 r2 r3
I I ρ1 ρ2 r1 r2 r3
ρ1 ρ1 ρ2 I r3 r1 r2
ρ2 ρ2 I ρ1 r2 r3 r1
r1 r1 r2 r3 I ρ1 ρ2
r2 r2 r3 r1 ρ2 I ρ1
r3 r3 r1 r2 ρ1 ρ2 I
这个表称为D3的乘法表，这时一种常用的、有力的表示对称变换合成结果的工具．表格的第1行列出了D3的全部6个元素。除了首行和首列外，表格的其他部分由6行和6列组成．表格的第（j+1）列和第（i+1）行交点处的元素师首行第j个元素与首列第i个元素的乘积．
一般来说，对称变换是不满足交换律的，我们对于合成的次序必须有一个明确的规定．习惯上，按照先做列变换，再做行变换的次序得到这些合成的结果．例如，表格的第5列和第3行交点处的元素是r3，它是由r1和ρ1合成得到的，即
ρ1 r1=r3
根据表1中元素的特点，回答下面的问题：
（1）第二行和第二列分别于第一行和第一列相等，表明对任意的m D3，I m=m且m I=m.你能说明原因吗？
（2）每一行都有且只有一个恒等变换，表明任意给定一个m D3，存在唯一的m?，使得m m?=I；每一列都有且只有一个恒等变换，表明任意给定一个m D3，存在唯一的m＂，使得m＂ m=I. m?与m＂相等吗？根据表1，你能求出D3中所有元素的逆变换吗？
乘法表给了我们非常丰富的关于三角形的对称集合D3的信息．实际上，我们在前面学过的D3的许多性质，都可以从这个乘法表中得到．
带着问题，我们来仔细观察一下我们的乘法表．
例如，从表格中可以看到，D3中任意两个元素的乘积仍然在D3中，也就是正三角形的任意两个对称变换的合成仍然是D3中的对称变换．我们称D3的这个性质为正三角形的对称变换合成的封闭性．
我们还可以得到：表格关于主对角线（就是表格所在的长方形从左上到右下的对角线）不对称，说明对称变换的合成不满足交换律．
另外，表格中每一行（列）的元素两两不同，而且都包含了D3的所有元素．这说明，任意取D3中的一个元素m，它与D3中任意两个不同元素分别相乘，所得的积不相等．换句话说，如果存在a，b D3，使得m a=m b或a m=b m，那么一定有a=b．
有了上面的结果，我们来回答上面探究中的问题．
对于问题（1），由于恒等变换I使三角形保持不动，所以对于三角形的任意对称变换m，I m，m I与m对三角形的作用效果是一样的，即有
I m=m I=m.
对于问题（2），我们可以知道m?与m＂是相等的．这是因为
m?=I m?
=(m＂ m) m?
=m＂ (m m?)
=m＂ I =m＂.
所以m?(m“)就是m的逆变换，这说明D3中每个元素的逆变换都是唯一的．
一般地，对于一个平面图形K的所有对称变换组成的集合S(K)，如果把变换之间的合成看作S(K)上的一种运算，记作 ，那么这种运算都满足下述4条：
1.S(K)中任意两个变换合成的结果仍然在S(K)中；
2.S(K)中存在恒等变换I；
3.S(K)中任意一个变换的逆变换仍然在S(K)中；
4.S(K)中的变换的合成满足结合律；
如果把这4条性质用数学的语言表达出来，我们得到：
Ⅰ.对任意的m1，m2 S(K)，m1 m2 S(K)；
Ⅱ.S(K)中存在一个变换I，对任意的m S(K),有I m=m I=m；
Ⅲ.对任意的m S(K)，存在变换m-1 S(K)，使得m m-1=I=m-1 m；
Ⅳ.对任意的m1，m2，m3 S(K)，
m3 (m2 m1)=(m3 m2) m1.
这时，我们把S(K)连同它的运算“ ”称为平面图形K的对称群，记作(S(K)， ).
因此，（D3，）是正三角形的对称群，有6个元素；（D4，）是正方形的对称群，有8个元素．
一般地，正n边形所有的对称变换和对称变换的合成“ ”构成它的对称群，称为二面体群，记作（Dn，），其中有2n个元素．
对于一个只有有限个对称变换的平面图形K，人们已经发现其对称群的类型只有下列4种：
1.仅含有恒等变换；
2.仅含有恒等变换和一个反射变换；
3.含有n(n N*)个旋转变换，而没有反射变换（这样的对称群成为循环群）；
4.含有n(n N*)个旋转变换，同时又n个反射变换（这样的对称群成为二面体群）.
1.对称群的定义
2.对称变换的封闭性
3.一个只有有限个对称变换的图形的 对称群的类型