人教版八年级数学下册17.2 勾股定理的逆定理（勾股定理逆定理的证明）（课件）(共21张PPT)

(共21张PPT)
人教版
数学八年级下册
第十七章
勾股定理
17.2
勾股定理的逆定理（勾股定理逆定理的证明）
前言
学习目标
1.理解勾股定理的逆定理及证明过程。
2.能简单的运用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
3.了解命题的逆命题，定理逆定理以及它们之间的关系。
重点
勾股定理逆定理的理解。
难点
勾股定理逆定理的证明。
AC
3
2.5
1
BC
4
6
1
AB
勾股定理知识点回顾
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a +b =c
。
b
a
c
A
B
C
∵△ABC是直角三角形
∴三边之间的关系为：
a +b =c
勾股定理的内容：
几何描述：
练一练（已知Rt△ABC,求AB）：
5
6.25
本节课我们学习通过三角形的三边关系，
判定其是否为直角三角形
情景引入
据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
如果一个三角形三边长分别为3、4、5，它们符合
那么围成的三角形为直角三角形，你认为这个结论正确吗
小组讨论
AB
3
2.5
1
BC
4
6
1
AC
5
6.25
∠A
∠B
∠C
A
B
C
尝试画出满足表格数据的三角形，测量它的三个角度数，你发现了什么？
约36.5°
约22.5°
45°
约53.5°
约67.5°
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
再找几组满足此三边关系的数字，
画出三角形，这个三角形是直角三角形吗？
探索与思考
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：
△ABC是直角三角形．
分析：
1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠C=______°
2.构造△A’B’C’，使其满足___________________________。
3.如果△ABC
____
△A’B’C’，则△ABC是直角三角形。
90
≌
AC=A’C’,BC=B’C’,∠C’=90°
b
a
c
A
B
C
b
a
c
A
’
B
’
C
’
探索与思考
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：
△ABC是直角三角形．
证明：
作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，
则A′B′2
=
B′C′2
+
A′C′2
=
a2
+b2
∵
a2+b2=c2
∴
A′B′2
=c2
则A′B′=c
在△ABC与△A′B′C′中
∴△ABC≌△A′B′C′，则∠C=
∠C
′=90°
∴
△ABC是直角三角形
b
a
c
A
B
C
b
a
c
A
’
B
’
C
’
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a
，b
，c满足
a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
几何描述：
∵三角形三边之间的关系为：a +b =c
∴△ABC是直角三角形
勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数。
b
a
c
A
B
C
判断直角三角形的方法
用角判断：
1.两个锐角互余
的三角形是直角三角形；
2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；
用边判断：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a +b =c ）进行判断.
练一练
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
1、a=15
，b=8
，c=17
2、a=13
，b=14
，c=15
解：∵152+82=289，172=289，
∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
小结
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：
1.找：确定三角形的最长边。
2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。
3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。
4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。
互逆命题与互逆定理
观察下面的两个命题，你发现了什么？
命题1
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,
那么a2+b2=c2。
命题2
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形。
它们是题设和结论正好相反两个命题
小结
一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理。勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理。
题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
练一练
说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？
(1)两条直线平行，内错角相等。
(2)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方相等。
(3)对顶角相等。
(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
随堂测试
1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．a：b：c＝7：24：25
C．a2＝b2﹣c2
D．∠A＝∠C﹣∠B
【答案】A
【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，
故不能判定△ABC是直角三角形；
B、∵72+242＝252，∴△ABC为直角三角形；
C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC为直角三角形；
D、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC为直角三角形．故选：A．
随堂测试
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　)
A．
B．1,
C．6,7,8
D．2,3,4
3．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（
）
A．a＝1，
b＝2，
c＝3；
B．a＝4
，
b＝5
，c＝6；
C．a＝9，
b＝12，c＝15；
D．a＝13，
b＝14
，c＝15
随堂测试
4．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（
）
A．BC＝1，AC＝2，AB＝B．BC＝1，AC＝2，AB＝
C．BC：AC：AB＝3：4：5
D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【答案】D
【详解】
A．∵12+（）2=22，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵12+22=（）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．设BC=3x，则AC=4x，AB=5x．
∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=45°，∠5=60°，∠C=75°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意．故选D．
随堂测试
5．已知△ABC的三边分别长为a,b,c，且满足，则△ABC是（
）.
A．以a为斜边的直角三角形
B．以b为斜边的直角三角形
C．以c为斜边的直角三角形
D．不是直角三角形
【答案】A
【解析】
等式＋+＝0
可化为＋+＝0，
根据非负数的性质可得a-17=0，b-15=0，c-8=0，
所以a=17，b=15，c=8；又因，
所以△ABC是
以a为斜边的直角三角形，故选A.
随堂测试（提高）
6．一个三角形的三边长分别为13、5、12，则最长边上的高是______．
【答案】．
【详解】
∵52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，设最长边上的高为h
cm．
S=×5×12=×13×h，解得：h=．
故答案为：．
课堂互动
Classroom
Interaction
理解勾股定理逆定理
01
课后回顾
掌握勾股定理逆定理的证明
02
互逆命题之间的关系
03
THANKS
“
”