第5讲 中考闯关必刷易错题（五）
中考数学终极攻略
攻略一：概念记清，基础夯实。
数学≠做题，千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，特别是“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错，如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选。因此，要把已经学过的四本教科书中的概念整理出来，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
?
攻略二：适当做题，巧做为王。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
?
攻略三：前后联系，纵横贯通。
在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做”。在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的境界。特别是几何题中的辅助线添法很有规律性，在做题中要特别记牢。
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攻略四：记录错题，避免再犯。
俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，我建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。毕竟，中考当中是“分分必争”，一分也失不得。
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攻略五：集中兵力，攻下弱点。
每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
1．下列调查：①了解某市中小学生的视力情况；②了解某市中学生课外阅读的情况；③了解某市百岁以上老人的健康情况；④了解某市老年人的生活条件情况.其中适合采用抽样调查的有……………………………………………………………………………（ ）
A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④
2.甲、乙、丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为＝35，＝24.5，＝15.则数据波动最小的一组是_____________.
陷阱揭密一
易错点1：全面调查与抽样调查的适用范围易分不清楚.对平均数、中位数，方差与众数的概念理解不透彻，计算易出错。
1.某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加课外体育锻炼的时间，列表如下：
锻炼时间（小时）
5
6
7
8
人数
3
7
4
1
则这15名学生一周在校参加课外体育锻炼时间的中位数和众数分别是…………（ ）
A.6.5，7 B.7，7 C.6.5，6 D.6，6
2.我校八年级（1）组织了一次英语风采大赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：（单位：分）
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的众数是___________分，乙队成绩的中位数是_____________分.
（2）请从平均数和方差两方面判断，谁的成绩更好些.
1.在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第一、三象限的概率是____________.
陷阱揭密二
易错点2：两步及两步以上复杂事件的概率求法；用树状图或列表的方法表示各种等可能的情况.
1.如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等.
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为_____________.
（2）甲、乙两人利用这个转盘做游戏，若采用下列规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次数字大于第二次数字，则甲胜；否则，乙胜.你认为这个游戏规则对两人公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.
1．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
2．如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（ ）
A．35° B．110° C．145° D．35°或145°
陷阱揭密三
易错点3：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦间的距离也有两种情况.
1．下列说法中正确的个数有（ ）
①直径不是弦；
②三点确定一个圆；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知A、B、C三点都在⊙O上，若⊙O的半径为4cm，BC＝4cm，则∠A的度数为_____________________.
1．已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=12cm，则弦AB的长为 cm．
2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB=8cm，PD=2cm，则CP= cm．
陷阱揭密四
易错点4：对垂径定理，相交弦的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题
1．如图，弦AB和CD交于内一点P，若AP=3，PB=4，CP=2，则PD= ．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是 ．
1．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
2．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
陷阱揭密五
易错点5：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。
1．如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．
（1）求证：DE是半圆的切线：
（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．
1.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径.
2．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
陷阱揭密六
易错点6：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
1．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2
2．如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
A．cm B．（2+π）cm C．cm D．3cm
陷阱揭密七
易错点7：圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系.
1．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．m B．m C．m D．1m
2．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（ ）
A． B． C．π+1 D．
1.希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查地点一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（ ）
A.被调查的学生有200人
B.被调查的学生中喜欢教师职业的有40人
C.被调查的学生中喜欢其他职业的占40%
D.扇形中，公务员部分所对应的圆心角为72°
2.一组数据6,5,2，x，4的平均数是4，则这组数据的方差是_____________.
3.下列事件是必然事件的是……………………………………………………………（ ）
A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B.方程x2－x＋1＝0有两个不等实根
C.面积之比为1︰4的两个相似三角形的周长之比也是1︰4
D.圆的切线垂直于过切点的半径
4.在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动.有A、B两组卡片，每组各三张，A组卡片上分别写有0、2、3；B组卡片上分别写有﹣5、﹣1、1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同.甲从A组随机抽取一张记为x，乙从B组随机抽取一张记为y.
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是﹣1，它们恰好是方程ax－y＝0的解，求a的值；
（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率.（请用树状图或列表法求解）
5.已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，且AB＝8cm，则AC的长为…………………………………………………………………………………………（ ）
A.2cm B. 2cm或4cm C.4cm D. 2cm或4cm
6．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若AP=4，PB=6，CP=3，则PD的长为 ．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
10．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
11．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．3 C．6π D．6
12．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD=．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD=2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第5讲 中考闯关必刷易错题（五）
中考数学终极攻略
攻略一：概念记清，基础夯实。
数学≠做题，千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，特别是“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错，如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选。因此，要把已经学过的四本教科书中的概念整理出来，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
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攻略二：适当做题，巧做为王。
有的同学埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
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攻略三：前后联系，纵横贯通。
在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做”。在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的境界。特别是几何题中的辅助线添法很有规律性，在做题中要特别记牢。
?
攻略四：记录错题，避免再犯。
俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，我建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。毕竟，中考当中是“分分必争”，一分也失不得。
?
攻略五：集中兵力，攻下弱点。
每个人都有自己的“软肋”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
1．下列调查：①了解某市中小学生的视力情况；②了解某市中学生课外阅读的情况；③了解某市百岁以上老人的健康情况；④了解某市老年人的生活条件情况.其中适合采用抽样调查的有……………………………………………………………………………（ ）
A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④
【分析】：对常采用抽样调查的一些情形判断不清是造成本题错解的主要原因.常采用抽样调查的情形有：①受客观条件限制，无法对所有个体进行全面调查，如调查某市中小学生的视力情况；②调查具有破坏性，不允许全面调查，如调查某批炮弹的杀伤半径；总体容量较大，个体分布较广，如某市青年在外创业的情况.同时，还应注意抽样调查的一些要求：一是抽取的样本要有代表性；二是抽取的样本数目不能太少.
【解答】：C
2.甲、乙、丙三组各有7名成员，测得三组成员体重数据的平均数都是58，方差分别为＝35，＝24.5，＝15.则数据波动最小的一组是_____________.
【分析】：对描述数据离散程度的特征数----方差理解出错，从而本题出现错解.一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小.本题中，∵15＜24.5＜35，∴＜＜，故填丙.
【解答】：丙
陷阱揭密一
易错点1：全面调查与抽样调查的适用范围易分不清楚.对平均数、中位数，方差与众数的概念理解不透彻，计算易出错。
1.某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加课外体育锻炼的时间，列表如下：
锻炼时间（小时）
5
6
7
8
人数
3
7
4
1
则这15名学生一周在校参加课外体育锻炼时间的中位数和众数分别是…………（ ）
A.6.5，7 B.7，7 C.6.5，6 D.6，6
【分析】：造成出错的原因是对中位数与众数的概念理解不清.众数是指出现次数最多的数据而不是指次数，求中位数一定要把数据先按大小顺序排列，再取正中间的一个数据或正中间两个数据的平均数作为中位数.本题中，第＝8个数据即为中位数，∵3＜8＜3＋7，∴第8个数据是6，即中位数为6；数据6出现的次数是7，次数最多，∴众数是6.
【解答】：D
2.我校八年级（1）组织了一次英语风采大赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：（单位：分）
甲
7
8
9
7
10
10
9
10
10
10
乙
10
8
7
9
8
10
10
9
10
9
（1）甲队成绩的众数是___________分，乙队成绩的中位数是_____________分.
（2）请从平均数和方差两方面判断，谁的成绩更好些.
【分析】：本题错误的原因是从乙的方差计算开始出错，从而导致结果判断不正确.一组数据的平均数计算公式是＝，方差的计算公式是s2＝.这类问题通常先计算平均数，然后计算方差，再分别比较平均数和方差的大小，综合判断，得出结论.从计算平均数开始，每一步都要认真仔细，否则接下来的步骤就跟着出错.
【解答】：（1）10,9；
（2）∵(7×2＋8＋9×2＋10×5)＝9（分），
(7＋8×2＋9×3＋10×4)＝9（分），
[2×(7－9)2＋(8－9)2＋2×(9－9)2＋5×(10－9)2]＝1.4，
[(7－9)2＋2×(8－9)2＋3×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝1，
∴，，
∴从平均数和方差两方面判断，两人的成绩一样好.
1.在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任选两个数的积作为k的值，使反比例函数y＝的图象在第一、三象限的概率是____________.
【解答】：
【分析】：本题对概率的概念理解不透彻，误以为正负各两个数，概率就为，从而出错.其实，从四个数中任选两个，可列表如下：
﹣2
﹣1
1
2
﹣2
（﹣2，﹣1）
（﹣2，1）
（﹣2，2）
﹣1
（﹣1，﹣2）
（﹣1，1）
（﹣1，2）
1
（1，﹣2）
（1，﹣1）
（1，2）
2
（2，﹣2）
（2，﹣1）
（2，1）
或画树状图如下：
共有12个等可能情况，其中积为正的情况有4种，所以概率P＝＝.
陷阱揭密二
易错点2：两步及两步以上复杂事件的概率求法；用树状图或列表的方法表示各种等可能的情况.
1.如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等.
（1）现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为_____________.
（2）甲、乙两人利用这个转盘做游戏，若采用下列规则：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字，若第一次数字大于第二次数字，则甲胜；否则，乙胜.你认为这个游戏规则对两人公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.
【解答】 （1）
（2）根据规则，将所有可能情况列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
或画树状图如下：
所有等可能情况共9种，第一次数字大于第二次数字的情况有3种，第一次数字不大于第二次数字的情况有6种.
∴P（甲）＝，P（乙）＝，∵＝，∴该游戏不公平.
【分析】：本题错在第（2）小题中，对游戏规则的理解错误，从而造成本小题错解.游戏是否公平的问题实际上是概率是否相等的问题，所以准确求出有关的概率是解决此类问题的关键.
1．下列命题中，正确的是（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．
A．①②③ B．③④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤
【分析】根据圆周角定理及确定圆的条件对各个命题进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；
②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；
③、圆周角定理，故正确；
④、符合确定圆的条件，故正确；
⑤、符合圆周角定理，故正确；
所以正确的是③④⑤．
故选B．
2．如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于（ ）
A．35° B．110° C．145° D．35°或145°
【分析】由于三角形的外心的位置可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部．所以此题要考虑两种情况：根据圆周角定理，①当点O在三角形的内部时，则∠BAC=∠BOC=35°；②当点O在三角形的外部时，则∠BAC=（360°﹣70°）=145°．
【解答】解：①当点O在三角形的内部时，
则∠BAC=∠BOC=35°；
②当点O在三角形的外部时，
则∠BAC=（360°﹣70°）=145°．
故选D．
陷阱揭密三
易错点3：弧、弦、圆周角等概念理解不透彻，如弦所对的圆周角有两种情况，平行弦间的距离也有两种情况.
1．下列说法中正确的个数有（ ）
①直径不是弦；
②三点确定一个圆；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】依据确定圆的条件、直径以及弦的定义、圆的对称性即可解答．注意：④要成立必须强调在同圆或等圆中．
【解答】解：由圆中定义可知③正确，这是根据圆的轴对称的性质来判断的；
①错误，直径是过圆心的弦；
②错误，三点不一定能确定一个圆，如三点同线确定的是一条直线；
④错误，相等的圆心角所对的弧不一定相等，所对的弦也不一定相等，等弧是在同圆或者等圆中，能互相重合的两条弧；
故正确的只有③．故选A．
2.已知A、B、C三点都在⊙O上，若⊙O的半径为4cm，BC＝4cm，则∠A的度数为_____________________.【解答】：60°或120°
【分析】：本题错解的主要原因是没有考虑到弦BC所对的圆周角∠A有两种情况.如图1，当点A在优弧 上时，连接OA，OB，过点O作OD⊥BC于点D.由垂径定理得BD＝CD＝BC，∵BC＝4cm，∴BD＝×4cm＝2cm.又∵OB＝4cm，∴在Rt△OBD中，cos∠OBD＝，∴∠OBD＝30°，∴∠BOD＝∠COD＝90°－30°＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝∠BOC＝×120°＝60°；当点A在劣弧 上时，如图2，在优弧 上任取一点E（不与点B、C重合），连接EB，EC，由前面的解法可得∠E＝60°，又∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠E＝180°，∴∠A＝180°－60°＝120°.∴综上，∠A的度数为60°或120°.在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角有两种，它们是互补的关系.
1．已知⊙O中，两弦AB和CD相交于点P，若AP：PB=2：3，CP=2cm，DP=12cm，则弦AB的长为 10 cm．
【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．
【解答】解：设AP=2x，
由AP：PB=2：3得PB=3x，
由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，
∴2x?3x=2×12，x=2（舍去负值），
∴AB=AP+PB=5x=10cm．
2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB=8cm，PD=2cm，则CP= 8 cm．
【分析】首先根据垂径定理可知AP=4，再根据相交弦定理可知AP2=CP×PD即可求出CP．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB=8cm，
∴AP=4，根据相交弦定理可知AP2=CP×PD，
∴16=2×CP，
∴CP=8cm．
陷阱揭密四
易错点4：对垂径定理，相交弦的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题
1．如图，弦AB和CD交于内一点P，若AP=3，PB=4，CP=2，则PD= 6 ．
【分析】由相交弦定理求解．
【解答】解：∵PA?PB=PC?PD，
∴DP===6．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF=2，AF=3，则EF的长是 4 ．
【分析】根据相交弦定理及垂径定理求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG=GD，CF=FG=CG，
∵CF=2，∴CG=GD=2×2=4，FD=2+4=6，
由相交弦定理得EF?AF=CF?FD，
即EF===4，
故EF的长是4．
1．如图，AH是⊙O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为半径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．
（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OE，证明FG是⊙O的切线，只要证明∠OEF=90°即可；
（2）设OA=OE=x，则OB=10﹣x，在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，即（10﹣x）2+52=x2，求出x的值，即可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∵AE平分∠FAH，
∴∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
∵AF⊥GF，
∴∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE⊥GF，
∵点E在圆上，OE是半径，
∴GF是⊙O的切线．
（2）∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10﹣x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，BE=5，
由勾股定理得：OB2+BE2=OE2，
∴（10﹣x）2+52=x2，
∴，
，
∴⊙O的直径为．
2．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接BD，先求出AC，在Rt△ABC中，运用勾股定理求AC，②由CD平分∠ACB，得出AD=BD，所以Rt△ABD是直角等腰三角形，求出AD，
（2）连接OC，由角的关系求出∠PCB=∠ACO，可得到∠OCP=90°，所以直线PC与⊙O相切．
【解答】解：（1）①如图，连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
AC===8（cm），
②∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD，
∴Rt△ABD是直角等腰三角形，
∴AD=AB=×10=5cm；
（2）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连结OC如图，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
而∠PEC=∠EAC+∠ACE，∠PCE=∠PCB+∠BCE，
∴∠EAC=∠PCB，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠BAC+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC⊥OC
∴直线PC与⊙O相切
陷阱揭密五
易错点5：对切线的定义及性质理解不深，不能准确的利用切线的性质进行解题以及对切线的判定方法两种方法使用不熟练。
1．如图，AB是半圆O的直径，点C为半径OB上一点，过点C作CD丄AB交半圆O于点D，将△ACD沿AD折叠得到△AED，AE交半圆于点F，连接DF．
（1）求证：DE是半圆的切线：
（2）连接0D，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得到∠OAD=∠ODA，由图形翻折变换的性质可得到∠CDA=∠EDA，再根据CD⊥AB即可得出结论；
（2）连接OF，可知OC=BC=OB=OD，由平行线的判定定理可得出OD∥AF，进而可得出△FAO是等边三角形，由等边三角形的性质可判断出四边形ODFA是平行四边形，由OA=OD即可得出结论．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，则OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵△AED由△ACD对折得到，
∴∠CDA=∠EDA，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠CDA=∠ODA+∠EDA=90°，D点在半圆O上，
∴DE是半圆的切线；
（2）四边形ODFA是菱形，
如图，连接OF，
∵CD⊥OB，
∴△OCD是直角三角形，
∴OC=BC=OB=OD，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴∠DOC=60°，
∵∠DOC=∠OAD+∠ODA，
∴∠OAD=∠ODA=∠FAD=30°，
∴OD∥AF，∠FAO=60°，
又∵OF=OA，
∴△FAO是等边三角形，
∴OA=AF，
∴OD=AF，
∴四边形ODFA是平行四边形，
∵OA=OD，
∴四边形ODFA是菱形．
1.如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝2，求⊙O的半径.
【解答】：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，设OA＝OB＝x，在Rt△AOB中，由勾股定理得x2＋x2＝22，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝， ∴⊙O的半径为.（或：如图1，连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠C，∵∠C＝45°，∴∠AOB＝45°×2＝90°，又∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，在Rt△AOB中，sin∠OAB＝，∴OB＝ABsin45°＝2×，即的半径为.）
【分析】： 本题错解的原因是圆周角定理运用错误，且求半径时的过程不完整，省去的过程过多.利用圆周角定理时通常都需要作辅助线连接半径，利用圆周角定理的推论时通常都需要连接某条弦或作直径，以得到90°角或实现角的等量转换.
2．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（ ）
A．12.5° B．15° C．20° D．22.5°
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF=∠AOF=30°，根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：连接OB，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OC=AB，又OA=OB=OC，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB为等边三角形，
∵OF⊥OC，OC∥AB，
∴OF⊥AB，
∴∠BOF=∠AOF=30°，
由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°，
故选：B．
陷阱揭密六
易错点6：圆周角定理是重点，同弧（等弧）所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角。直角的圆周角所对的弦是直径，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．8
【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．
【解答】解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=2∠A=45°，
∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=OC=2，
∴CD=2CE=4．
故选：C．
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：
①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【分析】①由直径所对圆周角是直角，
②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论；
⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．
【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，
∴∠AOC≠∠AEC，
③、∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠DBC，
∴BC平分∠ABD，
④、∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO=90°，
∵点O为圆心，
∴AF=DF，
⑤、由④有，AF=DF，
∵点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD=2OF，
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，
∴△CEF与△BED不全等，
故选D
1．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（ ）
A．12πcm2 B．26πcm2 C．πcm2 D．（4+16）πcm2
【分析】利用勾股定理求得圆锥的母线长，则圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，
圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．
2．如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）
A．cm B．（2+π）cm C．cm D．3cm
【分析】通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠AC（A）=120°，
点B两次翻动划过的弧长相等，
则点B经过的路径长=2×=π．
故选C．
陷阱揭密七
易错点7：圆的面积公式，圆周长公式，弧长，扇形面积，圆锥的侧面积以及全面积以及弧长与底面周长，母线长与扇形的半径之间的转化关系.
1．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．m B．m C．m D．1m
【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．
【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．
在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，
则AD=OA?cos30°=．
则AB=2AD=，
则扇形的弧长是：=，
设底面圆的半径是r，则2π×1=，
解得：r=．
故答案是：A．
2．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（ ）
A． B． C．π+1 D．
【分析】画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积．
【解答】
解：如图所示：
点A运动的路径线与x轴围成的面积=S1+S2+S3+2a=+++2×（×1×1）=π+1．
故选C．
1.希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查地点一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（ ）
A.被调查的学生有200人
B.被调查的学生中喜欢教师职业的有40人
C.被调查的学生中喜欢其他职业的占40%
D.扇形中，公务员部分所对应的圆心角为72°
【解答】
2.一组数据6,5,2，x，4的平均数是4，则这组数据的方差是_____________.
【解答】
3.下列事件是必然事件的是……………………………………………………………（ ）
A.有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B.方程x2－x＋1＝0有两个不等实根
C.面积之比为1︰4的两个相似三角形的周长之比也是1︰4
D.圆的切线垂直于过切点的半径
【解答】
D 解析：两边一角中，一角为夹角时全等，一角不是夹角时不全等，∴A是随机随机；
∵△＝（﹣1）2－4×1×1＝﹣3＜0，方程无实数根，∴B为不可能事件；
面积之比为1︰4的两个相似三角形的相似比为＝1︰2，∴周长之比＝相似比＝1︰2，∴C是不可能事件；
D是圆的切线性质定理，∴D是必然事件.
4.在学习“二元一次方程组的解”时，数学张老师设计了一个数学活动.有A、B两组卡片，每组各三张，A组卡片上分别写有0、2、3；B组卡片上分别写有﹣5、﹣1、1.每张卡片除正面写有不同数字外，其余均相同.甲从A组随机抽取一张记为x，乙从B组随机抽取一张记为y.
（1）若甲抽出的数字是2，乙抽出的数字是﹣1，它们恰好是方程ax－y＝0的解，求a的值；
（2）求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程ax－y＝5的解的概率.（请用树状图或列表法求解）
【解答】
（1）将x＝2，y＝﹣1代入方程得：2a＋1＝5，∴a＝2；
（2）列表如下：
0
2
3
﹣5
（0，﹣5）
（2，﹣5）
（3，﹣5）
﹣1
（0，﹣1）
（2，﹣1）
（3，﹣1）
1
（0，1）
（2，1）
（3，1）
5.已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，且AB＝8cm，则AC的长为…………………………………………………………………………………………（ ）
A.2cm B. 2cm或4cm C.4cm D. 2cm或4cm
【解答】B
【分析】：如图1，当弦AB在圆心O的左侧时，连接OA，∵直径CD⊥AB，∴AM＝AB＝4，∵OA＝5，∴在Rt△AMO中，由勾股定理得OM＝3，∴CM＝OC－OM＝5－3＝2，∴在Rt△ACM中，由勾股定理得AC＝；如图2，当弦AB在圆心O的右侧时，连接OA，∵直径CD⊥AB，∴AM＝AB＝4，∵OA＝5，∴在Rt△AMO中，由勾股定理得OM＝3，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8，∴在Rt△ACM中，由勾股定理得AC＝.∴选B.
6．如图，在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若AP=4，PB=6，CP=3，则PD的长为 8 ．
【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算．
【解答】解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，∴DP===8．
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=∠AOC，
∴∠COD=∠B=60°；
在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，
∴CD=OC=2，
∴AC=2CD=4．
故选A．
8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（ ）
A．80° B．100° C．110° D．130°
【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°，
∴∠1=260°，
∵∠A=∠1，
∴∠A=130°．
故选：D．
10．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C，得到答案．
【解答】解：∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，
∴=，
∴∠DOB=2∠C=50°．
故选：D．
11．如图，圆锥的母线长为2，底面圆的周长为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．3π B．3 C．6π D．6
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得该圆锥的侧面积=×2×3=3．
故选：B．
12．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用S△ABC﹣S扇形BOE=图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE∥AD，
∵弧BE的长为π，
∴=π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2，
∴BC=AB=，
∴AC==3，
∴S△ABC=×BC×AC=××3=，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE=﹣=﹣．
故选：D．
13．已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD=．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD=2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出OA、OD，求出tan∠ADO=tan∠APD=，得出∠ADO=∠APD，推出∠DAO+∠APD=90°，求出∠PDA=90°即可；
（2）求出AD、PD，AP，求出P的坐标，设直线PD的解析式是：y=kx+4，把P的坐标代入求出直线的解析式，设M的坐标是（x，x+4），当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，根据S△MOD=2S△AOD，推出×4×（﹣x）=2××2×4，求出x，求出此时M坐标，当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入求出即可．
【解答】（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO===，
∵tan∠APD=，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°﹣90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．
（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2，
在Rt△PDA中，tan∠APD==，
即PD=4，
由勾股定理得：AP==10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（﹣8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐标代入得：0=﹣8k+4，
解得：k=，
∴直线PD的解析式是y=x+4，
假如存在M点，使得S△MOD=2S△AOD，
设M的坐标是（x，x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S△MOD=2S△AOD，
∴×4×（﹣x）=2××2×4，
解得：x=﹣4，
y=x+4=2，
即此时M坐标是（﹣4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y=x+4得y=6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S△MOD=2S△AOD，点M的坐标是（﹣4，2）或（4，6）．
