第4讲 中考闯关必刷易错题（四）
建议：
一、仔细读题，至少两遍;
二、验算工整，防止计算错误，也方便检查。
三、回头检查，主要是检查没有把握的题目,如果验算，可以换种方法。比如用配方法求的二次函数解析式，可以用公式法检验是否正确；
四、深挖根源。对粗心的相关知识点要梳理。
1．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+（b﹣3）2=0，则c的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知|ab﹣4|+（b﹣2）2=0，则a+b的值是（ ）
A．4 B．0 C．0或4 D．±2
陷阱揭密一
易错点1：非负数的性质，几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。
1．当式子（2x﹣1）2+2取最小值时，x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0.5 D．﹣0.5
2．若|a+3|=﹣（b﹣2）2，则ab的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6
1．计算：3tan30°﹣+（2016+π）0+（﹣）﹣2．
2．计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++|﹣|
陷阱揭密二
易错点2：计算第一题必考。五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
1．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
2.计算：（2﹣）2012?（2+）2013﹣2﹣（）0．
1．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．3
陷阱揭密三
易错点3：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.
1．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对
2．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A． B．4 C． D．5
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2
陷阱揭密四
易错点4：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。
1．如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
1.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为……………………………………………………………（ ）
A.2.5 B. C. D.2
陷阱揭密五
易错点5：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.等腰直角三角形性质运用。
1. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB，若DG=3，EC=1，则DE的长为……………………（ ）
A.2 B.2 C. D.
【解答】
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
陷阱揭密六
易错点6：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。
2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是___________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.
3.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列判断：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.其中正确的有……………………………………………………………………（ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
1.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接FG.下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG.其中正确结论的序号是_______________________.
2．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．
陷阱揭密七
易错点7：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系。
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
1．无论a取何值，下列代数式的值总是正数的有（ ）
|a+1|，a2+3，a+100，|a|+1，a2n+1（n是整数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．计算：．
3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．
4．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．下列判断错误的是（ ）
A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
6．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．
7．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（ ）
A．28 B．32 C．18 D．25
8．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
9．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
10．如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
11．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG=GH=HC；③EG=BG；④S△ABE=S△AGE，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知EO=，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
第4讲 中考闯关必刷易错题（四）
解题建议：
一、仔细读题，至少两遍;
二、验算工整，防止计算错误，也方便检查。
三、回头检查，主要是检查没有把握的题目,如果验算，可以换种方法。比如用配方法求的二次函数解析式，可以用公式法检验是否正确；
四、深挖根源。对粗心的相关知识点要梳理。
1．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+（b﹣3）2=0，则c的值可以为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．
【解答】解：由题意得，a﹣5=0，b﹣3=0，
解得a=5，b=3，
∵5﹣3=2，5+3=8，
∴2＜c＜8，
∴c的值可以为7．
故选A．
2．已知|ab﹣4|+（b﹣2）2=0，则a+b的值是（ ）
A．4 B．0 C．0或4 D．±2
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：由题意得，ab﹣4=0，b﹣2=0，
解得b=2，a=±2，
则a+b=0或4．
故选：C．
陷阱揭密一
易错点1：非负数的性质，几个非负数的和为0，每个式子都为0；整体代入法；完全平方式。
1．当式子（2x﹣1）2+2取最小值时，x等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0.5 D．﹣0.5
【分析】根据非负数的性质解答即可．
【解答】解：∵（2x﹣1）2，≥0，
∴2x﹣1=0时，式子（2x﹣1）2+2取最小值，
∴x=0.5．
故选：C．
2．若|a+3|=﹣（b﹣2）2，则ab的值为（ ）
A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6
【分析】先移项，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：移项得，|a+3|+（b﹣2）2=0，
所以，a+3=0，b﹣2=0，
解得a=﹣3，b=2，
所以，ab=（﹣3）2=9．
故选C．
1．计算：3tan30°﹣+（2016+π）0+（﹣）﹣2．
【分析】先计算特殊角的三角函数值、分母有理化、零指数幂以及负整数指数幂，然后计算加减法．
【解答】解：原式=3×﹣+1+4，
=5．
2．计算：（）﹣2﹣6sin30°﹣（）0++|﹣|
【分析】先算负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可．
【解答】解：原式=4﹣6×﹣1+﹣+
=4﹣3﹣1+
=．
陷阱揭密二
易错点2：计算第一题必考。五个基本数的计算：0指数，三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简。
1．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．
【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
=﹣7+3．
2.计算：（2﹣）2012?（2+）2013﹣2﹣（）0．
【分析】根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运算，分别进行计算，再把所得的结果合并即可．
【解答】解：（2﹣）2012?（2+）2013﹣2﹣（）0
=[（2﹣）（2+）]2012?（2+）﹣﹣1
=2+﹣﹣1
=1．
1．如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．
【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．
S△ABC=BC?h=16，
S阴影=S△AGH+S△CGH=GH?h1+GH?h2=GH?（h1+h2）=GH?h．
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，
∴GH=BD=BC，
∴S阴影=×（BC?h）=S△ABC=4．
故选B．
2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（ ）
A．2 B． C． D．3
【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．
【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC===4，
∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，
∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，
∴AG=BG=2
∵S△ABC=?AB?AC=×2×2=4，
∴S△ADC=2，
∵=2，
∴GH=BG=，
∴BH=，
又∵EF=AC=2，
∴S△BEF=?EF?BH=×2×=，故选C．
陷阱揭密三
易错点3：三角形的概念，三角形中三种重要的线段——角平分线、中线、高.
1．已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（ ）
A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对
【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．
【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得BD=15；
在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得CD=6．
当AD在三角形的内部时，BC=15+6=21；
当AD在三角形的外部时，BC=15﹣6=9．则BC的长是21或9．
故选D．
2．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A． B．4 C． D．5
【分析】由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，证△ADC≌△BDH后求解．
【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，
∴△ADC≌△BDH，
∴BH=AC=4．
故选B．
1．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于原三角形周长的一半．
【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），
∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，
又∵FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，
∴EG+GF=（AD+BC），
∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，
∴EG+GF=6，FE=3，
∴△EFG的周长是6+3=9．
故选B．
2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN、EM，若AB=5cm，BC=8cm，DE=4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1cm2 B．1.5cm2 C．2cm2 D．3cm2
【分析】根据题意，易得MN=DE，从而证得△MNO≌△EDO，再进一步求△ODE的高，进一步求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接MN，作AF⊥BC于F．
∵AB=AC，
∴BF=CF=BC=×8=4，
在Rt△ABF中，AF==，
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，即平分三角形的高且MN=8÷2=4，
∴NM=BC=DE，
∴△MNO≌△EDO，O也是ME，ND的中点，
∴阴影三角形的高是AF÷2=1.5÷2=0.75，
∴S阴影=4×0.75÷2=1.5．故选B．
陷阱揭密四
易错点4：中点，中线，中位线，一半定理的归纳以及各自的性质。
1．如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据图形可知△DFE是△ADE对折而成，所以两三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中点，故有BD=DF，那么①可证；再利用∠ADF是△BDF的外角，可证∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，②得证；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的对折，可得∠EFC=∠ECF，即△EFC也是等腰三角形，而∠B≠∠C，即∠DFB，∠DFE，∠EFC，不会同时为60°，那么∠DFE≠∠CFE，故②不成立．
【解答】解：由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，
∴AD=FD，
又∵点D为AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，故（1）正确；
由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，
∴∠FDE=∠DFB，
∴DE∥BC，点E也是AC的中点，故（3）正确；
同理可得△EFC也为等腰三角形，∠C=∠EFC，由于△ABC是非等腰的，
∴∠C≠∠B，也即∠EFC≠∠DFB，
∴∠EFC与∠DFB，∠DFE不都等于60°，
∴②∠DFE=∠CFE就不成立．
故选B．
2．如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）
A．四边形AEDF一定是平行四边形
B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【解答】解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED=AC=AF；同理DF∥AB，且DF=AB=AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．
B、若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形，正确；
C、若AD平分∠A，延长AD到M，使DM=AD，连接CM，由于BD=CD，DM=AD，
∠ADB=∠CDB，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM=AB，又∵∠DAB=∠CAD，
∠DAB=∠CMD，∴∠CMD=∠CAD，∴CA=CM=AB，因AD平分∠A
∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，
结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角
∴不能判定四边形AEDF是正方形；
D、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确．
故选C．
1.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长为……………………………………………………………（ ）
A.2.5 B. C. D.2
【分析】：本题由于不能准确找到直角三角形并利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质而造成错解.
正确的解法是：如图，连接AC、CF，∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，∴由勾股定理或三角函数可得AC＝，CF＝3，又∵∠ACD＝∠FCG＝45°，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AF＝＝＝2，又∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×2＝.不善于添加辅助线来求解问题也是造成错解的主要原因之一.
【解答】：B
陷阱揭密五
易错点5：直角三角形的性质与判定，特别注意的两条性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.等腰直角三角形性质运用。
1. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB，若DG=3，EC=1，则DE的长为……………………（ ）
A.2 B.2 C. D.
【解答】B
【分析】
1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以．
【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，
故选B．
陷阱揭密六
易错点6：平行四边形的性质和判定，如何灵活、恰当地应用。
2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是___________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF.
【解答】：①②④
【分析】：本题由于不能灵活运用平行四边形与三角形的有关内容而造成错解，添加适当的辅助线是解决本题的关键.
正确的解法是：如图1，分别延长EF、CD相交于点G.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，又∵AD＝2AB，F是AD的中点，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，又∵∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCD，∴①正确；∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠FCD，又∵CE⊥AB，∴∠FCD＝90°，又∵∠A＝∠FDG，AF＝DF，∠AFE＝∠DFG，∴△AFE≌△DFG（ASA），∴EF＝GF，∴EF＝CF，∴②正确；∵S△BEC＝BE×CE，S△ECG＝CG×CE，又∵E在线段AB上，∴BE＜AB＝CD＜CG，∴S△BEC＜S△ECG，又∵EF＝GF，∴S△EFC＝S△FCG（等底同高的三角形面积相等），∴S△ECG＝2S△EFC，∴S△BEC＜2S△EFC，∴③错误；∵FG＝FC，∴∠G＝∠FCG，∴∠AEF＝∠FCG，∴∠BCD＝2∠AEF，又∵∠BCD＝∠A，∴∠A＝2∠AEF，又∵∠DFE＝∠A＋∠AEF，∴∠DFE＝3∠AEF，∴④正确.故答案填①②④.
3.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列判断：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；若AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.其中正确的有……………………………………………………………………（ ）
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
【解答】：C
【分析】∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，∴①正确；∵∠BAC＝90°，且四边形AEDF是平行四边形，∴②正确；∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵DE∥CA，∴∠FAD＝∠EDA，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，又∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，∴③正确；∵AB＝AC且AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，∴由③得，四边形AEDF是菱形，∴④错误.∴选C.
1.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接FG.下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG.其中正确结论的序号是_______________________.
【解答】：①④⑤
【分析】：本题的综合性较强，不能很好地利用正方形的特殊性质是造成错解的主要原因.对于①：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠DAC＝∠ABD＝45°，由折叠可得△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠FDE＝∠ADB＝×45°＝22.5°，∴∠AGD＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－45°－22.5°＝112.5°，故①正确；对于②：由折叠可得∠EFB＝90°，又∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，又EF＝AE，∴BE＝AE，∴AD＝AB＝(＋1)AE.在Rt△ADE中，tan∠AED＝＝＋1，故②错误；对于③：由折叠可得AG＝FG，又∵在Rt△OGF中，GF＞OG，∴AG＞OG，又∵S△AGD＝AG×DO，S△OGD＝GO×DO，∴S△AGD＞S△OGD，故③错误；对于④：∵∠AGD＝112.5°，∴∠AGE＝180°－∠AGD＝180°－112.5°＝67.5°，又∵在Rt△AED中，∠ADE＝22.5°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝90°－22.5°＝67.5°，∴AE＝AG，又由折叠可得，AE＝FE，AG＝FG，∴AE＝EF＝GF＝AG，∴四边形AEFG是菱形，故④正确；对于⑤：∵四边形AEFG是菱形，∴EF＝GF，AB∥GF，∴∠GFO＝∠ABO＝45°，∴△GFO、△EBF均为等腰直角三角形，∴GF＝GO，∴EF＝GO，又∵BE＝EF，∴BE＝×GO＝2GO，故⑤正确.∴本题答案为①④⑤.
2．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=10，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．
（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，
（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．
【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．
∵PE=PF=6，EF=6，
∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．
在Rt△FPG中，sin∠FPG===，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=120°．
（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．
∵AC为菱形ABCD的对角线，
∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．
在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴ME=NF．
又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，
∴AM=AN=APcos30°=10×=5，
∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．
（3）如图，
当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P之间运动，
∴P′O=PO=3，AO=9，
∴AP的最大值为12，AP的最小值为6。
陷阱揭密七
易错点7：矩形、菱形与正方形的概念、性质与判定以及相互间的关系。
1．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
【分析】（1）由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD?tan∠DAM=即可；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．
【解答】解：（1）由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD?tan∠DAM=3×tan30°=3×=；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=32+x2，
解得：x=4，
∴NQ=4，AQ=5，
∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN?NQ=××3×4=；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴=，
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图3所示：
由折叠性质得：AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得：BH===，
∴CF=，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．
1．无论a取何值，下列代数式的值总是正数的有（ ）
|a+1|，a2+3，a+100，|a|+1，a2n+1（n是整数）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方数非负数，绝对值非负数的性质对各数分析判断即可得解．
【解答】解：a=﹣1时，|a+1|=0，0既不是正数也不是负数，
a2+3是正数，
a≤﹣100时，a+100不是正数，
|a|+1是正数，
a2n+1是正数，
综上所述，代数式的值总是正数的有3个．
故选C．
2．计算：．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1+2﹣（+1）﹣+2，然后去括号合并即可．
【解答】解：原式=1+2﹣（+1）﹣+2
=1+2﹣﹣1﹣+2
=2．
3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．
【分析】运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．
【解答】解：原式=﹣1++4﹣3
=．
4．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】因为四边形的两条对角线相等，根据三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
【解答】解：如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∵AC=BD，
∴EH=FG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：C．
5．下列判断错误的是（ ）
A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定方法、正方形的判定方法、矩形的判定方法以及菱形的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：A、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，正确；
C、对角线相等平分的四边形是矩形，错误；
D、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确；
故选C．
6．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．
【分析】先取AB的中点H，连接EH，根据∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．
【解答】证明：取AB的中点H，连接EH；
∵∠AEF=90°，
∴∠2+∠AEB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠AEB=90°，
∴∠1=∠2，
∵E是BC的中点，H是AB的中点，
∴BH=BE，AH=CE，
∴∠BHE=45°，
∵CF是∠DCG的角平分线，
∴∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
7．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（ ）
A．28 B．32 C．18 D．25
【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长．
【解答】解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE=AB=6，BN=NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE=2MN=2×1.5=3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25，
故选D．
8．如图DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，则AG：GD等于（ ）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【分析】过E作EM∥AB与GC交于点M，构造全等三角形把DG转移到和AG有关的中位线处，可得所求线段的比．
【解答】解：过E作EM∥AB与GC交于点M，
∴△EMF≌△DGF，
∴EM=GD，
∵DE是中位线，
∴CE=AC，
又∵EM∥AG，
∴△CME∽△CGA，
∴EM：AG=CE：AC=1：2，
又∵EM=GD，
∴AG：GD=2：1．
故选A．
9．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（ ）
A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7
【分析】本题的关键是求出S△DMN，先连接AM，由于DE是△ABC的中位线，那么DE∥BC，且DE=BC，M是DE中点，于是可知，DM=BC，在△BCN中，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得DN=BD，即，DN=AD，于是S△DMN=S△ADM，而S△ADM=S△ADE=S△ABC（可设S△ABC=1），那么S四边形ANME也可求，两者面积比也就可求．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
∴S△ADE=，
连接AM，根据题意，得S△ADM=S△ADE=S△ABC=，
∵DE∥BC，DM=BC，
∴DN=BN，
∴DN=BD=AD．
∴S△DNM=S△ADM=，
∴S四边形ANME==，
∴S△DMN：S四边形ANME=：=1：5．
故选A．
10．如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】利用平移性质可得图形ABCDEFG外围的周长等于等边三角形△ABC的周长加上AE，GF长，利用三角形中位线长定理可得其余未知线段的长．
【解答】解：∵△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，AB=AC=BC=4
∴DE=CD=AC=×4=2，EF=GF=AG=DE=×2=1
∴图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15
故选B．
11．如图，在?ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于G、H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG=GH=HC；③EG=BG；④S△ABE=S△AGE，其中正确的结论是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形全等的判定，由已知条件可证①△ABE≌△CDF；继而证得②AG=GH=HC；又根据三角形的中位线定理可证△ABG≌△DCH，得③EG=BG．而④S△ABE=S△AGE不正确．故正确的结论有3个．
【解答】解：在?ABCD中，AB=CD，∠BAE=∠DCF，BC=DA；
E、F分别是边AD、BC的中点，
∴AE=CF，
∴①△ABE≌△CDF；
BF∥DE，BF=ED?四边形BFDE是平行四边形?BE∥DF，
又AE=ED?AG=GH，同理CH=HG，即EG为△AHD的中位线，
∴②AG=GH=HC；
根据三角形的中位线定理，EG=DH，
容易证明△ABG≌△DCH?BG=DH，
∴③EG=BG；
④由AE＞GE知S△ABE＞S△AGE，
∴S△ABE=S△AGE不正确．
故选C．
12．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．
（1）已知EO=，求正方形ABCD的边长；
（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．
【分析】（1）根据正方形的性质以及勾股定理即可求得AC的长，再证得EO是△AFC的中位线，从而得EO、AC的长，知道AC的长后可求BC；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF，进一步得出∠BAF=∠BCN，然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN，进而证得△ABF∽△COM，根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN=CM．结合（1）求得的EM与CM的关系，可得EM与CN的数量关系．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CA==BC．
∵CF=CA，CE是∠ACF的角平分线，
∴E是AF的中点．
∵E、O分别是AF、AC的中点，
∴EO∥BC，且EO=CF，
∵EO=，
∴CA=CF=2，
∴BC=2．
∴正方形ABCD的边长为2；
（2）EM=CN．
证明：∵CF=CA，CE是∠ACF的平分线，
∴CE⊥AF，
∴∠AEN=∠CBN=90°，
∵∠ANE=∠CNB，
∴∠BAF=∠BCN，
在△ABF和△CBN中，
，
∴△ABF≌△CBN（AAS），
∴AF=CN，
∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，
∴∠BAF=∠OCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABF=∠COM=90°，
∴△ABF∽△COM，
∴=，
∴==，
即CM=CN．
由（1）知=，
∴EM=CM=×CN=CN．
