(共40张PPT)
3.3 公 式 法
第1课时
【知识再现】
用提公因式法进行因式分解时,数字系数要取各个系数
的_______________,含有字母的幂要取相同字母的最
_______次幂.?
最大公因数
低
【新知预习】阅读教材P63【动脑筋】和【例题】,解
决下面的问题,并归纳结论:
1.计算下列各题:
(1)(x+2)(x-2)=________.?
(2)(1+3a)(1-3a)=__________?
x2-4
1-9a2.
(3)x2-4= _______________.?
(4)1-9a2= _________________.?
(x+2)(x-2)
(1+3a)(1-3a)
2.观察上述各式和计算结果,我发现的规律是:
(1)公式法:把乘法公式从_______到_______地使用,就可
以把某些形式的多项式进行_____________,这种______
_______的方法叫做公式法.?
右
左
因式分解
因式
分解
(2)因式分解中的平方差公式
①语言叙述:两个数的平方差,等于这两个数的_______
与这两个数的_______的积.?
②符号表示:a2-b2= _______________.?
和
差
(a+b)(a-b)
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式能用平方差公式因式分解的是 ( )
A.-x2-y2 B.(-x)2-y2
C.(-x)2+y2 D.x2+(-y)2
B
2.多项式n2-4m2因式分解的结果为 _________________.?
3.因式分解:(a-2b)2-b2.
(n+2m)(n-2m)
解:(a-2b)2-b2
=(a-2b+b)(a-2b-b)
=(a-b)(a-3b).
知识点一 用平方差公式进行因式分解(P63-64例1,2,
3拓展)
【典例1】因式分解:
(1)16- m2.
(2)81y4-16x4.
(3)4(2p+3q)2-9(3p-q)2.
【自主解答】(1)16- m2=
(2)81y4-16x4=(9y2+4x2)(9y2-4x2)
=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x).
(3)4(2p+3q)2-9(3p-q)2
=[2(2p+3q)+3(3p-q)][2(2p+3q)-3(3p-q)]
=(4p+6q+9p-3q)(4p+6q-9p+3q)
=(13p+3q)(9q-5p).
【学霸提醒】
能应用平方差公式因式分解的多项式特点
(1)等号左边:
①是二项式;
②每一项都可以表示成平方的形式;
③两项的符号相反.
(2)等号右边是等号左边两底数的和与两底数的差的积.
【题组训练】
1.下列多项式不能用平方差公式因式分解的是( )
A.-m2-n2 B.-16x2+y2
C.b2-a2 D.4a2-49n2
A
★2.下列各式应用平方差公式进行因式分解:
①32-y2=9-y2;②a2-9b2=(a+9b)(a-9b);
③4x4-1=(2x2+1)(2x2-1);
④m2n2- = ;⑤-a2-b2=(-a+b)(-a-b).
其中正确的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
★3.因式分解:(2a+b)2-(a+2b)2=________________.?
★4.因式分解:
(1)(a+b)2-4a2.
(2)25(m+n)2-(m-n)2.
3(a+b)(a-b)
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)
=(3a+b)(b-a).
(2)原式=[5(m+n)+(m-n)][5(m+n)-m+n]
=(6m+4n)(4m+6n)=4(3m+2n)(2m+3n).
★★5.如图,从一张边长为a的正方形纸片的四个角处各剪去一个边长为b的正方形.
(1)求剩余部分的面积.
(2)如果a=3.6,b=0.8,
求剩余部分的面积.
解:(1)由题意可知,剩余部分的面积为大正方形的面积减去4个角处的小正方形的面积,即a2-4b2.
(2)当a=3.6,b=0.8时,a2-4b2=(a+2b)(a-2b)
=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)=10.4.
知识点二 提公因式法与平方差公式的综合应用(P64例4拓展)
【典例2】因式分解:
(1)2x-2y-x2+y2.
(2)x4(x-2y)+x2(2y-x).
【思路点拨】对于有公因式的多项式,要先提公因式,再用平方差公式进行因式分解.
【自主解答】(1)2x-2y-x2+y2
=2(x-y)-(x+y)(x-y)
=(x-y)(2-x-y).
(2)x4(x-2y)+x2(2y-x)
=x2(x-2y)(x2-1)
=x2(x-2y)(x+1)(x-1).
【学霸提醒】
提公因式法与平方差公式综合应用的一般步骤
“一提”“二套”“三查”.
一提:将一个多项式分解因式时,首先要观察被分解的多项式是否有公因式,若有,就要先提公因式;
二套:再观察另一个因式特点,进而发现其能否用公式法继续分解;
三查:因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
【题组训练】
1.因式分解a2b-b3结果正确的是 ( )
A.b(a+b)(a-b) B.b(a-b)2
C.b(a2-b2) D.b(a2+b2)
★2.因式分解am2-4an2的结果为__________________.?
A
a(m+2n)(m-2n)
★3.因式分解4x4-64的结果为_____________________.
世纪金榜导学号?
★4.分解因式: (1)a3b-4ab3.
(2)(3x+2y)2-(2x+3y)2.
4(x2+4)(x+2)(x-2)
解:(1)a3b-4ab3
=ab(a2-4b2)
=ab(a+2b)(a-2b).
(2)(3x+2y)2-(2x+3y)2
=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)
=(5x+5y)(x-y)
=5(x+y)(x-y).
★★5.若a为整数,a3-a是否一定能被6整除?为什么?
解:一定能被6整除.理由如下:
由a3-a=a(a+1)(a-1)可知,a,(a+1),(a-1)是三个连续的整数.
所以a·(a+1)·(a-1)既能被2整除,也能被3整除,故a3-a一定能被6整除.
【火眼金睛】
因式分解:(x-y+1)2-(x+y-3)2
【正解】原式=(x-y+1+x+y-3)(x-y+1-x-y+3)=
(2x-2)(4-2y)
=4(x-1)(2-y).
【一题多变】
已知x-y=3,y-z=3,x+z=14,求x2-z2的值.
解:因为x-z=(x-y)+(y-z)=6,
所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14×6=84.
【母题变式】
【变式一】先因式分解,再求值:
其中a=- ,b=2.
解:
= =ab.
把a=- ,b=2代入原式,得- ×2=- .
【变式二】现有一列式子:①552-452;②5552-4452;
③5 5552-4 4452…则第⑧个式子的计算结果用科学记
数法可表示为 ( )
A.1.111 111 1×1016 B.1.111 111 1×1027
C.1.111 111×1056 D.1.111 111 1×1017
D
(共41张PPT)
3.3 公 式 法
第2课时
【知识再现】
公式法:把乘法公式从_______到_______地使用,就可以
把某些形式的多项式进行_____________,这种________
_____的方法叫做公式法.?
右
左
因式分解
因式分
解
【新知预习】阅读教材P65【动脑筋】和【例题】,
解决下面的问题,并归纳结论:
1.计算下列各题:
(1)(x+3)2=___________.?
(2)(2-3a)2=_____________.?
x2+6x+9
4-12a+9a2
(3)x2+6x+9= __________.?
(4)4-12a+9a2= ___________
(x+3)2
(2-3a)2
2.观察上述各式和计算结果,我发现的规律是:
(1)完全平方公式可以进行逆应用,就可以把具备完全平方式的三项式进行因式分解.
(2)完全平方公式因式分解:
①语言叙述:两个数的平方和_________(或_________)
这两个数的积的______倍,等于这两个数的_______(或
_______)的平方.?
②用字母表示:a2±2ab+b2= ___________.?
加上
减去
2
和
差
(a±b)2
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
( )
A. x2-xy+y2
B.2x2+4x+1
A
C.2x2+4xy+y2
D.x2-y2+2xy
2.多项式x2+ax+4能用完全平方公式分解因式,则a的值
是 ________.?
3.因式分解:x2-x+ .
±4
解:原式=x2-x+
= .
知识点一 用完全平方公式进行因式分解(P65例5、6、7拓展)
【典例1】因式分解:
(1)4x2-12xy+9y2.
(2)(x-y)4-2(x-y)2+1.
(3)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1.
【思路点拨】题目(1)可直接利用完全平方公式进行因式分解.
题目(2)注意要把(x-y)看成整体,并且要分解到每个因式都不能再分解为止.
题目(3)要两次运用完全平方公式进行因式分解.
【自主解答】(1)4x2-12xy+9y2
=(2x-3y)2.
(2)(x-y)4-2(x-y)2+1
=[(x-y)2-1]2
=(x-y+1)2(x-y-1)2.
(3)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
=(x2+2x+1)2
=(x+1)4.
【学霸提醒】
完全平方公式因式分解的方法规律
1.先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式因式分解.
2.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
3.对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式因式分解.
4.如果三项中有两项能写成两数或两式的平方,但符号不是“+”时,可以先提取“-”,然后再用完全平方公式因式分解.
【题组训练】
1.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
( )
A.4x2-4x+1 B.9x2+3x+1
C.x2+4x+2y2 D.x2+5xy+25y2
A
★2.下列各式中,不是多项式2x2-4x+2的因式的是
( )
A.2 B.2(x-1)
C.(x-1)2 D.2(x-2)
D
★3.已知9x2-2mxy+16y2能用完全平方公式分解因式,则
m的值为_________.?
★★4.多项式(a+b)2-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结
果是___________. ?
★★5.分解因式:
±12
(3b-a)2
(1)16x2y2-40xy+25.
(2)x4+16y4+8x2y2.
(3)-4m2+12mn-9n2.
(4)(a-2b)2-12(a-2b)+36.
解:(1)原式=(4xy)2-40xy+52=(4xy-5)2.
(2)原式=(x2)2+2x2·4y2+(4y2)2=(x2+4y2)2.
(3)原式=-(4m2-12mn+9n2)=-(2m-3n)2.
(4)原式=(a-2b-6)2.
知识点二 综合运用提公因式法、公式法进行因式分解(P66例8拓展)
【典例2】(1)因式分解:a4b-6a3b+9a2b.
(2)已知a-b=5,ab=3,求代数式a3b-2a2b2+ab3的值.
【自主解答】(1)a4b-6a3b+9a2b
=a2b(a2-6a+9)
=a2b(a-3)2.
(2)a3b-2a2b2+ab3
=ab(a2-2ab+b2)
=ab(a-b)2.
把a-b=5,ab=3代入原式,得3×52=75.
【学霸提醒】
因式分解的技巧
1.首选提取公因式法:即首先观察多项式中各项有没有公因式.若有,则先提取公因式,再考虑其他方法.
2.当多项式各项无公因式或已提取公因式时,应观察各多项式的项数.
(1)当项数为两项或可看作两项时,考虑利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)当项数为三项时,可考虑完全平方公式.
(3)当项数为四项或四项以上时,可考虑对原式进行整理变形.
3.以上两种思路无法进行因式分解时,这时考虑展开后分解或拆(添)项后再分解.
【题组训练】
1.把多项式ax3-2ax2+ax分解因式,结果正确的是( )
A.ax(x2-2x) B.ax2(x-2)
C.ax(x+1)(x-1) D.ax(x-1)2
D
★2.下列代数式3(x+y)3-27(x+y)因式分解的结果正确
的是 ( )
A.3(x+y)(x+y+3)(x+y-3)
B.3(x+y)[(x+y)2-9]
C.3(x+y)(x+y+3)2
D.3(x+y)(x+y-3)2
A
★3.多项式m2n-mn+ n因式分解的结果为________.?
★★4.若一个长方形的面积是x3+2x2+x,且一边长为x+1,
则其邻边长为________. ?
x2+x
★★5.因式分解:
(1)9x3y3-21x3y2+12x2y2.
(2)x2(x-y)+y2(y-x).
(3)(a-b)2-4(a-b)c+4c2.
(4)(m-4)(m+1)+3m.
解:(1)原式=3x2y2(3xy-7x+4).
(2)原式= x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)
=(x-y)(x-y)(x+y)=(x-y)2(x+y).
(3)原式=(a-b-2c)2.
(4)原式=m2-3m-4+3m= m2-4
=(m+2)(m-2).
【火眼金睛】
因式分解: x2-2x+3.
【正解】原式= (x2-6x+9)
= (x-3)2.
【一题多变】
因式分解:4x2-12xy+9y2.
解:4x2-12xy+9y2
=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2
=(2x-3y)2.
【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)已知xy=3,x2-2xy+4y2=10,求x-2y的值.
解:由x2-2xy+4y2=10,得
x2-4xy+4y2+2xy=10,
即(x-2y)2+2xy=10.
把xy=3代入上式,得(x-2y)2+6=10.
所以,(x-2y)2=4.
故x-2y=±2.
【变式二】(变换条件和问法)若ab= ,a+b= ,
求多项式a3b+2a2b2+ab3的值.
解:a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2.
把ab= ,a+b= 代入原式,得 × = .
