3.2 一元二次不等式及其解法 课件 31张PPT

(共31张PPT)
第三章——第二节
一元二次不等式及其解法
（重点）
[学习目标]

1.掌握一元二次不等式的概念
2.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
3.掌握图象法解一元二次不等式的方法
4.培养数形结合、分类讨论思想方法
（难点）
[情境导入]
学校要在长为8,宽为6?的一块长方形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,中间种植草坪，为了美观,现要求草坪的种植面积超过总面积的一半,此时花卉带的宽度的取值范围是什么?
[新课讲解]
1.一元二次不等式的概念
(1)一般地，只有一个未知数，且未知数的 的不等式，叫做一元二次不等式.
(2)一元二次不等式的一般表达形式为_________________或 (a≠0)，其中a，b，c均为常数.
ax2＋bx＋c<0
最高次数是2
ax2＋bx＋c>0(a≠0)
知识点一　“三个二次”的关系
思考　
分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系.
答案
△>0
有两相异实根
x1, x2 (x1{x|xx2}
{x|x1< x △=0
△<0
有两相等实根
x1=x2=
{x|x≠ }
Φ
Φ
R
没有实根
2.一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式
△=b2- 4ac

y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
思考　
知识点二　一元二次不等式的解集
不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.
答案
我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？
[问题导学]
知识点三　一元二次不等式的解法
思考　
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.
先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
答案
解一元二次方程的步骤
解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(求根)
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；（作图）
(3)由图象得出不等式的解集.（写解集）
梳理　
类型一　一元二次不等式的解法
命题角度1　二次项系数大于0
例1　求不等式4x2－4x＋1>0的解集.
解答
因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝ ，
所以原不等式的解集为 .
题型探究
跟踪训练1　求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
解答
∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－ ，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是
{x|x≤－ 或x≥2}.
命题角度2　二次项系数小于0
例2　解不等式－x2＋2x－3>0.
解答
不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是?.
跟踪训练2　求不等式－3x2＋6x>2的解集.
解答
不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，




∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
课堂检测
1.不等式2x2－x－1>0的解集是
答案
解析
1
2
3
√
4
∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，



1
2
3
4
2.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
√
答案
解析
1
2
3
4
∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥ 或x≤ .
3.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7A.1 B.2 C.3 D.4
√
答案
解析
1
2
3
4
由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
∴－7×(－1)＝ ，故a＝3.
1.解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集.
命题角度3　含参数的二次不等式
例3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
解答
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3　解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
解答
当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，原不等式无解.
综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}；
当a＝0或a＝1时，解集为?.
类型二　“三个二次”间对应关系的应用
例4　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集.
解答
由根与系数的关系，可得





∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
题型探究
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4　已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1解答
方法一　由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.





方法二　把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围.
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时解集为R.




1
2
3
4
解答
解得－2综上所述，a的取值范围为(－2,2].
2.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.
当m0，则可得x>n或x若(x－m)(x－n)<0，则可得m有口诀如下：大于取两边，小于取中间.