18.2.3 正方形性质同步练习1（附答案）

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第十八章 平行四边形
18.2.3正方形性质 同步练习
一、单选题（共5题；共10分）
1.如图，在正方形ABCD中，点E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，连接AE，交CD于点F，若AB＝1，则线段DF的长是（?? ）

A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?2﹣ ????????????????????????????????????D.? ﹣1
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(?? ).
A.?四条边都相等???????????B.?对角线互相垂直且平分??????????
?C.?对角线相等???????? ???D.?对角线平分一组对角
3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为(????? )

A.????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?5
4.正方形具有而菱形不一定具有的特征是（?? ）
A.?对角线互相垂直平分??????????????B.?内角和为360°???????????
??C.?对角线相等?????????? ????D.?对角线平分内角
5.下列命题正确的是（?? ）
A.?平行四边形的对角线互相垂直平分??????????????????????B.?矩形的对角线互相垂直平分
C.?菱形的对角线互相平分且相等?????????????????????????????D.?正方形的对角线互相垂直平分
二、填空题（共4题；共4分）
6.如果正方形的对角线长为 ，那么这个正方形的面积为________.
7.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是________度．
8.如图所示，E是正方形ABCD的BC边的延长线上一点，若CE=CA，AE交CD于F，则∠FAC=________度．

9.如图,E是正方形ABCD内一点，若 ABE是等边三角形,那么∠BCE=________。

三、解答题（共3题；共15分）
10.如图，在正方形ABCD中，E，F是BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形．

11.如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．

12.如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重合)，AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．求证：AE=FC+EF．
?


参考答案
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，
∴AB＝CD＝AD＝1，AC＝CE＝ ，AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF，
∴ ，
∴
∴DF＝ ﹣1
故答案为：D．
【分析】由正方形的性质可得AB＝CD＝AD＝1，AC＝CE＝ ，AD∥CE，通过证明△ADF∽△ECF，可得 ，即可求解．
2.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、正方形和菱形的四条边都相等，故A不合题意；
B、正方形和菱形的对角线都互相垂直且平分，故B不合题意；
C、正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故C合题意；
D、正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不合题意；
故选：C.
【分析】正方形的四条边相等，对角线互相垂直、平分、相等，且对角线平分一组对角；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分且平分一组对角，据此逐一判断即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故答案为：B。
【分析】根据正方形的四个角都是直角得出∠B＝90°，从而利用勾股定理得出BC2 ， 最后根据正方形ABCD的面积等于BC2即可得出答案。
4.【答案】 C
【解析】【解答】A选项中对角线互相垂直平分的有菱形和正方形；
B选项中所有的四边形的内角和为360°；
C选项中对角线相等的有矩形和正方形；
D选项中对角线平分内角的有菱形。
故答案为：C
【分析】正方形具有平行四边形、菱形和矩形的一切性质；菱形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分且一条对角线平分一组对角；矩形的性质是对边平行且相等，对角相等，对角线相等且互相平分。
5.【答案】D
【解析】【解答】A、平行四边形的对角线互相平分，故A不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，故C不符合题意；
D、正方形的对角线互相垂直平分，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】此题实质就是区分几种特殊的四边形的对角线的性质：根据平行四边形对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的对角线相等且互相垂直平分；即可一一判断得出答案。
二、填空题
6.【答案】 1
【解析】【解答】正方形的面积= .
故答案为：1.
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
7.【答案】22.5
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：
∠ACE=∠AEC= （180°﹣∠CAE）=67.5°；
∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．
【分析】根据正方形的性质得出∠CAB=∠BCA=45°；根据等腰三角形的性质得出∠ACE=∠AEC=?（180°﹣∠CAE）=67.5°；再根据角的和差即可算出答案。
8.【答案】22.5
【解析】【解答】解：∵AC为正方形ABCD的对角线
∴∠ACB=45°
∵CE=CA
∴∠CEA=∠CAE
∵∠ACB是∠CEA和∠CAE的外角
∴∠FAC=22.5°
故答案为：22.5．
【分析】先根据正方形的性质及等边对等角的性质可得到，∠CEA=∠CAE，再根据外角的性质即可求得∠FAC的度数．
9.【答案】 75
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
?∵△ABE是等边三角形 ，
∴∠ABE=60°，BE=AB，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，BE=BC，
∴∠BCE=（180°-30°）75°.
故答案为：75.
【分析】利用正方形及等边三角形的性质可得∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，BE=BC，根据等腰三角形及三角形内角和定理即可求出结论.
三、解答题
10.【答案】明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OD=OB，OA=OC，BD⊥AC，
∵BE=DF，
∴DE=BF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为菱形．

【解析】【分析】由对角线互相垂直平分的四边形是菱形，AO=CO，EO=FO，AC⊥EF即可证得．
11.【答案】证明：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠C=90°， 所以，∠DAF=90°，
所以，∠DAF=∠C，
在△ADF和△CDE中， ，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE=DF．
【解析】【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，∠BAD=∠C=90°，然后求出∠DAF=∠C，再利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
12.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，
又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴∠AED=∠DFC=90°，
∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠FDC，
∴△AED≌△DFC(AAS)，∴AE=DF，ED=FC，
∵DF=DE+EF，∴AE=FC+EF
【解析】【分析】利用正方形的特性可知AD=DC，∠ADC=90°，再结合题中所给的有关角的等量关系可证明△AED≌△DFC．得到AE=DF，ED=FC，容易发现DF=DE+EF，进行边的等量代换即可得证.



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