人教B版高中数学必修第一册2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计
文档属性
| 名称 | 人教B版高中数学必修第一册2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 508.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-09 11:47:13 | ||
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文档简介
第二章 等式与不等式
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计
本节内容结合初三学过的一元二次方程，三角形相似，勾股定理，必修一集合的知识，让学生通过古代数学语言，体会数学在实际生活中的应用，了解近年来高考的语境。
【教学目标】
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.
2、掌握一元二次方程根与系数的关系.
3、会用整体代入法解一元二次方程.
4、学会用配方法推出一元二次方程的解集.
5. 灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.
【核心素养】
数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。
逻辑推理: 由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。
数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。
数学运算: 掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。
数据分析: 对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。
【教学重点】
掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程.
用根与系数的关系解题.
实际情景问题中构建一元二次方程模型.
【教学难点】
用整体代入法解一元二次方程.
灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题.
回顾初中所学的一元二次方程，三角形相似，勾股定理等知识。
一、一元二次方程的解集
【情境与问题】
我们知道，形如
ax2+bx+c=0
的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
【尝试与发现】
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为
x2=t
的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的.（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）
例如，方程x2=3的解集为{一，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为?.
一般地，方程x2=t：
当t>0时，解集为 {，-} ；
（2）当t=0时，解集为 {0} ；
（3）当t<0时，解集为 ? .
更进一步，形如(x-k)2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到.例如，由(x-1)2=2可知x-1=﹣或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}.
一般地，方程(x-k)2=t：
当t>0时，解集为 ；
当t=0时，解集为 ；
当t<0时，解集为 .
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集.
【尝试与发现】
我们知道,利用配方法可得
x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2
因此x2+2x+3=0可以化为(x+1)2 =﹣2,从而解集为?.
事实上,利用配方法,总是可以将 ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:因为a≠0,所以
一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。
前述情境与问题中的方程可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）.
【典型例题】
例1 求方程的解集.
分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解 设 =y,则y≥0,且原方程可变为
因此可知y=1+或y=1-(舍)
从而=1+,即x=3+2,所以原方程的解为{3+2}.
一元二次方程根与系数的关系
我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
①
①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根.
【尝试与发现】
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.
【典型例题】
例2 已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12+x22； （2）|x1-x2|.
【尝试与发现】
解 : 如下图所示:
本节内容新引用了“整体代入法”数学思想，也有一元二次方程常考的“分类讨论”思想，对学生的运算能力有一定的要求。
2.1 等式
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系教学设计
本节内容结合初三学过的一元二次方程，三角形相似，勾股定理，必修一集合的知识，让学生通过古代数学语言，体会数学在实际生活中的应用，了解近年来高考的语境。
【教学目标】
1、掌握一元二次方程一般式解集的方法.
2、掌握一元二次方程根与系数的关系.
3、会用整体代入法解一元二次方程.
4、学会用配方法推出一元二次方程的解集.
5. 灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.
【核心素养】
数学抽象：学会整体代入法解特殊一元二次方程思想方法。
逻辑推理: 由一般性地配方法解集推理出特殊性的方程解集，探索其过程。
数学建模：在实际情景中分析问题，构建一元二次方程模型，计算结果，检验结果实际性。
数学运算: 掌握解一元二次方程的运算法则，选择运算方法。
数据分析: 对特殊一元二次方程选择相关系数进行分析，得出简捷运算方法。
【教学重点】
掌握用配方法，整体代入法解一元二次方程.
用根与系数的关系解题.
实际情景问题中构建一元二次方程模型.
【教学难点】
用整体代入法解一元二次方程.
灵活运用根与系数的关系，基础恒等式解决问题.
回顾初中所学的一元二次方程，三角形相似，勾股定理等知识。
一、一元二次方程的解集
【情境与问题】
我们知道，形如
ax2+bx+c=0
的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
从上一节的内容可知，用因式分解法能得到一元二次方程的解集，但是用这种方法有时候并不容易，例如情境与问题中所得到的方程就是这种情形，此时该怎么办呢？
【尝试与发现】
不难知道，如果一个一元二次方程可以化为
x2=t
的形式，其中t为常数，那么这个方程的解集①是容易获得的.（①如不特别声明，本书中所说的一元二次方程的解均指的是实数解，下同。）
例如，方程x2=3的解集为{一，}，方程x2=0的解集为{0}，方程x2=-2的解集为?.
一般地，方程x2=t：
当t>0时，解集为 {，-} ；
（2）当t=0时，解集为 {0} ；
（3）当t<0时，解集为 ? .
更进一步，形如(x-k)2=t（其中k，t是常数）的一元二次方程的解集也容易得到.例如，由(x-1)2=2可知x-1=﹣或x-1=，从而x=1-或x=1+，因此解集为{1-，1+}.
一般地，方程(x-k)2=t：
当t>0时，解集为 ；
当t=0时，解集为 ；
当t<0时，解集为 .
因此，对于一般的一元二次方程来说，只需要将其化为(x-k)2=t的形式，就可得到方程的解集.
【尝试与发现】
我们知道,利用配方法可得
x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2
因此x2+2x+3=0可以化为(x+1)2 =﹣2,从而解集为?.
事实上,利用配方法,总是可以将 ax2+bx+c=0(a≠0)化为(x-k)2=t的形式,过程如下:因为a≠0,所以
一般地，Δ=b2-4ac称为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式.由此可知，一元二次方程解集的情况完全由它的系数决定。
前述情境与问题中的方程可以化为(x+17)2=71289，从而可解得x=250或x=-284（舍）.
【典型例题】
例1 求方程的解集.
分析 这不是一个一元二次方程，但是通过把看成一个整体就可以转化为一个一元二次方程.
解 设 =y,则y≥0,且原方程可变为
因此可知y=1+或y=1-(舍)
从而=1+,即x=3+2,所以原方程的解为{3+2}.
一元二次方程根与系数的关系
我们知道，当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集时，这个方程的解可以记为
①
①当Δ=0时，x1=x2，按照初中的习惯，我们仍称方程有两个相等的实数根.
【尝试与发现】
这一结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.
【典型例题】
例2 已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2，求下列各式的值：
（1）x12+x22； （2）|x1-x2|.
【尝试与发现】
解 : 如下图所示:
本节内容新引用了“整体代入法”数学思想，也有一元二次方程常考的“分类讨论”思想，对学生的运算能力有一定的要求。