人教版高中数学必修4课件：3.1.1两角差余弦公式(共18张PPT)

(共18张PPT)
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.2 简单的三角恒等变换
熟能生巧
,勤能补拙

本章的巧体现在哪些地方呢？
请同学们阅读本章章头图部分的文字！
从中我们能体会到3.1是三角变换的基本依据.

3.1.1 两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在
市郊的一座小山上.如图所示,
小山高BC约为30米,在地平面
上有一点A,测得A、C两点间
距离约为67米,从A观测电视
发射塔的视角(∠CAD)约为
45°.求这座电视发射塔的高度.





A
B
C
D
30
67

45°


α
思考：




一、 新课引入
问题1:
cos15°＝？ sin75°= ？
问题2:
cos15°＝cos（45°－ 30°）
＝ cos45°－ cos30° ?
sin75°＝sin（ 45° +30°）
＝sin45°－ sin30°？




cos(α-β) =
?
探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示　　　　　　？
思考1：设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α －β)＝cosα－cosβ恒成立吗?
例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°
因此，对角α，β
cos(α－β)＝cosα－cosβ
一般不成立.



〖探究1〗 cos（α-β）公式的结构形式应该与哪些量有关系 ？
发现： cos（α-β）公式的结构形式
应该与sinα ,cosα ,sinβ ,cosβ均有关系
令
则
令
则
令
令
则
则















sin60°
sin120°
cos60°
cos120°
cos(120°－ 60°)





sin30°
sin60°
cos30°
cos60°
cos(60°－ 30°)













思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
从表中,可以发现:
cos(60° － 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30°
cos(120° － 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°
现在，我们猜想，对任意角α，β 有：
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ










x
y
P
P1
M
B




O
A

C











+
1
1





〖探究2〗 借助三角函数线来推导cos（α-β）公式

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
又 OM＝OB＋BM

OM＝ cos(α-β)
OB＝cosαcosβ
BM＝sinαsinβ

〖探究3〗
cos（α-β）公式我们能否用向量的知识来推导？

1、已知OP为角?的终边，求终边与单位圆交点P的坐标





P
O
X
Y

?

P（cos? ，sin? ）

温
故
知
新
!
2、两个向量的数量积：
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
〖探究3〗
cos（α-β）公式我们能否用向量的知识来推导？
提示：
1、结合图形，明确应该选择
哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的
概念的计算公式得到探索结果？





B
A

y
x
o

-1
1
1
-1
∵
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ




〖探究3〗
两角差的余弦公式有哪些结构特征？

注意：1.公式的结构特点：等号的左边是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。
2.公式中的α,β是任意角。
上述公式称为差角的余弦公式，记作
简记“C C S S，符号相反”



〖公式应用〗
例1 求cos15°的值.

分析：将150可以看成450-300而450和300均为特殊角，
借助它们即可求出150的余弦.

cos150 =cos（450- 300）
=cos450cos300 + sin450sin300
= × + ×
=
思考：1、本题还有别的求解方法吗？
2、你会求 吗？

应用
解:由sinα＝ , α∈( ,?),得

5
4

2
?
分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？

又由cosβ= ，β是第三象限的角，得

13
5
-
所以cos(α-β)＝ cosβcosα+sinβsinα
已知sinα＝ ,α∈( ,?),cosβ= - , β是第三象限角，求cos(α-β)的值。

5
4

2
?

13
5
例2，
总结：要求cos(α-β)应先求出α,β的正余弦，
思考：本例中若去掉 的范围，结果如何？
练习：



cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)
公式的逆用

应用

两角差的余弦公式
1.①任意角 ②同名积 ③符号反

两角和的余弦公式

2、角 为任意角且有团体性。如
思考：
公式特点与记忆：
作业
P137习题3，4，5， 8




再见