16.1 二次根式
第1课时 二次根式
1.若式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.x>1,且x≠2 B.x≥1
C.x≠2 D.x≥1,且x≠2
2.要使式子有意义,则实数x的( )
A.最大值是 B.最小值是
C.最大值是 D.最小值是
3.如果式子有意义,那么x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≠1
C.x>1 D.x≥0,且x≠1
4.若式子在实数范围内有意义,则在平面直角坐标系中,点P(m,n)的位置在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.下列各式:-2,(x<0),,其中是二次根式的有 个.?
6.当x为何值时,下列式子是二次根式:
(1);
(2).
7.已知x,y是实数,且y=+8,求(x-y)2 020的值.
8.当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?
9.观察下表中的式子,写出第n个式子(用含n的式子表示),并回答这个式子一定是二次根式吗?为什么?
第1个 第2个 第3个 第4个 …
…
10.已知a,b为一等腰三角形的两边长,且满足等式2+3=b-4,求此等腰三角形的周长.
参考答案
1.D 由题意,得x-1≥0,且x-2≠0,解得x≥1,且x≠2.
2.A 由题意,得2-3x≥0,解得x≤,故x的最大值是.
3.C
4.C 根据二次根式的定义,得-m≥0,mn>0,故m<0,且n<0.
5.3
6.解 (1)由x2+2>0可知,当x为任意实数时,都是二次根式.
(2)由3x≥0,解得x≥0.
因此当x≥0时,是二次根式.
7.解 要使在实数范围内有意义,则x-7≥0,即x≥7;
要使在实数范围内有意义,则7-x≥0,即x≤7,所以x=7.
当x=7时,y=8,所以(x-y)2 020=(7-8)2 020=1.
8.解 依题意,得解得x≥-,且x≠-1.
所以当x≥-,且x≠-1时,在实数范围内有意义.
9.解 第n个式子是,一定是二次根式,
理由如下:因为的被开方数是非负数,
所以是二次根式.
10.解 由题意得解得所以a=2.
把a=2代入原式,得b=4.
当腰长为2时,三角形的三边长分别为2,2,4,不能组成三角形;
当腰长为4时,三角形的三边长分别为2,4,4,则此等腰三角形的周长为2+4+4=10.
第2课时 二次根式的化简
1.已知a为实数,则=( )
A.a B.-a C.-1 D.0
2.若=-a,则实数a在数轴上的对应点一定在 ( )
A.原点左侧 B.原点右侧
C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
3.若a<1,则-1=( )
A.a-2 B.2-a
C.a D.-a
4.下列计算不正确的是( )
A.=x2
B.(-)2=7
C.-()2=6
D.-=-7
5.已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是( )
A.3 B.5 C.15 D.25
6.实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后的结果为 .?
7.+2的最小值是 ,此时a的值是 .?
8.阅读材料,解答下列问题.
例:当a>0时,若a=6,则|a|=|6|=6,故此时a的绝对值是它本身;
当a=0时,|a|=0,故此时a的绝对值是零;
当a<0时,若a=-6,则|a|=|-6|=6=-(-6),故此时a的绝对值是它的相反数.
综合起来,一个数的绝对值要分三种情况,即
|a|=
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
(1)请仿照例中的分类讨论的方法,分析二次根式的各种结果;
(2)猜想与|a|的大小关系.
9.若实数a,b,c为三角形的三边长,且a,b满足+(b-2)2=0,试确定第三边c的取值范围.
10.计算:
(1);
(2)-(-)2+3.
11.已知实数a满足=a,求a-2 0192的值.
参考答案
1.D 2.C
3.D ∵a<1,∴a-1<0.
∴-1=-1=1-a-1=-a.
4.C
5.C 根据题意知,能够写成的形式,把135分解成135=32×15,其中出现了32和15,所以得出满足条件的最小正整数为15.选C.
6.7
7.2 -1 因为≥0,所以当a=-1时,+2的最小值是2.
8.分析 认真体会所举例的分类讨论的思想方法,结合所掌握的知识分析的各种情况.
解 (1)当a>0时,若a=6,则=6,故此时=a;
当a=0时,=0,故此时=0;
当a<0时,若a=-6,则=6=-(-6),故此时=-a.
综合起来可得
(2)=|a|.
9.解 由非负数的性质,可得a2-9=0,b-2=0,所以a=3或a=-3(不符合题意,舍去),b=2.
由三角形的三边关系,得3-210.解 (1)原式=-0.3+=0.3.
(2)原式=-()2+3×=4-3+1=2.
11.解 ∵a-2 020≥0,∴a≥2 020,∴2 019-a<0.
∴=a-2 019.
∴a-2 019+=a,
即=2 019,
∴a-2 020=2 0192,∴a-2 0192=2 020.
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
1.下列各等式成立的是( )
A.4×2=8 B.=4
C.4×3=7 D.5×4=20
2.-2和-3的大小关系是( )
A.-2>-3 B.-2<-3
C.-2=-3 D.不能确定
3.化简的结果是( )
A.(m-5) B.(5-m)
C.m-5 D.5-m
4.下列二次根式中,与之积为无理数的是( )
A. B. C. D.
5.当ab<0时,化简的结果是( )
A.-b B.b
C.b D.-b
6.若,则( )
A.a≥6 B.a≥0
C.0≤a≤6 D.a为一切正实数
7.对于任意实数x,下列各式中一定成立的是( )
A.
B.=x+1
C.
D.=6x2
8.已知x=3,y=4,z=5,则的最后结果是 .?
9.计算:(1);(2);
(3)a2(a>0).
10.一种木质模板如图所示,要求在长为20 cm、宽为12 cm 的长方形木料的四个角上截去四个全等的小正方形,并使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原长方形面积的80%,求所截去小正方形的边长.
11.观察下列各等式:,……请用含n的等式表示你所观察到的规律.
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.B
5.A 由题意,得ab2≥0,又b2≥0,∴a≥0.
∵ab<0,∴b<0,a>0.
∴·|b|=-b.
6.A 由题意知a≥0,且a-6≥0,解得a≥6.
7.D 8.4
9.解 (1)=3.
(2)=2.
(3)当a>0时,a2=a=2a3.
10.解 =2(cm).
答:所截去小正方形的边长为2 cm.
11.解 (n为正整数).
第2课时 二次根式的除法
1.能使等式成立的x的取值范围是 ( )
A.x≠2 B.x≥0
C.x>2 D.x≥2
2.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C.3 D.=3
4.若a,b为任意实数,则下列式子一定成立的是( )
A.=a-b B.=a2
C. D.
5.的大小关系是( )
A. B.
C. D.
6.计算(a>0,b>0)的值为( )
A. B.
C. D.b
7.化简(a>0,b>0,c>0)的结果是 .?
8.计算的结果是 .?
9.计算:(1)2÷4a;
(2);
(3)(a>0,b>0);
(4);
(5).
10.小刚在微机课上利用电脑软件画了一个半径为 cm的圆,他又想画一个长是π cm的长方形,且使它们的面积相等,问该长方形的宽应是多少?
11.自习课上,张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求二次根式中实数a的取值范围”.她告诉刘敏说:你把题目抄错了,不是“”,而是“”.刘敏说:哎呀,真抄错了,好在不影响结果,反正a和(a-3)都在根号内.试问:刘敏说得对吗?就是说,按照解题和按照解题的结果一样吗?
12.观察下列等式并回答问题:
①=1;
②=1;
③=1,……
(1)根据上面三个等式的信息,猜想的值;
(2)请按照上面的规律,试写出用n(n为正整数)表示的等式;
(3)验证你的结果.
参考答案
1.C 2.C 3.B 4.B
5.D 首先把根号外的因式都移到根号内,然后比较它们的被开方数.
.
因为,所以.
6.B
7.
8.5 (方法1)原式==5;
(方法2)原式==5;
(方法3)原式==5.
9.解 (1)2÷4a.
(2)=3.
(3)当a>0,b>0时,.
(4)
=.
(5)
=b.
10.解 π·()2÷π=()2÷
=
==2(cm).
答:该长方形的宽为2 cm.
11.解 刘敏说得不对,结果不一样.按计算,则a≥0,a-3>0或a≤0,a-3<0,解得a>3或a≤0;
而按计算,则只有a≥0,a-3>0,解得a>3.
12.(1)解 根据已知的三个等式的信息,猜想=1.
(2)解 (n为正整数).
(3)证明
=(n为正整数).
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
1.计算的结果是( )
A.1 B.-1 C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.5=5+
C. D.2
3.下列计算:①;②+2=2;③6-2=4;④5=3;
⑤=5.其中正确的是( )
A.①和③ B.②和③
C.③和④ D.③和⑤
4.下列二次根式中,不能与合并的是( )
A. B. C. D.-
5.计算:= .?
6.计算:(1)5-();
(2)+2;
7.当x=时,求+6x-2x2的值.
8.丰产良种试验中心要在一块矩形的土地上做水稻良种试验,矩形土地的长是宽的3倍,面积是3 600 m2,这块试验田的周长是多少?(精确到1 m,≈1.732)
9.将化简,如果你能找到两个数m,n,使m2+n2=a,且mn=,那么将a±2变成m2+n2±2mn,即变成(m±n)2,从而使得方便化简.例如:5+2=3+2+2=()2+()2+2=()2,
所以.
请仿照上例解下列问题:
(1)化简:①;②.
(2)已知x=8+4,求的值.
参考答案
1.C 2.D 3.C 4.B 5.0
6.解 (1)原式=10-5+3=5+2.
(2)原式=2.
7.解 原式=x+2x-2x=x,当x=时,x.
8.解 设这块试验田的宽为x m,则长为3x m.
依题意,得3x·x=3 600,x2=1 200,
解得x=20(负值舍去).
故这块试验田的周长是(20+20×3)×2=160≈277(m).
9.解 (1)①5-2=3+2-2=()2+()2-2=()2,
∴.
②4+2=3+1+2=()2+12+2××1=(+1)2,∴+1.
(2)∵+1,
==2+,
∴原式=+1+2+=3+2.
第2课时 二次根式的混合运算
1.下列式子运算正确的是( )
A.=1 B.=4
C. D.=4
2.若x=,y=,则xy的值是( )
A.2 B.2 C.m+n D.m-n
3.计算的结果估计在( )
A.6至7之间 B.7至8之间
C.8至9之间 D.9至10之间
4.若a=,b=,则的值为 ( )
A.2 B.-2 C. D.2
5.对于任意不相等的两个实数a,b,新定义一种运算“※”如下:a※b=,则2※6= .?
6.计算:(1)()2-2;
(2)()(2-2);
(3))+;
(4)(-2)÷-6;
(5).
7.已知a是 的小数部分,求的值.
8.若x2-x-2=0,求的值.
9.先化简,再求值:,其中m=-3.
10.已知x,y满足关系式4x2+y2-4x-6y+10=0,请你将化简,并求出它的值.
11.阅读下列材料,然后回答问题.
在进行二次根式去分母时,我们有时会碰上如这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
;①
;②
=-1.③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简:
=-1.④
(1)请用不同的方法化简 .
参照③式得= ;?
参照④式得= .?
(2)化简:+…+(n=1,2,3,…).
参考答案
1.D
2.D 运用平方差公式计算.
3.B
4.A 由已知,得a-b=(+1)-(-1)=+1-+1=2,则原式==a-b=2.
5.2 2※6==2.
6.解 (1)原式=9+2-2=9.
(2)原式=()()
=()2-()2=12-8=4.
(3)原式=+1+3-3+2=4.
(4)原式=(-4)÷-6×=(-3)÷-3=-3-3.
(5)原式=(3+2+2)×=(5+2)×=5+6.
7.解 ∵的整数部分是1,∴a=-1.
∴+1.
∴a-=(-1)-(+1)=-2<0.
∴原式=-a=2.
8.解 由已知,得x2-x=2,
∴原式=.
9.解 原式=
==-.
当m=-3时,
原式=-=-.
10.解 由题意知(2x-1)2+(y-3)2=0,所以x=,y=3.
原式=(2x)-(x-5)=x+6+6+3.
11.解 (1);
=.
(2)∵,
,
……
,
∴原式=+…+.
