2020春人教版八年级数学下十六、十七章学案导学（PDF版 含答案）

书
第十六章　二次根式 １
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必备１　二次根式的概念及有意义的条件 １
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必备２　二次根式的性质 ２
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必备３　二次根式的乘除 ４
!!!!!!!!!!!!!!!
必备４　最简二次根式 ５
!!!!!!!!!!!!!!!!
必备５　二次根式的加减 ７
!!!!!!!!!!!!!!!
数学文化 ９
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第十七章　勾股定理 １０
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必备６　勾股定理 １０
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必备７　利用勾股定理解决距离最短问题常见类型 １２
!!!!
必备８　勾股定理的逆定理 １５
!!!!!!!!!!!!!!
必备９　互逆命题和互逆定理 １６
!!!!!!!!!!!!!
数学文化 １７
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
书
第十六章　二次根式
必备１　二次根式的概念及有意义的条件（１６．１）
编者按：本书必备标题后面的标注（如１６．１）是人教八年级下册课本
对应的章节．
１．二次根式的概念
一般地，我们把形如①　　　　的式子叫做二次根式，“槡　”
称为二次根号．
【要点提示】
（１）在二次根式中，被开方数 ａ可以是数，也可以是单项式、多项
式、分式等代数式．
（２）在实数范围内，负数没有平方根，所以，在实数范围内开平方
时，被开方数只能是②　　　　．
（３）“槡　”的根指数为③　　　　，但一般省略不写．
（４）槡ａ（ａ≥０）实际上是非负数 ａ的算术平方根，它既表示开方运
算，又表示运算的结果．
（５）在具体的问题中，如果已知槡ａ为二次根式，那就意味着给出了
ａ≥０这一隐含条件．
２．二次根式有意义的条件
（１）条件：被开方数（式）为非负数，即当④　　　　时，槡ａ有意义．
（２）常见题目类型
类型一：多个二次根式相加，形如槡ａ＋槡ｂ＋…＋槡ｎ，则其有意义
的条件为ａ≥０，ｂ≥０，…，ｎ≥０，例如槡ａ＋ ａ槡 ＋１＋ ２－槡 ａ有意义
的条件是ａ≥０且ａ＋１≥０且２－ａ≥０，即０≤ａ≤２．
类型二：二次根式作为分式的“分母”，形如
ｂ
槡ａ
，则其有意义的条
１
　　　　　　　　　　　
件为⑤　　　　，例如 １
ａ槡 ＋１
有意义的条件是ａ＋１＞０，即ａ＞－１．
类型三：二次根式的被开方数是分式，形如
ｃ
ａ＋槡 ｂ
，则其有意义
的条件为⑥　　　　，例如 －１ａ槡＋１
有意义的条件是
－１
ａ＋１≥０，
ａ＋１≠０，即ａ＜－１．
必备２　二次根式的性质（１６．１）
１．二次根式的性质
性质１：二次根式具有双重非负性，即槡ａ≥０，ａ≥０．
【方法点拨】根据非负性解题的常见类型
类型一：已知槡ａ（ａ≥０），｜ｂ｜，ｃ
２是三种重要的非负数，则
（１）若槡ａ＋｜ｂ｜＝０，则ａ＝ｂ＝０；
（２）若槡ａ＋ｃ
２＝０，则ａ＝ｃ＝０；
（３）若槡ａ＋｜ｂ｜＋ｃ
２＝０，则ａ＝ｂ＝ｃ＝０．
类型二：若出现 －ａ槡
２，则ａ＝０．
类型三：若出现 ｂ－槡 ａ＋ ａ－槡 ｂ，则ｂ－ａ≥０，ａ－ｂ≥０，可得ａ＝ｂ．
性质２：一般地，（槡ａ）
２＝⑦　　　　，即一个非负数的算术平
方根的平方等于它本身，例如（槡２）
２＝２．
性质３：一般地， ａ槡
２＝⑧　　　　，即一个非负数的平方的算
术平方根等于它本身，例如 （
１
４）槡
２＝１４， （０．５）槡
２＝０．５．
【知识延伸】因为一个负数的平方等于它相反数的平方，从而得到
当ａ＜０时， ａ槡
２＝－ａ，例如 （－６）槡
２＝６．
２
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
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殏
殏殏
殏易 错 易 混
（槡ａ）
２与 ａ槡
２的区别与联系
（１）区别
ａ．意义不同：（槡ａ）
２表示非负数 ａ的算术平方根的平方， ａ槡
２
表示ａ的平方的算术平方根．
ｂ．ａ的取值范围不同：（槡ａ）
２中⑨　　　， ａ槡
２中⑩　　　．
ｃ．运算顺序不同：（槡ａ）
２先求非负数ａ的算术平方根，然后再
进行平方运算， ａ槡
２先求实数ａ的平方，再求所得结果的算
术平方根．
ｄ．形式不同：（槡ａ）
２其结果只有一种形式，就是非负数 ａ本
身， ａ槡
２其结果有两种形式，与 ａ的取值有关，当 ａ≥０时，
ａ槡
２ ＝ａ；当ａ＜０时， ａ槡
２ ＝－ａ．
（２）联系
ａ．都要进行平方和开平方两种运算．
ｂ．其结果都为非负数．
ｃ．当?瑏瑡　　　时，（槡ａ）
２＝ ａ槡
２．
２．代数式
（１）定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开
方）把数或表示数的字母连接起来的式子，称这样的式子
为?瑏瑢　　　　．例如２，ｘ，ａ＋ｂ，ｓｔ， ｘ
２
槡 ＋１等都是代数式．
（２）列代数式的注意事项
ａ．代数式中出现乘号，通常写作“·”或者省略不写．
ｂ．数字与字母相乘时，数字写在字母前面．
ｃ．除法运算写成分数形式．
ｄ．当表示和或差而后面有单位时，代数式应加括号．
【要点提示】
（１）单独一个数或字母也是代数式，如２，ｘ都是代数式．
（２）代数式中不含“＝”“＞”“＜”或“≠”，例如，１＋ｘ＝０就不是代数式．
３
　　　　　　　　　　　
必备３　二次根式的乘除（１６．２）
１．二次根式的乘法法则
槡ａ·槡ｂ＝?瑏瑣　　　　，即两个二次根式相乘，把被开方数相
乘，根指数不变．把槡ａ·槡ｂ＝槡ａｂ反过来，就得到槡ａｂ＝槡ａ·槡ｂ（ａ≥０，
ｂ≥０）．
【知识延伸】二次根式乘法法则的推广
（１）槡ａ·槡ｂ·槡ｃ＝槡ａｂｃ，槡ａｂｃ＝槡ａ·槡ｂ·槡ｃ（其中 ａ，ｂ，ｃ都为非
负数）．
（２）ｍ槡ａ·ｎ槡ｂ＝ｍｎ·槡ａｂ，ｍｎ·槡ａｂ＝ｍ槡ａ·ｎ槡ｂ（其中 ａ，ｂ为非
负数）．
（３）若槡ａｂ中，ａ＜０，ｂ＜０，则槡ａｂ＝ －槡 ａ· －槡 ｂ＝ ｜ａ槡 ｜· ｜ｂ槡 ｜．
２．二次根式的除法法则
槡ａ
槡ｂ
＝?瑏瑤　　　　，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根
指数不变．把槡ａ
槡ｂ
＝ ａ
槡ｂ
反过来，就得到
ａ
槡ｂ
＝槡ａ
槡ｂ
（ａ≥０，ｂ＞０）
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
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檪
檪
殏
殏殏
殏
．
易 错 易 混
（１）使用公式时，一定要保证二次根式和分式都要有意义，即ａ
为非负数，ｂ为正数．
（２）如果ａ，ｂ都是负数，虽然ａｂ＞０，
ａ
槡ｂ
有意义，但槡ａ，槡ｂ在实数范
围内无意义，例如
－４
槡－９
≠槡－４
槡－９
，而
－４
槡－９
＝ ４
槡９
＝槡４
槡９
＝２３．
（３）二次根式的运算结果必须为最简形式，即结果不含能开得
尽方的因数或因式，并且分母中不含二次根式．
【知识延伸】二次根式除法法则的推广
（１）（ｍ槡ａ）÷（ｎ槡ｂ）＝（
ｍ
ｎ）·
ａ
槡ｂ
（其中ａ≥０，ｂ＞０，ｎ≠０）．
４
（２）槡ａ÷槡ｂ÷槡ｃ＝ ａ÷ｂ÷槡 ｃ（ａ≥０，ｂ＞０，ｃ＞０）．
必备４　最简二次根式（１６．２）
１．定义
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式
（１）被开方数不含?瑏瑥　　　　；
（２）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【要点提示】分母中含有根号的二次根式不是最简二次根式，例如
１
槡３
就不是最简二次根式．
２．去掉分母中根号的方法
方法一：利用二次根式的除法法则，例如槡
１０
槡２
＝ １０
槡２
＝槡５．
方法二：分母有理化，例如
３
３＋槡６
＝ ３（３－槡６）
（３＋槡６）（３－槡６）
＝３（３－槡６）
３２－（槡６）
２＝
３－槡６．
方法三：将分子利用二次根式的性质分解，然后约分，例如槡
６ａｂ
２槡ａ
＝
ｂ ６ａ槡
２
２槡ａ
＝ｂ ３槡ａ· ２槡ａ
２槡ａ
＝ｂ３槡ａ．
【拓展延伸】
（１）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积
不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．常用的
有理化因式：槡ａ与槡ａ；ａ＋槡ｂ与 ａ－槡ｂ，槡ａ＋槡ｂ与槡ａ－槡ｂ，ｍ槡ａ＋
ｎ槡ｂ与ｍ槡ａ－ｎ槡ｂ，如２槡５×槡５＝１０，（３＋槡６）×（３－槡６）＝３
２－
（槡６）
２＝３．
（２）分母有理化：化去分母中根号的变形叫做分母有理化．其方法
是将分子和分母都乘分母的有理化因式．
５
　　　　　　　　　　　
３．化为最简二次根式的方法
被开方数情况 化简方法 举例
数
整数
将该数拆分成一个完全
平方数和某一个数的乘
积，然后将完全平方数
开平方放到根号外面
槡 槡７５＝ ２５×３＝
５２槡 槡×３＝５３
小数
将小数化成分数，再利用二
次根式的性质及除法法则，
进行约分后，再化去分母中
的根号
７．槡 ５＝
１５
槡２＝
槡１５
槡２
＝槡３０２
带分数
将带分数化成假分数，再
利用二次根式的性质及
除法法则，进行约分后，
再化去分母中的根号
１槡
１
２＝槡
３
２＝
槡
槡
３
２
＝槡６２
数的和差
先求出这个和差的结果，
再利用二次根式的性质
及除法法则进行化简
槡 槡５＋７＝ １２＝ ２
２
槡 ×３
槡＝２３
整
式
单项式
先将单项式中指数大于
２的因式化简成（ａｍ）２
的形式，再开方去掉
根号
４ａ４ｂ３ｃ槡
６＝
２２·（ａ２）２·ｂ２·ｂ·（ｃ３）槡
２
＝２ａ２ｂｃ３槡ｂ
多项式
先将多项式分解因式，
再进行化简
４ａ３ｂ２＋４ａ２ｂ槡
３
＝ （２ａｂ）２·（ａ＋ｂ槡 ）
＝２ａｂ ａ＋槡 ｂ
分式
先将这个分式的分母的
根号去掉，再进行约分
化简
ｘ １４槡ｘ
＝ｘ １
４槡ｘ
＝ｘ２槡ｘ４ｘ
＝槡ｘ２
６
必备５　二次根式的加减（１６．３）
１．二次根式的加减法法则
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根
式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．例如 槡７５＋槡４８＝
５槡３＋４槡３＝９槡３．
【要点提示】
（１）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结
合律及添括号、去括号法则仍然适用．
（２）只有被开方数相同的二次根式才能合并，否则不能合并，避免
出现“槡２＋槡３＝槡５”的错误．
（３）加减运算时，将二次根式的系数相加减，被开方数与根指数保
持不变．
２．二次根式的混合运算
（１）二次根式混合运算的“五要点”
ａ．确定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的
先算括号里面的．
ｂ．类比整式的乘法法则进行计算．
ｃ．灵活运用运算律、乘法公式以及乘法公式的变式．
ｄ．将运算中能约分的约分，可以使运算简便．
ｅ．将最后结果中的每一项化为最简二次根式或不含根号的代
数式（能合并的要合并）．
（２）二次根式混合运算中几种常见类型
ａ．（槡ａ＋槡ｂ）（槡ｃ＋槡ｄ）＝槡ａｃ＋槡ａｄ＋槡ｂｃ＋槡ｂｄ．
ｂ．槡ａ（槡ｂ＋槡ｃ＋槡ｄ）＝槡ａｂ＋槡ａｃ＋槡ａｄ．
ｃ．（槡ａ＋槡ｂ）（槡ａ－槡ｂ）＝（槡ａ）
２－（槡ｂ）
２＝ａ－ｂ．
７
　　　　　　　　　　
ｄ．（槡ａ±槡ｂ）
２＝ａ＋ｂ±２槡ａｂ．
ｅ．（槡ａ＋槡ｂ）÷（槡ａ－槡ｂ）＝
（槡ａ＋槡ｂ）（槡ａ＋槡ｂ）
（槡ａ－槡ｂ）（槡ａ＋槡ｂ）
＝ａ＋ｂ＋２槡ａｂａ－ｂ ．
（３）二次根式化简求值的常用方法
方法一：先变所求，然后代值．例如已知ａ 槡＝３，ｂ 槡＝５，求
ａ
ｂ＋
ｂ
ａ
的值，先将
ａ
ｂ＋
ｂ
ａ进行化简后，再代值．
方法二：指数太大，必有“反常”．在计算指数太大的代数式时，
不要直接计算，先将代数式利用公式及性质进行化简，例如，计
算（槡 槡３－２）
２０１９（槡 槡３＋２）
２０２０，变换（槡 槡３＋２）
２０２０＝（槡 槡３＋２）
２０１９
（槡 槡３＋２），再计算．
方法三：里应外合，出奇制胜．例如，化简（ｘ＋ｙ） １ｘ＋槡 ｙ
，把外面
的ｘ＋ｙ看作（ ｘ＋槡 ｙ）
２进行约分，更加简便．
３．二次根式近似值
（１）常用的二次根式的近似值有：槡２≈１．４１４，槡３≈１．７３２，槡５≈
２．２３６，槡６≈２．４４９，槡７≈２．６４６，槡１０≈３．１６２．
（２）求一个含有二次根式的式子的近似值
第一步：利用二次根式的性质对二次根式进行化简，将二次根
式化成最简二次根式；
第二步：再将最简二次根式写成几个常用根式相乘的形式，例
如，求槡２１的近似值，可将槡２１化成槡 槡３×７的形式；
第三步：再将已知或者常用的二次根式的近似值代入，求得
结果．
８
数学文化
二次根式的发展史
古巴比伦人制作了平方根表、立方根表．美国耶鲁大学收藏的一
块古巴比伦泥板（编号７２８９）载有槡２的近似值为１．４１４２１３．
古埃及人也有开平方计算，他们用“┌”表示平方根．
中国古代的数学著作《九章算术》也记载有“开方术”和一元二次
方程的求解程序．
３世纪的数学家刘徽，在他所著的《九章算术注》的“割圆术”中，
用勾股定理计算圆内接正多边形边长时，得到了用现代公式表示为
ｌ２ｎ＝ （
１
２ｌｎ）
２＋（ｒ－１２ｌｎ）槡
２的结果，出现了比较复杂的二次根式．
奥地利数学家鲁道夫（１４９９－１５４５）于１６世纪引进了二次根号符
号“槡　”，使二次根式的表示简约明了．
从法国数学家韦达（１５４０－１６０３）开始，数学家们进行了代数符号
系统化工作，使二次根式更方便地成为数学计算的工具．
南宋数学家秦九韶（约１２０２－约１２６１）在他的著作《数书九章》中
提出的“正负开方术”，今称秦九韶程序，英国数学家霍纳（１７８６－
１８３７）在１８１９年才发表与“正负开方术”一样的霍纳法．
９
　　　　　　　　　
第十七章　勾股定理
必备６　勾股定理（１７．１）
１．勾股定理
图１
如果①　　　　的两条直角边长分别为
ａ，ｂ，斜边长为ｃ，那么②　　　　　　　．
符号语言：如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，则
ａ２＋ｂ２＝ｃ２．
定理公式的变式：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ａ２＝
ｃ２－ｂ２，ｂ２＝ｃ２－ａ２，可得ｃ＝ ａ２＋ｂ槡
２，ｂ＝ ｃ２－ａ槡
２，ａ＝ ｃ２－ｂ槡
２．
２．勾股定理的验证
图示 验证过程
因为大正方形的面积为ｃ２，又因为大正方形的面积
为４×１２ａｂ＋（ａ－ｂ）
２＝ａ２＋ｂ２，所以ａ２＋ｂ２＝ｃ２
小正方形面积为Ｓ１＝ｃ
２；大正方形的面积为 Ｓ＝
（ａ＋ｂ）２，四个小三角形的面积各为Ｓ２＝
１
２ａｂ，则
有Ｓ＝Ｓ１＋４Ｓ２，整理得ａ
２＋ｂ２＝ｃ２
梯形面积为 Ｓ＝１２（ａ＋ｂ）
２，直角三角形的面积
分别为Ｓ１＝
１
２ｃ
２，Ｓ２＝
１
２ａｂ，则有 Ｓ＝Ｓ１＋２Ｓ２，整
理得ａ２＋ｂ２＝ｃ２
３．勾股定理的应用
（１）利用勾股定理求直角三角形的边长与周长
０１
情况一：如果给出的数据确定是直角边或者斜边，直接运用公
式求解即可．
情况二：如果给出的数据没有确定是直角边还是斜边，则需要
分情况讨论．求出线段的长后，确定所求值与已知边长是否满
足三角形的三边关系，如果不满足，则需要舍弃．
（２）利用勾股定理解决图形面积之间的关系问题
若以直角三角形的三边为基础，向外作正方形、半圆、等边三
角形（如图２，图３，图４），它们都具有相同的结论，即Ｓ３＝Ｓ２＋Ｓ１，
以直角三角形的各边为直径作圆（如图５），所得的面积也有Ｓ３＝Ｓ２
＋Ｓ１这样的关系．
推广：与直角三角形的三边相连的图形换成正五边形、正六边
形…正ｎ边形，结论同样成立．
图６
（３）作长为槡ｎ（ｎ为正整数）的线段
类型一：画长为槡ｎ的线段
方法：如图６，当直角三角形的两直角
边长分别为１，１时，斜边长为槡２，即１
２＋
１２＝（槡２）
２；当两直角边长分别为槡２，１
时，斜边长为槡３，即（槡２）
２＋１２＝（槡３）
２，依此规律可以画出长为
槡４，槡５，槡６，…的线段．
类型二：网格中画长为槡ｎ的线段
方法：第一步：如图７，将ｎ表示为两个正整数的平方和；
１１
　　　　　　　　　　　
　图７
第二步：构造直角三角形，使直角三角形的两条直
角边长等于第一步中的两个正整数，斜边即边长
为槡ｎ的线段．
类型三：在数轴上表示槡ｎ
方法：如图８，构造两条直角边长都是１的直角三角形，使用勾
股定理得到斜边长为槡２，再用圆规截取的方法在数轴上画出表
示槡２的点，构造两直角边长分别为槡２，１的直角三角形，用勾股
图８
定理得到斜边长为槡３，再用圆
规截取的方法在数轴上画出
表示槡３的点．依此规律可以在
数轴上画出表示槡４，槡５，槡６，…
的点．
（４）利用勾股定理解决几何证明问题
当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明．
（５）利用勾股定理解决实际问题
ａ．根据题意，建立数学模型，画出准确的示意图，特别是有关的
直角三角形．
ｂ．分析数量关系，数形结合，正确的将已知条件体现到图形中，
充分利用图形的性质找出已知条件的关系．
ｃ．应用勾股定理建立等量关系，构建方程求解．
必备７　利用勾股定理解决距离最短问题常见类型（１７．１）
１．点Ａ在圆柱下底面边沿上，点Ｂ在圆柱上底面边沿上（如图９）
２１
２．点Ａ在圆柱外侧面距下底面高为 ａ的地方，点 Ｂ在圆柱上底面边
沿上（如图１０）
３．点Ａ在圆柱外侧面距下底面高为 ａ的地方，点 Ｂ在圆柱内壁里距
上底面边沿高为ｂ的地方（如图１１）
４．点Ａ在正方体顶点上，点Ｂ在正方体的另一个顶点上（如图１２）
５．点Ａ在长方体的一个顶点上，点Ｂ在长方体的另一个顶点上（如图
１３）
因为长方体的长宽高的关系要根据具体图形而定，因此要考
虑到不同爬行路线，要全部计算后再进行比较得到最短的路线．具
３１
　　　　　　　　　　
体参考下图，其中经过前表面和右侧面，如剪开形式１所示；经过前
表面和上底面，如剪开形式２所示；经过左侧面和上底面，如剪开形
式３所示．
图１３
６．求缠绕丝带的最短长度
将图１４中的左图沿 ＢＣ所在的直线剪开，剪开的侧面展开图
如右图所示，丝带缠绕的路径即为Ａ′Ｃ，利用勾股定理列出方程，求
出最短长度．
一般地，最短长度为 （２ａπ·ｎ）２＋ｂ槡
２（ａ为圆柱的半径，ｂ为
圆柱的高，ｎ为缠绕的圈数）．
　　　　
图１４
４１
必备８　勾股定理的逆定理（１７．２）
１．勾股定理的逆定理
（１）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足③　　　　，
那么这个三角形是④　　　　．
（２）勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系
勾股定理 勾股定理的逆定理
条件 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０° 在△ＡＢＣ中，ａ２＋ｂ２＝ｃ２
结论 ａ２＋ｂ２＝ｃ２ ∠Ｃ＝９０°
区别
勾股定理是以“一个三
角形是直角三角形”为
条件，进而得到数量关
系“ａ２＋ｂ２＝ｃ２”，即由
“形”到“数”
勾股定理的逆定理是以“一个
三角形的三边长满足ａ２＋ｂ２＝
ｃ２”为条件，进而得到“这个三
角形是直角三角形”，即由
“数”到“形”
联系 两者都与三角形的三边长有关系
２．勾股数
（１）能够成为直角三角形三条边长的三个⑤　　　　称为勾股数．
【要点提示】勾股数是一组数据，必须满足两个条件：
条件１：ａ２＋ｂ２＝ｃ２；
条件２：三个数都为正整数，不能是分数或小数．
（２）常见的勾股数有：３，４，５；５，１２，１３；８，１５，１７；７，２４，２５；１０，２４，２６；
９，４０，４１．
（３）求勾股数的方法
ａ．每组勾股数的相同正整数倍数所组成的一组数也是勾股数，
例如３２＋４２＝５２，即３，４，５为一组勾股数，则３ｎ，４ｎ，５ｎ也是
一组勾股数（ｎ为正整数）．
ｂ．如果ｍ，ｎ是两个正整数且 ｍ＞ｎ，那么 ｍ２＋ｎ２，ｍ２－ｎ２，２ｍｎ
５１
　　　　　　　　　　　
为一组勾股数．
ｃ．若ｈ＞１，且ｈ是整数，那么ｈ２＋１，ｈ２－１，２ｈ为一组勾股数．
ｄ．如果ａ为一个大于１的奇数，ｂ，ｃ是两个连续自然数，且有
ａ２＝ｂ＋ｃ，那么ａ，ｂ，ｃ为一组勾股数，如４，５为两个连续自然
数，且３２＝４＋５，则３，４，５是一组勾股数．
３．勾股定理逆定理的应用
应用：判断三角形是不是直角三角形
方法：先求出三角形三边长的平方，再判断是否存在其中两边长的
平方和等于第三边长的平方．若存在，则这个三角形是直角三角
形；若不存在，则这个三角形不是直角三角形．
必备９　互逆命题和互逆定理（１７．２）
１．互逆命题
一般地，如果两个命题的⑥　　　　　　正好相反，那么这两
个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫
做它的⑦　　　　．例如，原命题是“如果两直线平行，那么同旁内
角互补”，则它的逆命题为“如果同旁内角互补，那么两直线平行”．
２．互逆定理
一般地，如果一个定理的⑧　　　　经过证明是正确的，那么
它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．例如，原定理为“如果
直角三角形的两条直角边长为ａ，ｂ，斜边长为ｃ，那么ａ２＋ｂ２＝ｃ２”，
则它的逆定理为“如果三角形的三边长 ａ，ｂ，ｃ满足 ａ２＋ｂ２＝ｃ２，那
么这个三角形是直角三角形”．
【要点提示】
（１）一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．
例如，原命题“对顶角相等”成立，而它的逆命题“如果两个角
相等，那么这两个角是对顶角”却不成立．
（２）每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理．
６１
数学文化
用出入相补原理巧证勾股定理
早在魏晋时期，刘徽在注释“勾股章”时曾用“以盈补虚，出入相补”的
方法作过证明，可惜插图失落；后经清朝李满复原，做成图１的形式．
图４
　　赵爽和刘徽是同一时代的数学家．他在
《勾股圆方图注》中，用弦图证明勾股定理，他
的注释是这样的：“按弦图，又可以勾股相乘为
朱实二（图２）；倍之为朱实四，以勾股之差自
相乘为中黄实（图 ３），加差实，亦成弦实（图
４）．”
利用出入相补原理，很多中外数学家根据
这一原理给出了定理的多种证法，如下面这几种证法：
梅文鼎图
　　
李善兰图
　　
Ｈ·Ｐｅｒｉｇａｌ
华蘅芳图
　　
李潢图
　　
Ｈ．Ｅ．Ｄｕｄｅｎｅｙ
７１
参考答案
第十六章　二次根式
① 槡ａ（ａ≥０）　②正数或０　③２　④ａ≥０　⑤ａ＞０　⑥
ｃ
ａ＋ｂ≥０，ａ＋
ｂ≠０　⑦ａ（ａ≥０）　⑧ａ（ａ≥０）　⑨ａ≥０　⑩ａ可取一切实数　?瑏瑡ａ≥０
?瑏瑢代数式　?瑏瑣槡ａｂ（ａ≥０，ｂ≥０）　?瑏瑤
ａ
槡ｂ
（ａ≥０，ｂ＞０）　?瑏瑥分母
第十七章　勾股定理
①直角三角形 　②ａ２＋ｂ２＝ｃ２　③ａ２＋ｂ２＝ｃ２　④直角三角形　⑤正
整数　⑥题设、结论　⑦逆命题　⑧逆命题
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