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【专题讲义】北师大版八年级数学寒假复习专题讲义
第2讲 实数与实数计算专题精讲（提高版）
授课主题 第02讲-实数与实数计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①了解实数的基本内容；
②掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及二次根式的相关概念；
③重点掌握无理数的相关概念及二次根式的混合运算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、无理数（1）概念：无限不循环小数；
（2）估算无理数的近似值——“夹逼法”。2、平方根（1）算术平方根；
（2）平方根：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；
（3）开平方：被开方数为非负数。3、立方根（1）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；
（2）开立方：被开方数为任意实数。4、实数的分类（1）按定义分：分为有理数和无理数；
（2）按符号性质分：分为正实数、0、负实数。5、实数的有关概念与性质（1）实数的绝对值、相反数、倒数
（2）实数与数轴上的点一一对应6、实数的运算（1）实数的大小比较
（2）实数的混合运算7、二次根式（1）概念：形如的式子叫二次根式；被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
（2）性质：，。
（3）运算：①加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并；②混合运算：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的。考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（ ）
A．0.7 B． C．π D．﹣8例2、阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ．例3、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14例4、定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
考点二：平方根与立方根例1、（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2
C．±2 D．
例2、的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．﹣2 D．2
例3、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是 ．例4、下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示）考点三：实数的有关概念与性质例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞b
C．a＜﹣b D．|a|＞|b|例2、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a?b＞0 B．a+b＜0
C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0例3、化简= ．考点四：实数的运算
例1、计算：+（）﹣3+20160．
例2、+（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1|
例3、计算：（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0．
例4、计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．
考点五：二次根式例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1
C．x≤1 D．x≥1例2、下列计算正确的是（ ）
A．+= B．（﹣a2）2=﹣a4
C．（a﹣2）2=a2﹣4 D．÷=（a≥0，b＞0）例3、在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ．例4、计算：
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B．﹣1
C． D．
2、64的平方根为（ ）
A．8 B．±8
C．﹣8 D．±4
3、下列式子正确的是（ ）
A．=±2 B．=﹣2
C．=﹣2 D．=﹣2
4、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3
C．a＞﹣b D．a＜﹣b
5、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ）
A．a﹣b B．b﹣a
C．a+b D．﹣a﹣b
6、在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有 个．
7、的平方根是 ．
8、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．
（1）有理数与无理数的积一定是无理数．
（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数． ．
9、在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，
整数集合{ …}，
分数集合{ …}，
无理数集合{ …}．
10、的相反数是 ．
11、代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12、计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣|
13、计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
14、若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2
C．a＞2 D．a≠215、下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．（﹣2a2b）3=﹣6a6b3
C． D．（a+b）2=a2+b2
16、计算：．
课后反击1、下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（ ）
A．1.414 B．
C．﹣ D．0
2、的平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3
C．±9 D．﹣93、下列说法中，正确的是（ ）
A．等于±4 B．﹣42的平方根是±4
C．8的立方根是±2 D．﹣是5的平方根
4、若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．a＜0 B．ab＜0
C．a＜b D．a，b互为倒数
5、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A．p B．q C．m D．n6、在下列各数中：3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、，无理数的个数是 ．
7、的平方根是 ．
8、如果整数x＞﹣3，那么使函数y=有意义的x的值是 （只填一个）
9、把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，
10、|﹣+2|= ．
11、计算：．
12、计算：|﹣2|﹣（）0+．
1、已知，求（m+n）2016的值？
2、阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、无理数的识别与估算；2、平方根、立方根的求法；
3、实数的性质；
4、实数大小的比较与混合运算。1、掌握数形结合思想，运用数轴一一对应；
2、学会分类讨论思想；
3、整体思想。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版八年级数学寒假复习专题讲义
第2讲 实数与实数计算专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第02讲-实数与实数计算
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 ①了解实数的基本内容；
②掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及二次根式的相关概念；
③重点掌握无理数的相关概念及二次根式的混合运算。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理
1、无理数（1）概念：无限不循环小数；
（2）估算无理数的近似值——“夹逼法”。2、平方根（1）算术平方根；
（2）平方根：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；
（3）开平方：被开方数为非负数。3、立方根（1）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数；
（2）开立方：被开方数为任意实数。4、实数的分类（1）按定义分：分为有理数和无理数；
（2）按符号性质分：分为正实数、0、负实数。5、实数的有关概念与性质（1）实数的绝对值、相反数、倒数
（2）实数与数轴上的点一一对应6、实数的运算（1）实数的大小比较
（2）实数的混合运算7、二次根式（1）概念：形如的式子叫二次根式；被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
（2）性质：，。
（3）运算：①加减法：先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式分别合并；②混合运算：先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号的先算括号内的。考点一：无理数例1、下列实数中的无理数是（ ）
A．0.7 B． C．π D．﹣8
【解析】∵无理数就是无限不循环小数，
且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，
π为无限不循环小数，
∴π为无理数．
故选：C．例2、阅读下列材料：设=0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．= ，= ．
【解析】设=x=0.777…①，
则10x=7.777…②，则由②﹣①得：9x=7，即x=；
根据已知条件=0.333…=，可以得到=1+=1+=．
故答案为：；．例3、把下列各数分别填在相应的集合中：﹣，，﹣，0，﹣，、，0.，3.14
【解析】有理数集合：（﹣，﹣，0，，0.，3.14，…），
无理数集合：（，﹣，，…）．例4、定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
【解析】设与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，所以b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以是无理数．考点二：平方根与立方根例1、（﹣2）2的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【解析】∵（﹣2）2=4，∴4的平方根是：±2．故选：C．
例2、的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣2 D．2
【解析】==3．故选：A．
例3、已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是 ．
【解析】∵一个正数的平方根是2x和x﹣6，∴2x+x﹣6=0，解得x=2，
∴这个数的正平方根为2x=4，∴这个数是16．故答案为：16．例4、下面是一个某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第n行倒数第二个数是 ．（用含n的代数式表示）
【解析】第1行的最后一个被开方数2=1×2，第2行的最后一个被开方数6=2×3
第3行的最后一个被开方数12=3×4，第4行的最后一个被开方数20=4×5，
…
第n行的最后一个被开方数n（n+1），
∴第n行的最后一数为，∴第n行倒数第二个数为．故答案为．考点三：实数的有关概念与性质例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．|a|＜|b| B．a＞b C．a＜﹣b D．|a|＞|b|
【解析】由点的坐标，得0＞a＞﹣1，1＜b＜2．
A、|a|＜|b|，故本选项正确；B、a＜b，故本选项错误；
C、a＞﹣b，故本选项错误；D、|a|＜|b|，故本选项错误；故选：A．例2、已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a?b＞0 B．a+b＜0 C．|a|＜|b| D．a﹣b＞0
【解析】根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，．故选：D．例3、化简= ．
【解析】∵，∴＜0，
∴=﹣．故答案为：﹣．考点四：实数的运算例1、计算：+（）﹣3+20160．
【解析】原式=3+8+1﹣=9+．例2、+（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1|
【解析】+（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1|=4+1﹣4+1=2．例3、计算：（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0．
【解析】（﹣1）2016+﹣|﹣|﹣（π﹣3.14）0=1+2﹣﹣1=．例4、计算：（﹣3）0﹣|﹣|+．
【解析】原式=1﹣+2=1+．考点五：二次根式例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
【解析】由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1，故选：D．例2、下列计算正确的是（ ）
A．+= B．（﹣a2）2=﹣a4
C．（a﹣2）2=a2﹣4 D．÷=（a≥0，b＞0）
【解析】A、+无法计算，故此选项错误；
B、（﹣a2）2=a4，故此选项错误；
C、（a﹣2）2=a2﹣4a+4，故此选项错误；
D、÷=（a≥0，b＞0），正确．故选：D．例3、在数轴上表示实数a的点如图所示，化简+|a﹣2|的结果为 ．
【解析】由数轴可得：a﹣5＜0，a﹣2＞0，则+|a﹣2|=5﹣a+a﹣2=3．
故答案为：3．例4、计算：
【解析】，
=，
=．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B．﹣1 C． D．
【解析】0，﹣1，是有理数，是无理数，故选：C．
2、64的平方根为（ ）
A．8 B．±8 C．﹣8 D．±4
【解析】∵（±8）2=64，∴64的平方根是±8．故选：B．
3、下列式子正确的是（ ）
A．=±2 B．=﹣2 C．=﹣2 D．=﹣2
【解析】A、=2，故本选项错误；B、=﹣2，故本选项正确；
C、=﹣2，故本选项错误；D、负数没有算术平方根，故本选项错误；故选B．
4、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＞﹣2 B．a＜﹣3 C．a＞﹣b D．a＜﹣b
【解析】A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；故选：D．
5、实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为（ ）
A．a﹣b B．b﹣a C．a+b D．﹣a﹣b
【解析】由数轴可得：a＞0，b＜0，则|a|﹣|b|=a﹣（﹣b）=a+b．故选C．
6、在，3.14159，，﹣8，，0.6，0，，中是无理数的个数有 个．
【解析】是有理数，3.14159是一个有限小数，是有理数，是无理数，﹣8是有理数，是无理数， 0.6是有理数，0是有理数，=6是有理数，是无理数．故答案为：3．
7、的平方根是 ．
【解析】∵=2，2的平方根是±，∴的平方根是±．故答案为是±．
8、判断下列说法是否正确，如果正确请在括号内打“√”，错误请在括号内打“×”，并各举一例说明理由．
（1）有理数与无理数的积一定是无理数．
（2）若a+1是负数，则a必小于它的倒数． ．
【解析】（1）任何无理数有有理数0的乘积等于0，故命题错误；
（2）a+1是负数，即a+1＜0，即a＜﹣1，则a必小于它的倒数．
故答案是：×，√．
9、在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中，
整数集合{ …}，
分数集合{ …}，
无理数集合{ …}．
【解析】整数集合{0，﹣}；
分数集合{，3.14}；
无理数集合{，﹣，7.151551…}．
10、的相反数是 ．
【解析】2﹣的相反数是﹣2．
故答案为：﹣2．
11、代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【解析】∵在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，
解得x≥1．故答案为：x≥1．12、计算（+1）2﹣π0﹣|1﹣|
【解析】原式=2+2+1﹣1﹣（﹣1）=2+2﹣+1=3+．
13、计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
【解析】（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣=5﹣1+1﹣3=2．14、若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
【解析】∵二次根式有意义，∴a﹣2≥0，即a≥2，
则a的范围是a≥2，故选A
15、下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b=5ab B．（﹣2a2b）3=﹣6a6b3
C． D．（a+b）2=a2+b2
【解析】A、2a+3b无法计算，故此选项错误；
B、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，故此选项错误；
C、+=2+=3，正确；
D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误；故选：C．
16、计算：．
【解析】原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+．课后反击1、下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（ ）
A．1.414 B． C．﹣ D．0
【解析】是无理数．故选B．
2、的平方根是（ ）
A．﹣3 B．±3 C．±9 D．﹣9
【解析】∵=9，∴的平方根为±3．故选B
3、下列说法中，正确的是（ ）
A．等于±4 B．﹣42的平方根是±4
C．8的立方根是±2 D．﹣是5的平方根
【解析】A、=4，故本选项错误；
B、﹣42=﹣16，负数没有平方根，故本选项错误；
C、8的立方根是2，故本选项错误；
D、﹣是5的平方根，故本选项正确；故选D．4、若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数
【解析】A、a＜0，故A正确；
B、ab＜0，故B正确；
C、a＜b，故C正确；
D、乘积为1的两个数互为倒数，故D错误；故选：D．
5、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A．p B．q C．m D．n
【解析】∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选A．6、在下列各数中：3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、，无理数的个数是 ．
【解析】在3.1415、0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、0、、﹣π、、、、中，0.2060060006（相邻的两个6之间依次多一个0）、3.1415、0、、是有理数，
﹣π、、这3个数是无理数，故答案为3．
7、的平方根是 ．
【解析】∵=3，∴的平方根是±．故答案为：±．
8、如果整数x＞﹣3，那么使函数y=有意义的x的值是 （只填一个）
【解析】∵y=，∴π﹣2x≥0，即x≤，∵整数x＞﹣3，∴当x=0时符号要求，答案为：0．
9、把下列各数填入相应的集合内：，π，，1.14141，﹣，|﹣7|，，，
【解析】有理数集合{，，1.14141，|﹣7|…}，无理数集合{π，﹣，，，…}．
10、|﹣+2|= ．
【解析】|﹣+2|=2﹣，故答案为：2﹣．
11、计算：．
【解析】原式=+3×2﹣2×﹣1=+6﹣﹣1=5．
12、计算：|﹣2|﹣（）0+．
【解析】原式=2﹣1+2=3．1、已知，求（m+n）2016的值？
【解析】由题意得，16﹣n2≥0，n2﹣16≥0，n+4≠0，
则n2=16，n≠﹣4，
解得，n=4，
则m=﹣3，
（m+n）2016=1．
2、阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；
（2）猜想与|a|的大小关系．
【解析】（1）由题意可得=；
（2）由（1）可得：=|a|．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、无理数的识别与估算；2、平方根、立方根的求法；
3、实数的性质；
4、实数大小的比较与混合运算。1、掌握数形结合思想，运用数轴一一对应；
2、学会分类讨论思想；
3、整体思想。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
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