江西省上饶市铅山一中、横峰中学、广丰贞白中学2019-2020学年高一上学期自招班期末数学试题（Word版含答案）

2019－2020学年度第一学期高一自招班期末考试
数学试题
(时间：120分钟 分值：150分)
一、选择题(60分)
1.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，则A∩B＝
A.{－1，0} B.{0，1} C.{－1，0，1} D.{0，1，2}
2.已知向量＝(1，m)，＝(3，－2)，且(＋)⊥，则m＝
A.－8 B.－6 C.6 D.8
3.若将圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积
A.扩大到原来的2倍 B.缩小到原来的一半 C.不变 D.缩小到原来的
4.直线xcosα＋y＋b＝0的倾斜角的取值范围是
A.[0，π) B.[，)∪(，] C.[，] D.[，]∪[，π)
5.函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间
A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4)
6.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点且cosα＝x，则x的值为
A. B. C. D.－
7.下列命题中错误的是
A.如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B.如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C.如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
8.函数f(x)＝2cosx的一段图象大致为

9.如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，该矩形所在的平面内一点P满足，记，则

A.存在点P，使得I1＝I2 B.存在点P，使得I1＝I3
C.对任意的点P，有I110.存在函数f(x)满足对任意x∈R都有
A.f(sinx)＝cosx B.f(sinx)＝x2－πx C.f(x2＋1)＝log2|x| D.f(x2＋1)＝2|x|
11.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF分别为棱A1D1，C1D1的中点，N为线段B1C的中点，若点P，M分别为线段D1B，EF上的动点，则PM＋PN的最小值为
A.1 B. C. D.
12.已知函数若方程3mf2(x)－(2m＋3)f(x)＋2＝0有5个解，则m的取值范围是
A.R B.(－∞，0) C.(0，1) D.(1，)∪(，＋∞)
二、填空题(20分)
13.函数y＝3sin(2x－5)的对称中心的坐标为 。
14.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程是 。
15.若曲线y＝1＋与直线kx－y－3k＋4＝0有两个不同的交点时，则实数k的取值范围是 。
16.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<)，对任意实数x都有f(x)≤|f()|，则f(x)的单调增区间是 。
三.解答题(70分)
17.(本题满分10分)已知函数(m∈R)的最小值为1。
(1)求m的值及取此最小值时的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间。
18.(12分)在△ABC中，设。
(I)求证：△ABC为等腰三角形；
(II)若＝2且B∈[]，求的取值范围。
19.(本题满分12分)已知函数。
(1)将f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象。若，求y＝g(x)的值域；
(2)若，求的值。
20.(本题满分12分)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点。

(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C1B与平面C1DE所成的角的正弦值。
21.(本题满分12分)已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：y＋3x＋6＝0相交于N。

(Ⅰ)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
(Ⅱ)当PQ＝时，求直线l的方程；
(Ⅲ)探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由。
22.已知函数，其中x∈(1，＋∞)
(1)若α＝1，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)恰好有两个零点x1，x2，(x1(i)求实数α的值；
(ii)求x1＋x2的值。















2019-2020学年度第一学期高一自招班期末考试
数学答案
答案：1-5ADBDB 6-10CBBCB 11-12BD
13. 14.(x+1)2＋(y－2)2＝5 15.6 16.［-+kπ, +kπ］(k∈Z)
解：（1）由得，，
此时，解得；
（2）最小正周期，
由，解得，
所以单调递增区间
18.(1)因为，所以又
所以，所以所以
所以，即，故为等腰三角形.
（Ⅱ）因为，所以，设，因为 所以，所以，所以，，所以
19.解:(1)将的图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到
的图象,则,
又,则,
所以当,即时取得最小值,
当时即时取得最大值,
所以函数的值域为.
(2)因为,所以,
则,
又,
则,
所以.
20.（1）连结.
因为M，E分别为的中点，所以，且.
又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，
因此四边形MNDE为平行四边形，.
又平面，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.
从而点C到平面的距离为
点B到平面的距离为 ∴sinθ=
21.解：（Ⅰ）l与m垂直，且，，又，
所以当l与m垂直时，l必过圆心.
（Ⅱ）①当直线与x轴垂直时, 易知符合题意
②当直线与x轴不垂直时, 设直线的方程为，即，
因为，所以，则由，得
直线：. 从而所求的直线的方程为或
（Ⅲ）因为CM⊥MN,
1 当与x轴垂直时，易得，则,又,

1 当的斜率存在时，设直线的方程为，
则由，得（）,则
=
综上，与直线l的斜率无关，且.
22. (1) a=1 f(x)=
∴ ∵
∴① 2-x=(x-1)2
∴ 或（舍去）
②
∴x2-3x+3=0

综上所述：
（2）ⅰ研究函数g(x)=与y=x-a的图像在（1，+∞）上的公共点
当a=0时，不合题意。
当a>0时，x
若直线y=x-a与g(x)=相切满足题意，所以即 所以 所以
若直线y=x-a与g(x)=, 经过点满足题意，所以 所以 当a<时， 此时直线y=x-a与g(x)= 有且只有一个交点题意不符
综上可知：或
ⅱ当时，所以
当时，所以