中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版八年级数学寒假复习专题讲义
第8讲 三角形的证明专题精讲（提高版）
授课主题 第08讲-三角形的证明
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；
掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；
掌握各种思想的运用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：等腰三角形例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120°
C．130° D．140°
例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66°
C．88° D．92°例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= ．
例5、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ．
例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ．
例7、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．
考点二：直角三角形 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=
（ ）
A．50° B．45°
C．40° D．25°例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．
例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
考点三：线段的垂直平分线与角平分线例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36°
C．30° D．24°
例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD=BD B．BD=CD
C．∠1=∠2 D．∠B=∠C
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）
A．40° B．30°
C．20° D．10°
3、下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2
C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形
D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形
4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（ ）
A．44° B．60°
C．67° D．70°
5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36°
C．56 D．46°
6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 ．
7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．
8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．
9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
课后反击1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9
C．12或9 D．9或7
2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45°
C．60° D．70°3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（ ）
A．30° B．36°
C．45° D．50°
4、下列说法中，正确的有（ ）
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5、如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
6、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为 ．
7、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ．
8、如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）
例1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有 个．
例2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。5、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。6、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。7、三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。8、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。9、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
10、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。1、掌握分类讨论的思想；2、掌握转化思想；3、掌握方程思想。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版八年级数学寒假复习专题讲义
第8讲 三角形的证明专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第08讲-三角形的证明
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质；
掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理；
掌握各种思想的运用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）
（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。
（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。
（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。
（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：等腰三角形例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
【解析】选B．
例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【解析】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°，
又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB，
∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°，
∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ）
A．44° B．66° C．88° D．92°
【解析】∵PA=PB，∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D．
例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= 5 ．
【解析】过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF=BC，
∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴BD=AD=4，
设DF=x，∴BF=4+x，∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，即16﹣x2=36﹣（4+x）2，
∴x=0.5，∴DF=0.5，∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案为：5．
例5、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 55° ．
【解析】AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故答案为：55°．
例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 16或8 ．
【解析】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
又知BD将三角形周长分为15和21两部分，
∴可知分为两种情况
①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16；
②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8．
经验证，这两种情况都是成立的．
∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．例7、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．
【解析】证明：∵锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，∴∠EBO=∠DCO，
又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．考点二：直角三角形 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=
（ ）
A．50° B．45°
C．40° D．25°
【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠ B=40°，
∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，
∴∠DCB=50°，故选A．
例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
【解析】选：D．例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．
【解析】（1）∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，CD，CE三等分∠ ACB，
∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30°
（2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，
又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB．
例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
【解析】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，∴DM=BM；
（2）由（1）可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．考点三：线段的垂直平分线与角平分线例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
【解析】故选C．例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．48° B．36°
C．30° D．24°
【解析】选A．例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【解析】（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵ △ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ ABD=∠ A=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AE=12，
∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
【解析】证明：∵DE⊥AB，∴ ∠ AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，∴△ AED≌ △ACD，∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AD=BD B．BD=CD
C．∠1=∠2 D．∠B=∠C
【解析】选A．
2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【解析】选：C．
3、下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5
B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2
C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形
D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形
【解析】故选D．
4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（ ）
A．44° B．60° C．67° D．70°
【解析】故选D．
5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（ ）
A．66° B．36° C．56 D．46°
【解析】故选：B．
6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 40° ．
【解析】∵DE=DF，∠F=20°，
∴∠E=∠F=20°，∴∠CDF=∠E+∠F=40°，
∵AB∥CE，∴∠B=∠CDF=40°，故答案为：40°．
7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由．
【解析】∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF，
又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠AFE=90°﹣∠ABF，∠DEB=90°﹣∠DBF，
∴∠AFE=∠DEB，
又∵∠DEB=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形．
8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF．
【解析】证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，
②∵AF⊥CD，AC=AD，
∴CF=FD（三线合一性质）．
9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．
【解析】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，
∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE，
∵BD⊥AD∴∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠EAD+∠B=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰三角形．课后反击1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ）
A．12 B．9
C．12或9 D．9或7
【解析】故选：A ．
2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ）
A．40° B．45°
C．60° D．70°
【解析】故选：A3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（ ）
A．30° B．36°
C．45° D．50°
【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵CD=DA，∴∠C=∠DAC，
∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B，
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B
4、下列说法中，正确的有（ ）
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】故选C．
5、如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．
【解析】∵△ABC中，DE是AC的中垂线，
∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm，
∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ①
则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ②
把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm
故答案为：19．
6、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为 3 ．
【解析】作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF=PE=3，
即点P到AD的距离为3．
故答案为：3．
7、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= 66° ．
【解析】∵OA=AC，
∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°．
∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°．故答案为：66°．
8、如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明）
【解析】由折叠的性质可得：∠CBD=∠C′BD，∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠C=2∠CBD，∴∠C=∠ABC，△ABC中，∠A=22°，
∴∠C=∠ABC==72°，∴∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣3×36°=72°．
（2）∵∠C=∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴AB=AC，BC=BD=BC′，
∴△ABC，△BCD，△BC′D是等腰三角形，
∵∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴∠ABD=∠ADC′=A=36°，
∴AD=BD，AC′=DC′，∴△ABD，△ADC′是等腰三角形
所以等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD，△BDC′，△ADC′，．
例1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有 8 个．
【解析】由题意可得：∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°，
∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72°
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BEF，△CDF，△BCF，△BCE，△BCD均为等腰三角形，
∴题中共有8个等腰三角形．故填8．例2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，∴AB=AC．故△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD=60°，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°，
∴∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。5、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。6、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
7、三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。8、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。9、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。10、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。1、掌握分类讨论的思想；2、掌握转化思想；3、掌握方程思想。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
