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【专题讲义】北师大版八年级数学寒假复习专题讲义
第8讲 三角形的证明专题精讲（提高版）
授课主题 第08讲-三角形的证明
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质； 掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理； 掌握各种思想的运用。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：等腰三角形例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ） A．110° B．120° C．130° D．140° 例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A．44° B．66° C．88° D．92°例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= ． 例5、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 ． 例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ． 例7、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形． 考点二：直角三角形 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB= （ ） A．50° B．45° C．40° D．25°例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C 例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB． （1）求∠B的度数； （2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB． 例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD=MB； （2）MN⊥BD． 考点三：线段的垂直平分线与角平分线例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ） A．48° B．36° C．30° D．24° 例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． 求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ） A．AD=BD B．BD=CD C．∠1=∠2 D．∠B=∠C 2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ） A．40° B．30° C．20° D．10° 3、下列说法中，正确的是（ ） A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2 C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形 D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形 4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（ ） A．44° B．60° C．67° D．70° 5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（ ） A．66° B．36° C．56 D．46° 6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 ． 7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF． 9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形． 课后反击1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．9或7 2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ） A．40° B．45° C．60° D．70°3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（ ） A．30° B．36° C．45° D．50° 4、下列说法中，正确的有（ ） ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形 ③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5、如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm． 6、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为 ． 7、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= ． 8、如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°． （1）求∠BDC的度数； （2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明） 例1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有 个． 例2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。5、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。6、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。7、三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。8、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。9、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 10、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。1、掌握分类讨论的思想；2、掌握转化思想；3、掌握方程思想。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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【专题讲义】北师大版八年级数学寒假复习专题讲义
第8讲 三角形的证明专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第08讲-三角形的证明
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 掌握等腰三角形、直角三角形的概念与性质； 掌握线段的垂直平分线与角平分线的性质与定理； 掌握各种思想的运用。
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知识梳理1、等腰三角形的性质定理（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。2、等腰三角形的判定定理（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4、直角三角形的性质和判定方法定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 7、逆命题、逆定理互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。8、斜边、直角边定理定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。11、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。考点一：等腰三角形例1、等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ） A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70° 【解析】选B． 例2、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（ ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【解析】∵∠A=40°，∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°， 又∵∠ABC=∠ACB，∠1=∠2，∴∠PBA=∠PCB， ∴∠1+∠ABP=∠PCB+∠2=140°×=70°， ∴∠BPC=180°﹣70°=110°．故选A．例3、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（ ） A．44° B．66° C．88° D．92° 【解析】∵PA=PB，∴∠A=∠B， 在△AMK和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN， ∴∠AMK=∠BKN， ∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，故选：D． 例4、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC= 5 ． 【解析】过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∴BF=CF=BC， ∵AB的垂直平分线交AB于点E，∴BD=AD=4， 设DF=x，∴BF=4+x，∵AF2=AB2﹣BF2=AD2﹣DF2，即16﹣x2=36﹣（4+x）2， ∴x=0.5，∴DF=0.5，∴CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.5×2=5，故答案为：5． 例5、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为 55° ． 【解析】AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C， ∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°， ∴∠C=（180°﹣70°）=55°．故答案为：55°． 例6、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 16或8 ． 【解析】∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x， 又知BD将三角形周长分为15和21两部分， ∴可知分为两种情况 ①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16； ②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴这个三角形的底边长为8或16．故答案为：16或8．例7、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形． 【解析】证明：∵锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O， ∴∠OEB=∠ODC=90°，∠EOB=∠DOC，∴∠EBO=∠DCO， 又∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB， ∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．考点二：直角三角形 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB= （ ） A．50° B．45° C．40° D．25° 【解析】∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠ B=40°， ∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°， ∴∠DCB=50°，故选A． 例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C 【解析】选：D．例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB． （1）求∠B的度数； （2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB． 【解析】（1）∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，CD，CE三等分∠ ACB， ∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，又∵CD为高，∴∠B=90°﹣60°=30° （2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=AB． ∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°， 又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，∴∠ACE=∠A=60°，∴△ACE是等边三角形， ∴AC=AE=EC=AB，∴AE=BE，即点E是AB的中点．∴CE是AB边上的中线，且CE=AB． 例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明： （1）MD=MB； （2）MN⊥BD． 【解析】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点， ∴BM=AC，DM=AC，∴DM=BM； （2）由（1）可知DM=BM，∵N是BD的中点，∴MN⊥BD．考点三：线段的垂直平分线与角平分线例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【解析】故选C．例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ） A．48° B．36° C．30° D．24° 【解析】选A．例3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长． 【解析】（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D， ∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形； （2）∵ △ABD是等腰三角形，∠A=40°， ∴∠ ABD=∠ A=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70° ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°； （3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，∴AB=2AE=12， ∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．例4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E． 求证：直线AD是线段CE的垂直平分线． 【解析】证明：∵DE⊥AB，∴ ∠ AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD，∴△ AED≌ △ACD，∴AE=AC， ∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（ ） A．AD=BD B．BD=CD C．∠1=∠2 D．∠B=∠C 【解析】选A． 2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ） A．40° B．30° C．20° D．10° 【解析】选：C． 3、下列说法中，正确的是（ ） A．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5 B．三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c则满足a2﹣b2=c2 C．以三个连续自然数为三边长能构成直角三角形 D．△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC是直角三角形 【解析】故选D． 4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=25°，则∠BDC等于（ ） A．44° B．60° C．67° D．70° 【解析】故选D． 5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=54°，则∠A的度数是（ ） A．66° B．36° C．56 D．46° 【解析】故选：B． 6、如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE=DF，∠F=20°，则∠B的度数为 40° ． 【解析】∵DE=DF，∠F=20°， ∴∠E=∠F=20°，∴∠CDF=∠E+∠F=40°， ∵AB∥CE，∴∠B=∠CDF=40°，故答案为：40°． 7、如图，在△ABC中，已知△BAC=90°，AD⊥BC，AD与∠ABC的平分线交于点E，试说明△AEF是等腰三角形的理由． 【解析】∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠DBF， 又∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠AFE=90°﹣∠ABF，∠DEB=90°﹣∠DBF， ∴∠AFE=∠DEB， 又∵∠DEB=∠AEF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴△AEF是等腰三角形． 8、如图：已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：①AC=AD； ②CF=DF． 【解析】证明：①∵AB=AE，BC=ED，∠B=∠E， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC=AD， ②∵AF⊥CD，AC=AD， ∴CF=FD（三线合一性质）． 9、如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形． 【解析】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD， ∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠EAD=∠ADE， ∵BD⊥AD∴∠ADE+∠BDE=90°， ∴∠EAD+∠B=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴BE=DE， ∴△BDE是等腰三角形．课后反击1、若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．9或7 【解析】故选：A ． 2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（ ） A．40° B．45° C．60° D．70° 【解析】故选：A3、如图，△ABC中，点D是边BC上一点，已知AB=AC=BD，AD=CD，则∠B=（ ） A．30° B．36° C．45° D．50° 【解析】∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵CD=DA，∴∠C=∠DAC， ∵BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B， 又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∴5∠B=180°，∴∠B=36°，故选B 4、下列说法中，正确的有（ ） ①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 ②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形 ③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 ④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】故选C． 5、如图所示，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm． 【解析】∵△ABC中，DE是AC的中垂线， ∴AD=CD，AE=CE=AC=3cm， ∴△ABD得周长=AB+AD+BD=AB+BC=13 ① 则△ABC的周长为AB+BC+AC=AB+BC+6 ② 把②代入①得△ABC的周长=13+6=19cm 故答案为：19． 6、如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若PE=3，则点P到AD的距离为 3 ． 【解析】作PF⊥AD于D，如图， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD， ∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF=PE=3， 即点P到AD的距离为3． 故答案为：3． 7、如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO=AC，∠A=48°，∠D= 66° ． 【解析】∵OA=AC， ∴∠ACO=∠AOC=×（180°﹣∠A）=×（180°﹣48°）=66°． ∵AC∥BD，∴∠D=∠C=66°．故答案为：66°． 8、如图，将△ABC沿BD对折，使点C落在AB上的点C′处，且∠C=2∠CBD，已知∠A=36°． （1）求∠BDC的度数； （2）写出图中所有的等腰三角形（不用证明） 【解析】由折叠的性质可得：∠CBD=∠C′BD，∴∠ABC=2∠CBD， ∵∠C=2∠CBD，∴∠C=∠ABC，△ABC中，∠A=22°， ∴∠C=∠ABC==72°，∴∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣3×36°=72°． （2）∵∠C=∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴AB=AC，BC=BD=BC′， ∴△ABC，△BCD，△BC′D是等腰三角形， ∵∠ABC=∠BDC=∠BDC′=∠BC′D=72°，∴∠ABD=∠ADC′=A=36°， ∴AD=BD，AC′=DC′，∴△ABD，△ADC′是等腰三角形 所以等腰三角形有△ABC，△ABD，△BCD，△BDC′，△ADC′，． 例1、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB=72°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，它们的交点为F，则图中等腰三角形有 8 个． 【解析】由题意可得：∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE=∠A=36°， ∠ABC=∠ACB=∠CDB=∠CFD=∠BFE=∠BEF=72° ∴△ABC，△ABD，△ACE，△BEF，△CDF，△BCF，△BCE，△BCD均为等腰三角形， ∴题中共有8个等腰三角形．故填8．例2、如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC． （1）求证：△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论． 【解析】（1）证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C， ∴∠B=∠C，∴AB=AC．故△ABC是等腰三角形． （2）当∠CAE=120°时△ABC是等边三角形．∵∠CAE=120°，AD平分∠CAE， ∴∠EAD=∠CAD=60°，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B=60°，∠CAD=∠C=60°， ∴∠B=∠C=60°，∴△ABC是等边三角形．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
1、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2、直角三角形的性质和判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。3、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。4、斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。5、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。6、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 7、三角形三条边的垂直平分线的性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。8、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。9、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。10、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。1、掌握分类讨论的思想；2、掌握转化思想；3、掌握方程思想。本节课我学到 我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
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