选修2-1 圆锥曲线 专项训练测试题（含答案解析）

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选修2-3　圆锥曲线 专项训练题　　　
1.若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2∶1，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.过点(2，－2)，且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程是(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.若实数列：－1，a1，a2，a3，－81成等比数列，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率是(　　)
A.或 B.或
C. D.
4.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A.4 B.
C.5 D.6
5.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为(　　)
A.1 B.
C.2 D.2
6.已知双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
7.已知△ABC的顶点A(－3，0)和顶点B(3，0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝________.
8.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0，b)，且·＝a2，则双曲线C的离心率为________.
9.已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M(1，t)(t>0)到焦点的距离为5，双曲线－＝1(a>0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行.则实数a的值为________.
10.设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为k的直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2＝－4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P(－1，k)，且△PAB的面积为6，求k的值.


11.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.



12.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|·|AB|＝6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值.












答案解析
1.解析　∵c＝2，a＝2b，
由c2＝a2－b2，得(2)2＝3b2，则b2＝20.
∴a2＝4b2＝80，所求方程为＋＝1.
答案　D
2.解析　设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，又点(2，－2)在双曲线上，
∴－4＝λ，则λ＝－2.
故所求双曲线方程为－＝1.
答案　A
3.解析　因为－1，a1，a2，a3，－81成等比数列，
所以a＝－1×(－81)＝81，则a2＝－9(a2与－1同号)，
因此圆锥曲线方程为x2－＝1，
∴a＝1，b＝3，c＝＝，
故所求的离心率e＝＝.
答案　D
4.解析　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
答案　B
5.解析　过M作MP垂直于准线，垂足为P，
则＝＝＝，
则cos ∠AMP＝，又0°<∠AMP<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
不妨设M在x轴上方，则M(m，)，则由|MP|＝|AP|得|m＋1|＝，
解得m＝1，即M点坐标为(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.
答案　C
6.解析　依题意，不妨设点M(x，y)在第一象限，
联立解得(其中c2＝a2＋b2)，
可知四边形MNPQ为矩形且面积为8，且根据双曲线的对称性，·＝2，即2c2＝5ab.
又因为c2＝a2＋b2，
所以2(a2＋b2)＝5ab?2×－5×＋2＝0，
解得＝(＝2舍去).
故所求渐近线方程为y＝±x.
答案　B
7.解析　由椭圆方程知a＝5，b＝4，
∴c＝＝3，
∴A，B为椭圆的焦点，
∵点C在椭圆上，
∴|AC|＋|BC|＝2a＝10，|AB|＝2c＝6.
∴＝＝＝3.
答案　3
8.解析　设F(c，0)，又A(－a，0)，B(0，b)，
由·＝a2，得(－a，－b)·(c，－b)＝a2，
所以b2－ac＝a2，即c2－2a2－ac＝0，
∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).
故双曲线C的离心率为2.
答案　2
9.解析　由题设1＋＝5，∴p＝8.
不妨设点M在x轴上方，则M(1，4)，
由于双曲线的左顶点A(－a，0)，且直线AM平行于一条渐近线，
∴＝，则a＝3.
答案　3
10.解　(1)由已知得F，
设直线AB的方程为y＝k，
联立方程消去x，
得ky2－2py－kp2＝0，
∴y1y2＝－p2＝－4，
从而p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，
直线AB的方程为y＝k(x－1)，
联立方程消去x，
得ky2－4y－4k＝0，∴
|AB|＝·＝4，
又P到直线AB的距离d＝.
故S△PAB＝×|AB|×d＝6＝6.
解得k＝±.
11.(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
由＝得x0＝x，y0＝y，
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)证明　由题意知F(－1，0).设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，
·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
12.解　(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b，
由|FB|·|AB|＝6，
可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.
所以，椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2).
由已知有y1>y2>0，
故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2，即|PQ|＝，
又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，
故|AQ|＝y2.
由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程组消去x，可得y1＝.
易知直线AB的方程为x＋y－2＝0，
由方程组消去x，可得y2＝.
代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，
将等式两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0，
解得k＝或k＝.
所以，k的值为或.








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