选修2-2 1.3导数及其应用 跟踪训练测试题（含答案解析）

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选修2-2　导数及其应用 跟踪训练测试题
1.函数f(x)＝x＋2cos x在区间上取得最大值时，x的值为(　　)
A.0 B.
C. D.
2.已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A. B.
C. D.
3.设函数f(x)＝2(x2－x)ln x－x2＋2x，则函数f(x)的单调递减区间为(　　)
A. B.
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
4.若f(x)＝则f(x)dx＝(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
5.已知函数f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　)
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6.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0恒成立.若a＝3f(3)，b＝f(1)，c＝－2f(－2)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.a>b>c
7.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)
A.－1 B.－2e－3
C.5e－3 D.1
8.曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
9.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.
10.已知函数f(x)＝x3－3ax(a∈R)，函数g(x)＝ln x，若在区间[1，2]上f(x)的图象恒在g(x)的图象的上方(没有公共点)，则实数a的取值范围是________.
11.已知函数f(x)＝x－2ln x－＋1，g(x)＝ex(2ln x－x).
(1)若函数f(x)在定义域上是增函数，求a的取值范围；
(2)求g(x)的最大值.


12.已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数).
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值.


13.已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.


14.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递增区间；
(2)当0<－(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝＋是否有实数根.










答案解析
　
1.解析　令f′(x)＝1－2sin x＝0，得x＝，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝时，f(x)取到最大值f.
答案　B
2.解析　∵y′＝aex＋1，∴在点(1，ae＋1)处的切线的斜率为y′|x＝1＝ae＋1，又切线与直线2ex－y－1＝0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝.
答案　B
3.解析　由题意可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2(2x－1)ln x＋2(x2－x)·－2x＋2＝(4x－2)·ln x.
由f′(x)<0，可得(4x－2)·ln x<0，
所以或得故函数f(x)的单调递减区间为.
答案　B
4.解析　法一　因为f(x)＝
所以f(x)dx＝(x3＋sin x)dx＋2dx＝＋2x＝2.
法二　(运用积分的几何意义)，－1≤x≤1，y＝x3＋sin x是奇函数，图象关于原点对称，(x3＋sin x)dx＝0，
又2dx表示长、宽分别为2，1的矩形面积，从而可得答案为2.
答案　C

5.解析　f(x)＝＋sin＝＋cos x.
所以f′(x)＝－sin x是奇函数，排除B，D.
令h(x)＝－sin x，得h′(x)＝－cos x；
当x∈时，cos x>，所以h′(x)<0，
故函数y＝f′(x)在区间上是减函数，A项正确.
答案　A
6.解析　设函数F(x)＝xf(x)，则F(x)是偶函数，
当x∈(－∞，0)时，F′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0.
所以F(x)在 (－∞，0)上是减函数，从而F(x)在(0，＋∞)上是增函数.
由条件知a＝F(3)，b＝F(1)，c＝F(－2)＝F(2)，
因此F(3)>F(2)>F(1).即a>c>b.
答案　A
7.解析　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0?a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x<－2或x>1时，f′(x)>0，
当－2所以x＝1是函数f(x)的极小值点，
则f(x)极小值为f(1)＝－1.
答案　A
8.解析　y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.
答案　－3
9.解析　f′(x)＝－x＋4－＝－，
由f′(x)＝0，得x＝1或x＝3，
若f(x)在区间[t，t＋1]上不单调，
只需1∈(t，t＋1)或3∈(t，t＋1).
因此或
解之得0答案　(0，1)∪(2，3)
10.解析　由题意知，3a记h(x)＝x2－，x∈[1，2]，
则h′(x)＝，又2x3－1≥0，ln x≥0，
∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1，2]上单调递增，
∴h(x)min＝h(1)＝1，∴3a<1，即a<.
答案　
11.解　(1)由题意得x>0，f′(x)＝1－＋.
由函数f(x)在定义域上是增函数，得f′(x)≥0，
即a≥2x－x2＝－(x－1)2＋1(x>0).
因为－(x－1)2＋1≤1(当x＝1时，取等号)，
所以a的取值范围是[1，＋∞).
(2)g′(x)＝ex＝－ex，
由(1)得a＝2时，f(x)＝x－2ln x－＋1，
且f(x)在定义域上是增函数，又f(1)＝0，
所以，当x∈(0，1)时，f(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.
所以，当x∈(0，1)时，g′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.
故当x＝1时，g(x)取得极大值也是最大值－e.
12.解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴.
因此，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值.
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a.
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值.
13.(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当02时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.
(2)证明　当a≥时，f(x)≥－ln x－1(x>0).
设g(x)＝－ln x－1(x>0)，则g′(x)＝－(x>0).
当01时，g′(x)>0.
所以x＝1是g(x)的最小值点.
故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
14.解　(1)由已知可知函数f(x)的定义域为{x|x>0}，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x(x>0)，f′(x)＝(x>0)；
当00；当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(0，1).
(2)因为f′(x)＝a＋(x>0)，令f′(x)＝0，解得x＝－；
由f′(x)>0，解得0从而f(x)的单调递增区间为，递减区间为，
所以，f(x)max＝f＝－1＋ln＝－3.
解得a＝－e2.
(3)由(1)知当a＝－1时，f(x)max＝f(1)＝－1，
所以|f(x)|≥1.
令g(x)＝＋，则g′(x)＝.
当00；当x>e时，g′(x)<0.
从而g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
所以g(x)max＝g(e)＝＋<1，
所以，|f(x)|>g(x)，即|f(x)|>＋，
所以，方程|f(x)|＝＋没有实数根.






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