湘教版 八下数学1.4角平分线的性质课时练（2课时 PDF版含答案）

!!$
!
角平分线的性质! "
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习
!
!
图
$!) $ $
!!
如图
$!) $ $
!在
"
#$%
中!
%&
平分
#
#%$
!
'
是
$%
延长
线上的一点!
%(
$
%&!
如果
#
#%$'3"(
!那么下列说法中错
误的是 %
!!
&
*!
#
$0
#
+'1"(
,!
#
$0
#
)'1"(
.!
#
&'
#
)
/!
#
+'
#
)
"!
如图
$!) $ &
!在
45
"
#$'
中!
#
''1"(
!
#''
$
&
#$'&
!
#%
!
#&
分别是
#
$#'
和
#
$#%
的平分线!则
#
$#%
的度数和
$&
的长分别为 %
!!
&
!
图
$!) $ &
*!+"(
!
&槡+6&
,!+"(
!
&槡+6$
.!)!(
!
&槡+6&
/!)!(
!
&槡+6$
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习
!
$!
角平分线把一个角分成两个相等的角
!
&!
直角三角形的性质"
%
$
&直角三角形中!若某直角边等于斜边的一半!则这条直角边所对的角等于
+"(
'
%
&
&勾股定理
!
+!
直角三角形全等的判定方法"
?*?
!
*?*
!
**?
!
AB@
!!
角平分线有什么性质$ 怎样判定一个角的角平分线$ 怎样利用角平分线的性质解
决几何问题和实际应用问题$ 通过本节课的学习#我们将解决这些问题
!
!!
角平分线上的点到角的两边的距离!是指点到线的距离!是指两条垂线段的长度
!
要分清(两点间的距离*(点到直线的距离*
!
"!
要弄清角平分线性质定理的条件和结论
!
条件为(角平分线上的点*和(到角的两
边的距离*两个条件!结论为(距离相等*
!
#!
角平分线的性质定理的逆定理!即角平分线的判定定理
!
要判定一条射线是否为
角平分线!首先要保证射线在角的内部!然后只需在这条射线上任取一点!如果这点到角
两边的距离相等!则这条射线是角平分线
!
$!
角平分线的性质定理是证明角相等$线段相等的新途径
!
角平分线的性质定理的
逆定理是证明点在直线上%或直线经过某一点&的根据之一
!
!
图
$!) $ +
例
!
!
如图
$!) $ +
!在
45
"
#$%
中!
#
#'1"(
!
$&
平分
#
#$%!
若
"
$%&
的面积
"
"
$%&
'&-
!
$%'$+
!求
#&
的长
!
解"如图
$!) $ +
!过点
&
作
&(
$
$%
于点
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:
#
#'1"(
!
$&
平分
#
#$%
!
;#&'(&!
:
"
$%&
的面积
"
"
$%&
'&-
!
$%'$+
!
;
$
&
<$+<&('&-
!
;&(')
!
;#&')!
!
图
$!) $ )
例
"
!
如图
$!) $ )
!
$''%(
!
&'
$
#$
的延长线于点
'
!
&(
$
#%
于点
(
!且
&$'&%!
求证"
#&
是
#
$#%
的平分线
!
证明"
:&'
$
#$
的延长线于点
'
!
&(
$
#%
于点
(
!
;
#
''
#
%(&'1"(!
在
45
"
$&'
和
45
"
%&(
中!
:$''%(
!
$&'%&
!
;45
"
$&'
(
45
"
%&(
%
AB
&
!
;&''&(
!
;#&
是
#
$#%
的平分线
!
注意"熟知到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解答此题的关键
!
!!
如图
$!) $ !
!
+)
为
#
#+$
的平分线!
)%
$
+#
!
)&
$
+$
!垂足分别是
%
!
&
!
)%'
-
!则
)&
的长是 %
!!
&
*!+ ,! .!- /!2
图
$!) $ !
!!!!!!! 图
$!) $ -
"!
如图
$!) $ -
!在
45
"
#$%
中!
#
#'1"(
!
$&
平分
#
#$%
!交
#%
于点
&
!且
#$'
2
!
$&'$"
!则点
&
到
$%
的距离是
!!!!
!
#
如图
$!) $ 3
!在
45
"
#$%
中!
#
%'1"(
!
#%'$%
!
#&
平分
#
$#%
交
$%
于
&
!
&'
$
#$
!垂足为
'
!且
#$'$"8#
!求
"
&'$
的周长
!
!
图
$!) $ 3
$!
角平分线的性质定理为证明角相等$线段相等提供了新方法和新思路
!
角平分线
的性质定理的逆定理是证明点在直线上%或直线经过某一点&的根据之一
!
&!
角平分线的性质定理把角的相等关系转化为线段的相等关系'角平分线的性质定
理的逆定理把线段的相等关系转化成了角的相等关系
!
!
图
$!) $ 2
!!
如图
$!) $ 2
!已知点
)
到
#'
!
#&
!
$%
的距离相等!有下列说
法"
!
点
)
在
#
#
的平分线上'
"
点
)
在
#
%$'
的平分线上'
#
点
)
在
#
$%&
的平分线上'
$
点
)
在
#
#
!
#
%$'
!
#
$%&
的平分线
的交点上
!
其中正确的是 %
!!
&
*!
!"#$
,!
!"#
.!
$
/!
"#
"!
如图
$!) $ 1
!
#
#+$'2&(
!
1%
$
+#
于点
%
!
1&
$
+$
于点
&
!若
1%'1&
!则
#
#+1'
!!!!
!
图
$!) $ 1
!!!!!!! 图
$!) $ $"
#!
如图
$!) $ $"
!
"
#$%
三边
#$
!
$%
!
%#
的长分别是
&"
!
+"
!
)"
!其三条角平分线将
"
#$%
分成三个三角形!则
"
"
#$+
%"
"
$%+
%"
"
%#+
等于
!!!!
!
$!
如图
$!) $ $$
!
$&
是
#
#$%
的平分线!
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$
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于
'
!
&(
$
$%
于
(
!
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!
$%'$!
!
"
#$&
的面积
"
"
#$&
'+-
!求
"
$%&
的面积
!
!
图
$!) $ $$
%!
已知"如图
$!) $ $&
!
$&
是
#
#$%
的平分线!
#$'$%
!点
)
在
$&
上!
)0
$
#&
!
)2
$
%&
!垂足分别是
0
!
2!
试说明"
)0')2!
!
图
$!) $ $&
!!$
!
角平分线的性质!
"
"
!前置诊断"检测你的基础#助力新课学习
!
!
图
$!) & $
!!
如图
$!) & $
!在
45
"
#$%
中!
#
#%$'1"(
!
#&
平分
#
$#%
交
$%
于
&
!
&'
$
#$
于
'
!若
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!
$&'+8#
!则
$%
的长是 %
!!
&
*!+8# ,!3!8#
.!-8# /!)!8#
!
图
$!) & &
"!
如图
$!) & &
!
)%
$
+#
!
)&
$
+$
!垂足分别是
%
!
&
!
)%'!
!
)&'
!
!
#
#+)'&!(
!则
#
#+$
的度数是 %
!!
&
*!&!(
,!+!(
.!"(
/!-"(
!前置巩固"如果你没有全部正确#务必回顾复习
!
角平分线的性质定理及其逆定理
!
!!
我们已经学习了角平分线的性质和判定#怎样综合利用角平分线性质和判定以及其
他几何定理解决一些几何问题和实际应用问题呢$
!!
弄清角平分线的性质定理及其逆定理的条件和结论
!
项目 角平分线的性质 角平分线的判定
图形
续表
项目 角平分线的性质 角平分线的判定
已知
条件
+)
平分
#
#+$
)&
$
+#
于
&
)'
$
+$
于
'
)&')'
)&
$
+#
于
&
)'
$
+$
于
'
结论
)&')' +)
平分
#
#+$
!
"!
角平分线有关问题!通常结合其他已知条件!证明线段相等或求线段的长
!
#!
角平分线的应用!经常需要作辅助线
!
比如!过角平分线上的一点作角两边的垂
线!可以构造相等线段'在角的一边截取一条线段等于另一条线段!构造出全等三角形
!
!
图
$!) & +
例
!
如图
$!) & +
!在四边形
#$&%
中!
#
&'
#
$'1"(
!
+
为
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的中点!且
#+
平分
#
$#%!
求证"
%
$
&
%+
平分
#
#%&
'
%
&
&
+#
$
+%
'
%
+
&
#$0%&'#%!
分析"题中出现了角平分线$
1"(
角!可以考虑角平分线的性质和判定
!
证明"%
$
&过点
+
作
+'
$
#%
于点
'
!
:
#
$'1"(
!
#+
平分
#
$#%
!
;+$'+'!
:
点
+
为
$&
的中点!
;+$'+&!
;+''+&!
又
:
#
&'1"(
!
#
+'%'1"(
!
;%+
平分
#
#%&!
%
&
&在
45
"
#$+
和
45
"
#'+
中!
:#+'#+
!
+$'+'
!
;45
"
#$+
(
45
"
#'+
%
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&
!
;
#
#+$'
#
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$
&
#
$+'!
同理
#
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#
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$
&
#
&+'!
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#
#+%'
#
#+'0
#
%+''
$
&
#
$+'0
$
&
#
&+''
$
&
<$2"('1"(
!
;+#
$
+%!
%
+
&
:45
"
#$+
(
45
"
#'+
!
;#$'#'!
同理可得
%&'%'!
:#%'#'0%'
!
;#$0%&'#%!
!!
到三角形三条边距离相等的点是三角形的 %
!!
&
*!
三条中线的交点
,!
三条角平分线的交点
.!
三条高的交点
/!
以上均不对
"!
如图
$!) & )
!在
"
#$%
中!
#$')
!
$%'-
!
$&
是
"
#$%
的角平分线!
&'
$
#$
于
点
'
!
#(
$
$%
于点
(
!若
&''&
!则
#(
的长为 %
!!
&
*!+ ,!
$"
+
.!
3
&
/!
$!
)
图
$!) & )
!!!!!!! 图
$!) & !
#!
如图
$!) & !
!在
"
#$%
中!
#$'1
!
$%'3
!
#%'2
!点
+
是
"
#$%
的三个内角的角平
分线的交点!
"
"
#+$
!
"
"
$+%
!
"
"
#+%
分别表示
"
#+$
!
"
$+%
!
"
#+%
的面积!则
"
"
#+$
%
"
"
$+%
%"
"
#+%
'
!!!!!!
!
$!
有角平分线的题目首先应考虑运用角平分线的性质定理来证明线段相等!从而避
免证明三角形全等
!
&!
运用角平分线性质和判定定理解决实际问题!关键是要将实际问题转化为数学问
题
!
将实际问题中的物抽象成线$角$点等!再运用角平分线性质和判定定理与垂直平分
线$三角形三边关系等几何定理解答
!
!!
如图
$!) & -
!在
"
#$%
中!
#&
是
#
$#%
的平分线!且
$&
&
&%
!下列说法正确的
是 %
!!
&
*!
点
&
到
#$
边的距离大于点
&
到
#%
边的距离
,!
点
&
到
#$
边的距离等于点
&
到
#%
边的距离
.!
点
&
到
#$
边的距离小于点
&
到
#%
边的距离
/!
点
&
到
#$
边的距离与点
&
到
#%
边的距离大小关系不确定
图
$!) & -
!!!!!!! 图
$!) & 3
"!
如图
$!) & 3
!在
"
#$%
中!
#
#%$'1"(
!
#&
平分
#
$#%
交
$%
于
&
!
&'
$
#$
于
'!
若
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!
$&')8#
!则
$%
的长度是 %
!!
&
*!&8# ,!)8# .!-8# /!28#
#!
如图
$!) & 2
!
+%
是
#
#+$
内部的一条射线!
)
是射线
+%
上任意点!
)&
$
+#
!
)'
$
+$!
下列条件"
!#
#+%'
#
$+%
'
"
)&')'
'
#
+&'+'
'
$#
&)+'
#
')+
中!能判定
+%
是
#
#+$
的平分线的有
!!!!
个
!
图
$!) & 2
$!
如图
$!) & 1
!两条公路
+#
和
+$
相交于
+
点!在
#
#+$
的内部有工厂
%
和
&
!现
要修建一个货站
)
!使货站
)
到两条公路
+#
!
+$
的距离相等!且到两工厂
%
!
&
的距
离相等!用尺规作出货站
)
的位置%要求"不写作法!保留作图痕迹!写出结论&
!
!
图
$!) & 1
%!
如图
$!) & $"
!
&
是
#
0#2
内一点!点
$
是射线
#0
上一点!
&'
$
#0
于
'
!
&(
$
#2
于
(
!且
&''&(
!连接
#&!
%
$
&求证"
#&
平分
#
0#2
'
%
&
&在射线
#2
上取一点
%
!使得
&%'&$
!若
#$'-
!
$''&
!则
#%
长为
!!!!
!
!
图
$!) & $"
!
! ! ! !
!
!
!!$
#./0&'(
!"
!前置诊断"
!!*
"!&
!
在
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#
"$,
中#
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'
(
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#
1
"
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#
1
"
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."%
是
"
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的平分线#
1
"
$"%-
"
,"%-
'
(
"
$",-#+%!
又
."#
是
"
$"%
的平分线#
1
"
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.
"
,"%-#+%
#
1
"
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"
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"
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#
1"$-,
#
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1,$- ,
(
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1$#-,$4,#-(槡#4(!
!变式训练"
!!*
!
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平分
"
$"%
#
#,
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#
"
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#
1
"
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"
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#
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#
"
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在
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和
#
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中#
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1
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&
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&
&
&
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&
&
&
&
&
&
!
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1
#
#,$
的周长为
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'+67!
!效果检测"
!!&
!
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过点
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作
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$
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于
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#
',
$
"$
于
,
#
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$
$%
于
/!
.'
是
#
"$%
三条角平分线的交点#
1'#-',-'/!
."$-(+
#
$%-#+
#
"%-,+
#
1+
#
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A+
#
$%'
A+
#
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#
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-#3
#
1
'
(
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'
(
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#
解得
#,-3!
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是
"
"$%
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#,
$
"$
于
,
#
#/
$
$%
于
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#
1#/-#,-3!
.$%-')
#
1
#
$%#
的面积
+
#
$%#
-
'
(
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#/-
'
(
5
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是
"
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的平分线#
1
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"
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#
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#
1
#
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"
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$
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#
1&1-&3!
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!
"
"
!前置诊断"
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"!*
!变式训练"
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"!"
!
作
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$
$%
于点
4!
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是
#
"$%
的角平分线#
,
$
"$
#
4
$
$%
#
1#4-#,-(!
.
#
"$#
的面积
8
#
%$#
的面积
-
#
"$%
的
面积#
1
'
(
5,5(8
'
(
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'
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#
解得
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#
!
#!2A9A$
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作
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$
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于
#
#
',
$
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于
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$
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#
$'
#
%'
分别是三个内角的平分线#
'#
$
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于
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#
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的垂直平分
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#且
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在线
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故
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长为
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&
&
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&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
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