中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学寒假复习专题讲义
第1讲 二次函数专题精讲（解析版）
参考答案
授课主题 第01讲-----二次函数
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念
二次函数的定义一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：1、二次项系数a≠0；y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式；
2、ax2＋bx＋c必须是整式；
3、一次项、常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； x的取值范围是全体实数．
二次函数的图像与性质
1、二次函数图像的基本性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向开口向上开口向下
对称轴直线x＝－直线x＝－
顶点坐标
增减性当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值当x＝－时，y有最小值当x＝－时，y有最大值
2、二次函数图像的平移
方法一： 总结：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 3、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1） 二次项系数的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
（2）一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置， “左同右异”。
（3） 常数项：决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数的表达式1、一般式：（，，为常数，）；
2、顶点式：（，，为常数，）；
3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.使用条件：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数的应用解题一般方法步骤（先构造二次函数模型）：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．二次函数与一元二次方程（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
（2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
（3）当Δ＞0时，有两个不同的交点；当Δ＝0时，有一个交点；当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
考点一： 二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．+3 D．0
【解析】B．例2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（ ）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与半径之间的关系
【解析】C．
考点二： 二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】C．
例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0； ②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a＜；
⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【解析】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，
∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，
∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0
∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；故④正确
⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．例3、将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式（ ）
A．y=2（x+3）2 B．y=（x+3）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2（x﹣1）2
【解析】D．
考点三： 二次函数的表达式例1、把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4
C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣1）2+3
【解析】C．
例2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
【解析】A．
考点四： 二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
【解析】当x=20时，y最大值=1558．故选D．例2、如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵正六边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，∴y=2πx2．当x=5时，y=2π×25=50π．故选：D．
例3、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获
果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产
量是多少？
【解析】（1）设函数的表达式为y=kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，解得，∴该函数的表达式为y=﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70
∵投入成本最低．∴x2=70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得w=（﹣0.5x+80）（80+x）=﹣0.5 x2+40 x+6400 =﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a=﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x=40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．考点五：二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜4
【解析】由图象可知，抛物线的对称轴为x=﹣1，
∴顶点坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+4，
把（1，0）代入解析式得，a=﹣1，∴解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
方程=﹣x2﹣2x+3=k有两个不相等的实根，△=4+12﹣4k＞0，解得：k＜4．故选：D．
例2、如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【解析】当y=0时，﹣x（x﹣3）=0，解得x1=0，x2=3，
则A1（3，0），OA1=3，
∵C1绕A1旋转180°得到C2，∴A1A2=OA1=3，则OA2=6，A2（6，0），
∴C2的解析式为y=（x﹣3）（x﹣6）（3≤x≤6），
同样可得OA13=39，OA14=42，则A13（39，0），A14（42，0），
∴C14的解析式为y=（x﹣39）（x﹣42）（39≤x≤42），∴点P（41，m）在抛物线C14上，
当x=41时，m=2×（﹣1）=﹣2．故选B．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1或a≠0 C．a=3 D．a=﹣1
【解析】C．
2、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系
D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系
【解析】D．
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
直线x=﹣3 B．直线x=﹣2
C．直线x=﹣1 D．直线x=0
【解析】B．
4、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：
①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．
5、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
【解析】D．
6、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（ ）
A． B． C． D．
【解析】A．
7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为x=﹣＞0，∴b＜0，
∴结论①不正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，∴平行四边形的高是2，∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴③正确；∵=﹣2，c=﹣1，∴b2=4a，∴④正确．综上，结论正确的是：③④．故选D．
8、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（ ）
A． B． C．±2 D．±1
【解析】∵y=﹣x2+2x+m2+1=﹣（x﹣1）2+m2+2，∴m2+2=4，解得，m=，故选A．
9、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？
【解析】（1）由题意可得，y=50﹣=，即y与x的函数关系式是：y=﹣x+50；
（2）当每间客房每天的定价增加x元时，设宾馆的利润为w元，
则w=（﹣x+50）（220+x﹣40）=﹣，
当x=﹣=160时，w有最大值，故这一天宾馆每间客房的定价为：220+160=380（元），
即当宾馆每间客房的定价为380元时，宾馆利润最大．
10、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，
与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；
令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），
设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===
∴D点的坐标为（，）．课后反击1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．+3 D．0
【解析】B．
2、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选B．
4、已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．4 D．4或﹣1
【解析】a=﹣1或4，∵a＞0，∴a=4．故选C．
5、若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣（x﹣2）2﹣1 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣2）2﹣1
【解析】C．
6、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3
C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
【解析】A．
7、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销量y（件）之间关系如表所示：
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
【解析】设y与x之间的函数关系为y=kx+b，，解得，
∴y与x之间的函数关系为y=﹣x+200，设获得的利润为w元，
w=（x﹣120）（﹣x+200）=﹣（x﹣160）2+1600，∴当x=160时，w取得最大值，此时w=1600，
即要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为160元，此时每天的销售利润是1600元．
8、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．
（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．
【解析】（1）△=b2﹣4ac=[﹣（2m+1）]2﹣4×2m
=4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2
∵不论m为任何实数时，总有△=（2m﹣1）2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
（2）令y=x2﹣（2m+1）x+2m=0，即x2﹣（2m+1）x+2m=0，
则（x﹣2m）（x﹣1）=0，解得x=2m，x=1，
由AB=4，|1﹣2m|=4，解得m=或m=﹣，
当m=时，抛物线解析式为y=x2﹣6x+5，点A（1，0），点B（5，0）不合题意，舍去，
当m=﹣时，抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，点A（﹣1，0），点B（3，0），符合题意，∴
∴抛物线的表达式为y=x2+2x﹣3
（3）将抛物线y=x2+2x﹣3向上平移b个单位后得到的抛物线为：，
依题意列方程组：，消去y，得x2+x+b﹣3=0，
∵图象与直线y=x没有交点，∴△=12﹣4×1×（b﹣3）＜0，解得，1、对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点
【解析】B．
2、函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】C．
3、二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
【解析】二次函数的解析式为y=x2+5x+4．选D．
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的 结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】①正确；②正确；∵b=2a，∴2a﹣b=0，所以③错误；
∵x=﹣1对应的y值是最大值，∴a﹣b+c＞2，所以④正确．故选C．
5、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
【解析】（1）y1=（6﹣a）x﹣20，（0＜x≤200）
y2=10x﹣40﹣0.05x2=﹣0.05x2+10x﹣40．（0＜x≤80）．
（2）对于y1=（6﹣a）x﹣20，∵6﹣a＞0，∴x=200时，y1的值最大=（1180﹣200a）万元．
对于y2=﹣0.05（x﹣100）2+460，∵0＜x≤80，∴x=80时，y2最大值=440万元．
（3）①（1180﹣200a）=440，解得a=3.7， ②（1180﹣200a）＞440，解得a＜3.7，
③（1180﹣200a）＜440，解得a＞3.7∵3≤a≤5，∴当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同．
当3≤a＜3.7时，生产甲产品利润比较高．当3.7＜a≤5时，生产乙产品利润比较高．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数的定义；二次函数的图像与性质；二次函数的表达式与应用；二次函数与一元二次方程。
本章内容丰富且综合性较强，也是中考的必考点与重难点，结合教案做好总结及勤学多练是掌握的关键。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】北师大版九年级数学寒假复习专题讲义
第1讲 二次函数专题精讲（提高版）
授课主题 第01讲-----二次函数
授课类型 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
教学目标 熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。
授课日期及时段
T（Textbook-Based）——同步课堂
知识概念
二次函数的定义一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：1、二次项系数a≠0；y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式；
2、ax2＋bx＋c必须是整式；
3、一次项、常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； x的取值范围是全体实数．
二次函数的图像与性质
1、二次函数图像的基本性质二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向开口向上开口向下
对称轴直线x＝－直线x＝－
顶点坐标
增减性当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值当x＝－时，y有最小值当x＝－时，y有最大值
2、二次函数图像的平移方法一：总结：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
方法二：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”．
3、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1） 二次项系数的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
（2）一次项系数：在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置， “左同右异”。
（3） 常数项：决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数的表达式1、一般式：（，，为常数，）；
2、顶点式：（，，为常数，）；
3、两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.使用条件：1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二次函数的应用解题一般方法步骤（先构造二次函数模型）：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法或对称轴判定法，求出二次函数的最大值或最小值．二次函数与一元二次方程（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
（2）ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．
（3）当Δ＞0时，有两个不同的交点；当Δ＝0时，有一个交点；当Δ＜0时，抛物线与x轴没有交点．
考点一： 二次函数的定义例1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．+3 D．0例2、下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型的是（ ）
A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B．我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与半径之间的关系
考点二： 二次函数的图像与性质例1、一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0； ②4a+2b+c＞0 ；③4ac﹣b2＜8a ；④＜a＜；
⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤例3、将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新抛物线的表达式（ ）
A．y=2（x+3）2 B．y=（x+3）2
C．y=（x﹣1）2 D．y=2（x﹣1）2考点三： 二次函数的表达式例1、把二次函数y=﹣x2﹣x+3配方化为y=a（x﹣h）2+k形式（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2+2 B．y=﹣（x﹣2）2+4
C．y=﹣（x+2）2+4 D．y=﹣（x﹣1）2+3例2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数
y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2
考点四： 二次函数的应用例1、便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558例2、如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，反映y与x之间函数关系的大致图形是（ ）
A． B． C． D．
例3、某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？考点五：二次函数与一元二次方程例1、若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（ ）
A．0＜k＜4 B．﹣3＜k＜1 C．k＜﹣3或k＞1 D．k＜4
例2、如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
P(Practice-Oriented)——实战演练
课堂狙击1、若y=（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a=﹣1或a=3 B．a≠﹣1或a≠0 C．a=3 D．a=﹣1
2、下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B．当距离一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．矩形的面积S和矩形的宽x之间的关系
D．等边三角形的面积S与边长x之间的关系
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则该函数图象的对称轴是（ ）
直线x=﹣3 B．直线x=﹣2
C．直线x=﹣1 D．直线x=0
4、如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3
C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3
6、二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中可能的图象为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论：
①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．
正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
8、若二次函数y=﹣x2+2x+m2+1的最大值为4，则实数m的值为（ ）
A． B． C．±2 D．±1
9、某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？
10、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
课后反击1、若y=（1+m）是二次函数，且开口向下，则m的值为（ ）
A．±3 B．﹣3 C．+3 D．0
2、在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+5x+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是
﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4、已知二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣1 C．4 D．4或﹣1
5、若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ）
A．y=﹣（x﹣2）2﹣1 B．y=﹣（x﹣2）2﹣1
C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x﹣2）2﹣1
6、已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=﹣3（x﹣1）2+3 B．y=3（x﹣1）2+3
C．y=﹣3（x+1）2+3 D．y=3（x+1）2+3
7、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销量y（件）之间关系如表所示：
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
8、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m=0．
（1）求证：不论m为任何实数时，该方程总有两个实数根；
（2）若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m与x轴交于A、B两点（点A与点B在y轴异侧），且AB=4，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若抛物线y=x2﹣（2m+1）x+2m向上平移b个单位长度后，所得到的图象与直线y=x没有交点，请直接写出b的取值范围．
1、对于二次函数y=﹣+x﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x=2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7） D．图象与x轴有两个交点
2、函数y=k（x﹣k）与y=kx2，y=（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
4
0
﹣2
﹣2
0
4
…
下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=﹣
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b=0；④a﹣b+c＞2．其中正确的 结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40+0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
S(Summary-Embedded)——归纳总结
二次函数的定义；二次函数的图像与性质；二次函数的表达式与应用；二次函数与一元二次方程。本章内容丰富且综合性较强，也是中考的必考点与重难点，结合教案做好总结及勤学多练是掌握的关键。本节课我学到
我需要努力的地方是
体系搭建
实战演练
直击中考
重点回顾
名师点拨
学霸经验
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
