课件29张PPT。
一、选择题
1．如果直线a平行于平面α，则( )
A．平面α内有且只有一条直线与a平行
B．平面α内有无数条直线与a平行
C．平面α内不存在与a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线
解析：过直线a可作无数个平面与α相交，这些交线都与a平行，所以在平面α内与直线a平行的直线有无数条，故A不正确，B正确．平面内存在与a异面垂直的直线，且有无数条，故C，D不正确．
答案：B
2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：
①若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a?α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.
其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．
答案：A
3.
如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH.
答案：A
4．已知在如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，则在该长方体中，与平面EFG平行的面有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1的中点，G为CC1的中点，
∴EF∥AB，FG∥BC，
又EF?平面ABCD，FG?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又EF∩FG＝F，
∴由平面与平面平行的判定定理得：
平面EFG∥平面ABCD.
同理，平面EFG∥平面A1B1C1D1.即在该长方体中，与平面EFG平行的平面有2个．
答案：B
二、填空题
5．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析：由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，∴EF∥BC.
又∵BC?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.
同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
6．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是________．
解析：因为AF∥EC1，所以AF，EC1确定一个平面α.
平面α∩平面CDD1C1＝C1F，平面α∩平面ABB1A1＝AE，
又平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
所以AE∥C1F，
所以四边形AEC1F是平行四边形．
答案：平行四边形
7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．
解析：
如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
答案：12
三、解答题
8．在空间四边形ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，AC的中点．
求证：平面EFG∥平面ABD.
证明：因为E，F分别是BC，CD的中点，
所以EF∥BD.
又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
所以EF∥平面ABD.同理可得EG∥平面ABD.
又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，
所以平面EFG∥平面ABD.
9．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.
证明：证法一(线线平行?线面平行) 如图1所示，
作PM∥AB，交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.
又AP＝DQ，∴PE＝QB，又PM∥AB∥QN，∴＝＝，＝，
∴＝，又AB綊DC，∴PM∥QN且PM＝QN，
∴四边形PMNQ为平行四边形，∴PQ∥MN，
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面CBE.
证法二(面面平行?线面平行) 如图2，在平面ABEF内过点P作PM∥BE交AB于点M，连接QM，又PM?平面BCE，BE?平面BCE，∴PM∥平面BCE，＝.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝，∴＝，∴MQ∥AD，又AD∥BC，∴MQ∥BC，MQ?平面BCE，BC?平面BCE，∴MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，∴平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.
[尖子生题库]
10.
如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
解析：(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，AB?平面EFGH，EF?平面EFGH.
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)设EF＝x(0∴＝，则＝＝＝1－.
∴FG＝6－x.
∴四边形EFGH的周长l＝2＝12－x.
又∵0∴四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
