2020中考数学总复习 第二章 方程与不等式
2.2 一元二次方程
课标解读
理解配方法，会用配方法、公式法和因式分解法解数字系数的一元二次方程.
会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.了解一元二次方程根与系数的关系.
会解决与一元二次方程有关的实际问题，并根据实际意义，检验解的合理性.
知识梳理
知识点一：一元二次方程
一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，是常数项.
知识点二：一元二次方程的解法
直接开平方法：
关于的方程，当时，两根分别为，；
当时，原方程没有实数根.
配方法：
用配方法解方程的过程：
①化二次项系数为1：
②移项：
③配方：，即
④当时，，
，；
当时，原方程无解.
公式法：
对于方程，如果，那么方程的求根公式为：
.
因式分解法：
把一元二次方程化成一般形式后，如果是某一有理数的平方，那么，一元二次方程可变形为的形式，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而得到原方程的两个实数根.
知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
关于的一元二次方程，称为一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，
方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系：
若关于的一元二次方程有两个实数根，
则,.
知识点四：一元二次方程的应用
解与一元二次方程有关的应用题的主要步骤为“审——设——列——解——验——答”，
在传播、增长（降低）率、商品销售、几何图形的面积等实际应用问题中经常涉及.因为所列一元二次方程往往有两个实数根，所以，必须检验所得结果是否完全符合题意.
基础训练
下列所给出的方程中，属于一元二次方程的是（ ）
B. C. D.
一元二次方程的根的情况是（ ）
有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
有且只有一个实数根 D.没有实数根
若是方程的两根，则的值是（ ）
A.1 B.-1 C.4 D.-4
若关于的方程没有实数根，则的取值范围为（ ）
B. C. D.
方程的两根为
若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围
用适当的方法解下列一元二次方程：
某社区老年人活动中心有一批中国象棋爱好者自发组织了一次中国象棋单循环赛（每两个人之间都要比赛1局，且只比赛1局），结果共比赛66局.
求参加象棋比赛的人数；
参加比赛的王爷爷说：“如果我组织我的几个好友举行单循环赛，那么总共只需赛19局”.王爷爷说的话是真的吗？
能力提升
1.对于方程，下列变形错误的是（ ）
A. B.
C. D.
2.关于x的方程，下列说法正确的是（ ）
A.该方程一定有两个不相等的实数根
B.该方程可能有两个相等的实数根
C.该方程没有实数根
D.该方程至少有一个实数根
3.若关于x的方程有一根为2，则此方程的另一根为（ ）
A.6 B.4 C.2 D.-6
4.若关于x的方程的两根满足，则代数式的值是（ ）
A.17 B.13 C.12 D.5
某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，若该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则x应满足的方程是
6.若直角三角形的斜边长比两直角边长分别多和，则这个直角三角形斜边上的中线长为 .
7.已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论k为何值，原方程都有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根为一菱形的两对角线之长，且，求k值及该菱形的面积.
8.恩施一特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现， 单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：
（1） 每千克核桃应降价多少元？
（2） 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场,该店应按售价的几折出售？
中考真题
(2019，恩施） 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，
4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ）
A.8% B.9% C.10% D.11%
2.（2019，黄冈）若是一元二次方程的两根，则的值为（ ）
-5 B.5 C.-4 D.4
3.（2019，武汉）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有实数解的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.（2018，黄冈）一个三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，则三角形的周长为 .
5.（2016，恩施）已知一元二次方程的两根为，则.
6.（2018，荆州）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，
且，则的值是 .
7.（2019，孝感）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）若为正整数，求的值；
（2）若满足.求的值.
8.（2018，黔南）如图，已知矩形AOCB，，，动点P从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动.
点P到达终点O的运动时间是 s,此时点Q的运动距离是
；
当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为 cm；
请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm.
2020中考数学总复习 第二章 方程与不等式
2.2 一元二次方程
课标解读
理解配方法，会用配方法、公式法和因式分解法解数字系数的一元二次方程.
会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况.了解一元二次方程根与系数的关系.
会解决与一元二次方程有关的实际问题，并根据实际意义，检验解的合理性.
知识梳理
知识点一：一元二次方程
一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，是常数项.
知识点二：一元二次方程的解法
直接开平方法：
关于的方程，当时，两根分别为，；
当时，原方程没有实数根.
配方法：
用配方法解方程的过程：
①化二次项系数为1：
②移项：
③配方：，即
④当时，，
，；
当时，原方程无解.
公式法：
对于方程，如果，那么方程的求根公式为：
.
因式分解法：
把一元二次方程化成一般形式后，如果是某一有理数的平方，那么，一元二次方程可变形为的形式，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程，进而得到原方程的两个实数根.
知识点三：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
关于的一元二次方程，称为一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，
方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
一元二次方程的根与系数的关系：
若关于的一元二次方程有两个实数根，
则,.
知识点四：一元二次方程的应用
解与一元二次方程有关的应用题的主要步骤为“审——设——列——解——验——答”，
在传播、增长（降低）率、商品销售、几何图形的面积等实际应用问题中经常涉及.因为所列一元二次方程往往有两个实数根，所以，必须检验所得结果是否完全符合题意.
基础训练
下列所给出的方程中，属于一元二次方程的是（ D ）
B. C. D.
一元二次方程的根的情况是（ D ）
有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
有且只有一个实数根 D.没有实数根
若是方程的两根，则的值是（ B ）
A.1 B.-1 C.4 D.-4
若关于的方程没有实数根，则的取值范围为（ C ）
B. C. D.
方程的两根为
若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
用适当的方法解下列一元二次方程：
解：
解：
由得；由得
解：
某社区老年人活动中心有一批中国象棋爱好者自发组织了一次中国象棋单循环赛（每两个人之间都要比赛1局，且只比赛1局），结果共比赛66局.
求参加象棋比赛的人数；
参加比赛的王爷爷说：“如果我组织我的几个好友举行单循环赛，那么总共只需赛19局”.王爷爷说的话是真的吗？
解：（1）设有人参加象棋比赛，依题意可列方程：，
解这个方程：
分解因式：，
解得,
故有12人参加象棋比赛.
王爷爷说的话不正确，理由如下：
设王爷爷有个好友参赛，则，解此方程：
经检验，是所列方程的根，但都不是正整数. 故王爷爷说的不真实.
能力提升
1.对于方程，下列变形错误的是（ B ）
A. B.
C. D.
2.关于x的方程，下列说法正确的是（ D ）
A.该方程一定有两个不相等的实数根
B.该方程可能有两个相等的实数根
C.该方程没有实数根
D.该方程至少有一个实数根
3.若关于x的方程有一根为2，则此方程的另一根为（ A ）
A.6 B.4 C.2 D.-6
4.若关于x的方程的两根满足，则代数式的值是（ B ）
A.17 B.13 C.12 D.5
某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，若该厂八、九月份平均每月的增长率为x，则x应满足的方程是
6.若直角三角形的斜边长比两直角边长分别多和，则这个直角三角形斜边上的中线长为 .
7.已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论k为何值，原方程都有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根为一菱形的两对角线之长，且，求k值及该菱形的面积.
解：（1）证明：，
无论k为何值，都有，原方程总有两个实数根.
依题意，知
又，，
解得（不合题意，舍去），
此时，菱形的面积为
8.恩施一特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现， 单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：
（1） 每千克核桃应降价多少元？
（2） 在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场,该店应按售价的几折出售？
解：（1）设每千克核桃降价元时，平均每天可获利2240元.
则可列方程：，
解得
答：每千克核桃降价4元或6元时，专卖店每天可获利2240元.
（2）在平均每天获利仍为2240元的情况下，为尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元出售，此时，故应按售价打九折出售.
中考真题
(2019，恩施） 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，
4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ C ）
A.8% B.9% C.10% D.11%
2.（2019，黄冈）若是一元二次方程的两根，则的值为（ A ）
-5 B.5 C.-4 D.4
3.（2019，武汉）从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为，则关于的一元二次方程有实数解的概率是（ C ）
A. B. C. D.
4.（2018，黄冈）一个三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，则三角形的周长为 16 .
5.（2016，恩施）已知一元二次方程的两根为，则.
6.（2018，荆州）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，
且，则的值是 4 .
7.（2019，孝感）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）若为正整数，求的值；
（2）若满足.求的值.
解：（1）由方程有两个不相等的实数根.
得，
又是正整数，
（2）即
而
，解得
但，
8.（2018，黔南）如图，已知矩形AOCB，，，动点P从点A出发，以的速度向点O运动，直到点O为止；动点Q同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点P同时结束运动.
点P到达终点O的运动时间是 s,此时点Q的运动距离是
；
当运动时间为2s时，P，Q两点的距离为 cm；
请你计算出发多久时，点P和点Q之间的距离是10cm.
解：（3）设运动时间为ts，过点P作于点D，则，
在中，，由勾股定理得，
即
解得
故P、Q两点同时出发
