2.1.1两直线的位置关系 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
北师版 初中数学
第二章 相交线与平行线
2.1两条直线的位置关系（第1课时）

学习目标
1.理解相交线、平行线的概念，了解两条直线的位置关系；
2.理解对顶角、补角、余角的概念；
3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的
性质进行角的运算及解决一些实际问题.（重点、难点）






情境引入
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.



(一)两直线位置关系
思考：不相交的两条直线一定是平行线吗？
阅读课本38页至“议一议”前，完成以下问题：
1. ， 的两条直线叫做相交线。
2. ， 的两条直线叫做平行线.
3.同一平面内，两条直线的位置关系有____和_____两种。


在同一个平面内
不相交


在同一个平面内
只有一个交点
相交
平行









探究新知

判断下面说法是否正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段
是平行线 。 （ ）
（3）两条直线，要么平行，要么相交。 （ ）
×
×
×
同一平面内
直线








大家来找茬
同一平面内
如图，直线AB、CD相交于O，∠1和∠2有什么位置关系？



2

1
A
B
C
D
O
3
4
对顶角的特点：1.有公共顶点，
2.两边互为反向延长线.

直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.




(二)对顶角定义
如图，把∠1的两边AO ,CO，延长，得到 OD，OB ，形成∠2 ， ∠1与 ∠2就是对顶角
对顶角的特点：
(1)有公共顶点；
(2)两边互为反向延长线。
D
B
C
O
A
2
1




4
3
(二)对顶角定义
1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）



1
2
C



1
2
D
D




1
2
A




1
2
B


巩固练习

方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的，
只有两条直线相交时，才能构成对顶角．
2.如图，直线AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是 ，∠4的对顶角是 .

∠AOD
∠3
O

2

1
3
4
E
B
A
C
D

请你观察图中∠1和∠2这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系?
对顶角相等
？？？
(三)对顶角性质



2

1
A
B
C
D
O
已知：如图，直线AB与CD交于O．求证：∠1=∠2


　　
探究对顶角性质：


A
B
D
C




证明：
O
1（
）2
∵∠1 +∠AOC =180°（平角定义）
∠2 +∠AOC =180°（平角定义）
∴∠1 = ∠2 （等量代换）
∴∠1 =180°-∠AOC
∴∠2 =180°-∠AOC
对顶角的性质
对顶角相等.
如图，直线AB、CD，EF相交于点O，∠1＝40°，∠BOC＝110°，求∠2的度数.
解：因为∠1＝40°，
∠BOC＝110°(已知)，
所以∠BOF＝∠BOC－∠1
＝110°－40°＝70°.
因为∠BOF＝∠2(对顶角相等)，
所以∠2＝70°(等量代换)．

注意：隐含条件“对顶角相等”.
巩固练习





3

4
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称互补).可以说∠3是∠4的补角或∠4是∠3的补角.
定义：

（四）余角和补角的定义



2



1


如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称互余).可以说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角.
定义：
(1)∵∠1 + ∠2=180?， ∴∠1是补角；（ ）
(2)∵∠1+∠2+∠3= 180°,
∴∠1 、∠2、 ∠3 互补；( )
(3)互补、互余的两角一定有公共顶点或公共边;( )
1.判断：
注意：互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关.
×
×
×
巩固练习
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′

27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x°(x<90)
90° x°

180° x°

观察可得结论：
同一个锐角的补角比它的余角大________.
90°
2.填写表格：
3.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°，则它的补角是（180－x°）,
余角是（90°－x°） ,根据题意得：
180－x = 4（90－x）
解得： x = 60
答：这个角的度数是60°.
图1
N

2










D
C
O

1
3
4
A
B

图2
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图1抽象成图2，ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2.

（五）余角和补角的性质
观察思考，在图2中，解决下列问题：
1.哪些角互为补角？哪些角互为余角？
2.∠3与∠4有什么关系？为什么？
3.∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
N

2










D
C
O

1
3
4
A
B

图2
解：
(1)∠1与∠ AOC, ∠2与∠ BOD互补;
∠1与∠ 3, ∠2与∠ 4互余；

（五）余角和补角的性质
（2）因为∠1= ∠2，
∠ 1+∠3=90° ,
∠ 2+∠4=90°，
所以 ∠ 3=∠4.
同角(等角)的余角相等


归纳总结：同角(等角)的补角相等，同角(等角)的余角相等.
N

2










D
C
O

1
3
4
A
B

图2
（3）因为∠1= ∠2，
∠1+∠AOC=180°,
∠ 2+∠BOD=180°，
所以∠AOC=∠BOD.

同角(等角)的补角相等
（五）余角和补角的性质
1.如图,∠COD=∠EOD=90°, C、O、E在一条直线上, 且∠2= ∠4, 请说出∠1与∠3之间的关系?并试着说明理由?
O




∠1与∠3相等
(等角的余角相等).
巩固练习
三、中考链接
1．（2015?吉林）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是　 　．
对顶角相等
2.（2017?抚顺）如图，当剪子口∠AOB增大15°时，∠COD增大　 　度．
15
3.（2019?汕头）如图所示：直线AB与CD相交于O，已知∠1＝30°，OE是∠BOC的平分线，则∠2＝　 　°，∠3＝　 　°．
4．（2018?贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠1和∠3
C．∠2和∠4 D．∠2和∠5
A
30
75
5．（2018?益阳）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（　　）
A．∠AOD＝∠BOC
B．∠AOE+∠BOD＝90°
C．∠AOC＝∠AOE
D．∠AOD+∠BOD＝180°
C
1.下列说法中，正确的有（　 ）
①对顶角相等
②相等的角是对顶角
③不是对顶角的两个角就不相等
④不相等的角不是对顶角
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
B
当堂练习
√
√
2.判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明
理由？

















1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
√
×
×
×
×
×
3.图中给出的各角，哪些互为补角？

















10o

30o

60o

80o

100o

120o

150o

170o




4.图中给出的各角，哪些互为余角？









15o

24o

66o

75o



46.2o



43.8o






5.如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与
∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC和 ∠AOD


6.如图已知：直线AB与CD交于点O, ∠EOD=900,
回答下列问题：
（1）∠AOE的余角是 ；补角是 ；
（2）∠AOC的余角是 ；补角是 ；
对顶角是 ；



C
A
B
D
O
E

∠AOC
∠BOE
∠AOE
∠BOC
∠BOD






























7.要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？




A

B
O

C

D

你能想到几种方法？
课堂小结
2.余角、补角、对顶角的概念：
3.余角、补角、对顶角的性质：
对顶角相等
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等
互余与
互补只与
角的数值
有关，与位
置无关。
而对顶角是
根据角的
位置来
判断的

1.同一平面内两条直线的位置关系：
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
余角相等
同角或等角的
补角相等
对顶角性质：对顶角相等.
谢谢聆听！