第一讲 因动点产生的三角形
例1： 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且.
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
例2：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于两点A(－1,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例3： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.
（1）求的值；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）在线段上是否存在点，使与相似.若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
例4：如图在平面平面直角系中，抛物线 的图象与轴交于点A（2，0）B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点。
（1）求此抛物线的表达式
（2）当AC + CP的值最小时，求P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A。
求证：BP与⊙A相切
（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由
例5：如图，直线y＝x与抛物线y＝ax2＋b(a≠0)交于点A(－4，－2)和B(6，3)，抛物线与y轴的交点为C．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在抛物线上存在点M，使△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积是△ABC的面积的？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例6：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于 点.
（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；
（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.
1. 如图，抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。
（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
① 当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。
② 又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）
第一讲 因动点产生的三角形
例1： 如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠，且.
（1）判断与是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
【解答】解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EOA．
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE．
（2）∵tan∠EDA=，
∴设AE=3t，则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得，
∴，
∴CD=10t．
在△DCE中，∵CD2+DE2=CE2，
∴（10t）2+（5t）2=（5）2，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴，
解得
∴y=﹣x+8，则点P的坐标为（16，0）．
（3）满足条件的直线l有2条：y1=﹣2x+12，y2=2x﹣12．
如图：准确画出两条直线．
【点评】本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
例2：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于两点A(－1,0)、B(1,0)，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），
∴，解得，
∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+1；
（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，
∴C（0，1），
∵A（﹣1，0），B（1，0），∠BOC=90°，
∴OB=OC=1，
∴∠OCB=∠OCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD∥CA，
∴四边形ACBD是直角梯形，
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b，
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵BD∥CA，B（1，0），
∴把直线AC向右平移2个单位即可得到直线BD，
∴直线BD的解析式为：y=x﹣1，
∴，解得或，
∴D（﹣2，﹣3），
∴BD==3，
∴S四边形ACBD=（AC+BD）?BC=×（+3）×=4．
答：四边形ACBD的面积为4．
（3）∵OA=OB=OC=1， ∴△ABC是等腰Rt△； ∵AC∥BD， ∴∠CBD=90°； 易求得BC=，BD=3； ∴BC：BD=1：3； 由于∠CBD=∠MNA=90°， 若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似， 则有：△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得： =或=3； 即MN=AN或MN=3AN； 设M点的坐标为（x，﹣x2+1）， ①当x＞1时，AN=x﹣（﹣1）=x+1，MN=x2﹣1； ∴x2﹣1=（x+1）或x2﹣1=3（x+1） 解得x=，x=﹣1（舍去）或x=4，x=﹣1（舍去）； ∴M点的坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）； ②当x＜﹣1时，AN=﹣1﹣x，MN=x2﹣1； ∴x2﹣1=（﹣x﹣1）或x2﹣1=3（﹣x﹣1） 解得x=，x=﹣1（两个都不合题意，舍去）或x=﹣2，x=﹣1（舍去）； ∴M（﹣2，﹣3）；
故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查的是二次函数综合题，其中涉及到的知识点有用待定系数法求二次函数即一次函数的解析式，直角梯形的判定与性质，一次函数的图象与几何变换,相似三角形的性质?等考点的理解，难度适中．
例3： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.
（1）求的值；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）在线段上是否存在点，使与相似.若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
【解答】解：（1）∵y=x2的顶点坐标为（0，0），
∴y=（x﹣h）2+k的顶点坐标D（﹣1，﹣4），
∴h=﹣1，k=﹣4 （3分）
（2）由（1）得y=（x+1）2﹣4
当y=0时，
（x+1）2﹣4=0
x1=﹣3，x2=1
∴A（﹣3，0），B（1，0）（1分）
当x=0时，y=（x+1）2﹣4=（0+1）2﹣4=﹣3
∴C点坐标为（0，﹣3）
又∵顶点坐标D（﹣1，﹣4）（1分）
作出抛物线的对称轴x=﹣1交x轴于点E
作DF⊥y轴于点F
在Rt△AED中，AD2=22+42=20
在Rt△AOC中，AC2=32+32=18
在Rt△CFD中，CD2=12+12=2
∵AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形；
（3）存在．由（2）知，OA=3，OC=3，则△AOC为等腰直角三角形，∠BAC=45°；
连接OM，过M点作MG⊥AB于点G，
AC=
①若△AOM∽△ABC，则，
即，AM=
∵MG⊥AB
∴AG2+MG2=AM2
∴
OG=AO﹣AG=3﹣
∵M点在第三象限
∴M（）；
②若△AOM∽△ACB，则，
即，
∴AG=MG=
OG=AO﹣AG=3﹣2=1
∵M点在第三象限
∴M（﹣1，﹣2）．
综上①、②所述，存在点M使△AOM与△ABC相似，且这样的点有两个，其坐标分别为（），（﹣1，﹣2）．
【点评】此题考查了二次函数图象的平移、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性质；需注意的是（3）题在不确定相似三角形的对应边和对应角的情况下要分类讨论，以免漏解．
例4：如图在平面平面直角系中，抛物线 的图象与轴交于点A（2，0）B（4，0），与轴交于点C（0，4），直线l是抛物线的对称轴，与x轴交于点D，点P是直线l上一动点。
（1）求此抛物线的表达式
（2）当AC + CP的值最小时，求P的坐标；再以点A为圆心，AP的长为半径作⊙A。
求证：BP与⊙A相切
（3）点P在直线l上运动时，是否存在等腰△ACP？若存在，请写出所有符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，4）代入得4=﹣8a，解得a=﹣，
∴此抛物线的表达式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；
（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，
∵AP+CP的值最小，AC为定值，则过C作CC′⊥l交抛物线与C′，则点C与C′为对称点，连AC′交直线x=1与点P，连PC，
∴C′的坐标为（2，4），
设直线AC′的解析式为y=kx+b，把A（﹣2，0）和C′（2，4）代入得﹣2k+b=0，2k+b=4，解得k=1，b=2，
∴直线AC′的解析式为y=x+2，
令x=1，则y=3，
所以P点坐标为（1，3）；
连BP，如图，
∵PD=3，DA=1﹣（﹣2）=3，BD=4﹣1=3，
∴△PDB和△PBD都为等腰直角三角形，
∴∠APB=45°+45°=90°，
∴PB为⊙A的切线；
（3）存在．
当PC=PA，作AC的中垂线交直线x=1于P1点，P1C=P1A，
设P1（1，y），
则y2+32=12+（4﹣y）2，解得y=1，
∴P1（1，1）；
当AP=AC=2以A圆心、AC为半径交直线x=1于P2、P3，连AP2，AP3，
P2D==，
∴P2的坐标为（1，），P3的坐标为（1，﹣）；
当CP=CA=2，以C为圆心、AC为半径交直线x=1于P4、P5，连CP4，CP5，过C作CE⊥直线x=1于E点，
同理可得到P4的坐标为（1，4+），P5的坐标为（1，4﹣）．
∴符合条件的点P坐标为：（1，1）、（1，）、（1，﹣）、（1，4+）、（1，4﹣）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后利用二次函数的性质得到对称轴方程．同时考查了等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用以及切线的判定方法．
例5：如图，直线y＝x与抛物线y＝ax2＋b(a≠0)交于点A(－4，－2)和B(6，3)，抛物线与y轴的交点为C．
(1)求这个抛物线的解析式；
(2)在抛物线上存在点M，使△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC的面积是△ABC的面积的？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】
例6：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于 点.
（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；
（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由.
【解答】(1)
抛物线顶点的坐标为（1，m） 抛物线与轴交于两点， 当时， 解得 两点的坐标为（）、（）； （2）当时，， 点的坐标为. ?5分 过点作轴于点，则
1. 如图，抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
（1）求点A的坐标；
（2）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
【解答】解：（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，-4）。
（2）存在这样的b 因为 所以 所以，即E为BC的中点 所以当OE=CE时，△OBC为直角三角形? 因为 所以 而 所以 解得， 所以当b=4或-2时，ΔOBC为直角三角形。
2．已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA（1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式。
（2）如图12，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m>0，n>0），连接DP交BC于点E。
① 当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标。
② 又连接CD、CP，△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。（3分）
