人教A版高中数学必修第一册 2.2基本不等式学案（Word版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式（共2课时）
（第1课时）
1. 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当两个数相等；
2. 通过实例探究抽象基本不等式；通过多媒体体会基本不等式等号成立条件,
掌握运用基本不等式求最值；
1.从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值；
2.基本不等式等号成立条件；
一、情境导学
（1）如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，赵爽是为了证明勾股定理而绘制了弦图。
弦图既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们。
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？
思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？
（2）探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a,b（a≠b）,那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为．
由于4个直角三角形的面积之和小于正方形的面积，
我们就得到了一个不等式：．
问题1.思考证明：你能给出它的证明吗？
二、新知探究
基本不等式：如果a>0,b>0,我们用、分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：基本不等式（a>0,b>0)（当且仅当a=b时，取等号）
（1）在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式又叫均值不等式。
探究1.从不等式的性质推导基本不等式
如果学生类比重要不等式的证明给出证明，再介绍书上的分析法。
分析法证明：证明不等式
探究2.理解基本不等式的几何意义
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．
你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
(1)AB表示什么? (2)表示哪个线段？ (3)对应哪个线段呢？
（4）OD与CD的大小关系如何？
典例解析：
利用基本不等式求最值
例1.
基本不等式的使用条件
跟踪训练
1．下列不等式中，正确的是(　　)
A．a＋≥4　　　　　　B．a2＋b2≥4ab C.≥ D．x2＋≥2
2．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2 B．a C. D．3
3．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________．
我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；基本不等式；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).
参考答案：
问题1.证明：因为
，， 当且仅当a=b时等号成立
探究1：证明：要证
只要证 只要证 只要证 显然，
是成立的．当且仅当a=b时，（3）中的等号成立．
探究2：易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.
这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，
其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”
例1（1）解析：
（2）解析：
例2.
（3）.解: ∵ ,
当且仅当 2x=(1-2x), 即时, 取“=”号. ∴当时, 函数 y=x(1-2x) 的最大值是.
跟踪训练 （1）
达标检测
1.解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错，a＝4，b＝16，则＜，故C错；由基本不等式可知D项正确．
2.解析：选D.a＞1，所以a－1＞0，
所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.　当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．
3.解析：选C.因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当b＝2a＞0时取等号．
4.解析：x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.